《对数函数及其性质》教学设计(精品)

1、对数函数及其性质(一)(一)教学目标1 .知识技能(1)理解对数函数的概念.(2)掌握对数函数的性质.了解对数函数在生产实际中的简单应用.2 .过程与方法(1)培养学生数学交流能力和与人合作精神.(2)用联系的观点分析问题.通过对对数函数的学习，渗透数形结合的数学思想 .3 .情感、态度与价值观(1)通过学习对数函数的概念、图象和性质，使学生体会知识之间的有机联系，激发学 生的学习兴趣.(2)在教学过程中，通过对数函数有关性质的研究，培养观察、分析、归纳的思维能力 以及数学交流能力，增强学习的积极性，同时培养学生倾听、接受别人意见的优良品质(二)教学重点、难点1、重点：(1)对数函数的定义、图

2、象和性质；(2)对数函数性质的初步应用.2、难点：底数a对图象白影响.(三)教学方法通过让学生观察、思考、交流、讨论、发现对数函数的图象的特点.(四)教学过程教学划、节教学内容师生互动设计意图提出问题师：如2.2.1的例6,考古学家一M 通过提取附着在出土文物、古遗址上 死亡物体的残留物，利用t=log577P1 2估算出土文物或古遗址的年代.根据师：你能据此得到此类函数的一般式吗？生：y=logax.师：这样就得到了我们生活中由实际问 题引入， 不仅能激 发学生的问题的实际意义可知，对于每一个碳14含量P,通过对应关系t=log 57/P,都有唯一确定的年代t5730 2与它对应，所以，t是

3、P的函数.的又一类与指数函数启着密切 关系的函数模型一一对数函 数.这就是我们卜面将要研究 的知识.学习兴 趣，而且 可以培养 学生解决 实际问题 的能力.概念对数函数概念组织学生充分讨论、交流，使掌握对数形成一般地，函数 y=logax(a>0,且 awl)学生更加理解对数函数的含函数概念叫做对数函数，由对数概念可知，对义，从而加深对对数函数的理数函数y=logax的定义域是(0,+°°),解.值域是R生答：根据对数与指数式的关系，知y= log ax可化为探究：(1)在函数的定义中，为什么要限定a >0且a w 1.ay=x,由指数的概念，要使(2)为什么对

4、数函数y=logax (a>ay = x后总义，必须规定 a > 00且a w 1)的定义域是(0, +00).且 a w 1.因为y = loga x可化为x=ay,不管y取什么值，由指数函数的性质，ay >0,所以 xw (0, f).概念1.对数函数的图象.师：用多媒体演示函数图象，由特殊到深化借助于计算器或计算机在同一坐标揭示函数y=2x, y=log2x图象问一培系中回出下列两组函数的图象，并观的关系及函数养学生的察各组函数的图象，探求它们之间的y= (-) x, y=logx 图象间的2殆观察、归关系.纳、概括(1) y=2x, y=iog 2x ；关系.的能力.

5、, 1、 x.(2) y= ( - ) , y=log 1 x.学生讨论总结如下结论.22(1)函数y=2x和y=log 2x的图2.当 a>0, awl 时，函数 y=ax, y=log aX的图象之何后什么关系？对数函数图象有以下特征象关于直线y=x对称；._4 X.,1 X 一(2)函数 y= (_ )和 y=log 1 x 2 2的图象也关于直线y=x对称.一般地，函数 y=a和y=logax (a>0, aw1)的图象关于直线y=x对称.师生共同分析所画的两组函数 的图象，总结归纳对数函数图 象的特征，进少推出对数函 数性质.掌握对数 函数图象 特征，以 及性质.图象的特

6、征(1)图象都在y轴的右边(2)函数图象都经过(1, 0)点(3)从左往右看，当a > 1时， 图象逐渐上升，当0<a<1时， 图象逐渐下降.(4)当a >1时，函数图象在(1, 0)点右边的纵坐标都大于0,在(1, 0)点左边的纵坐标都小于0.当0< a<1时，图象正好相 反，在(1, 0)点右边的纵坐标 都小于0,在(1,0)点左边的纵 坐标都大于0 .对数函数有以下性质0<a< 1a>1图象1J= Of /11! 0r 1定义域(0, +00)值域R性质(1)过定点(1, 0),即x=1日y=0寸，(2)在(0, +00)上是减 函数

7、(2)在(0, 十。上是增函数°)应用举例例1求卜列函数的定义域： ，八22(1) y=logax ;(2) y=logajx_i (a>0, awl).例2求证：函数f (x) =lg是奇1 +x 函数.例3溶液酸碱度的测量.溶液酸碱度是通过pH刻画的.pH的 计算公式为pH= lg H,其中H+ 表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩 尔/升.(1)根据对数函数性质及上述pH的 计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中例1分析：求函数定义域时应 从哪些方面来考虑？学生回答：分母不能为0; 偶次根号下非负；。的0次幕 没后意义.若函数解析式中含后对数式，要注意对数的真数大于0.(师生共同完

8、成该题解答，师 规范板书)解：(1)由 x2>0,彳导 xw0.函数y=log ax2的定义域是x|xw0.(2)由题意引得x x -1 >0,又 二.偶次根号下非负，x 1 >0,即 x>1.,函数 y=logajx 1 (a>0, aw1)的定义域是x| x> 1. 小结：求函数的定义域的本质 是解不等式或不等式组.例2分析：根据函数奇偶性的 定义来证明.证明：设f(x)=lg上2 ,由上21+x1+ x掌握对数 函数知识 的应用.氢离子的浓度之间的变化关系；(2)已知纯净水中氢离子的浓度为H =10 7摩尔/升，计算纯净水的pH.课堂练习课本第85页练

9、习1, 2.0,得xe(1,1),即函数的定 义域为(1,1),又对于定义域(一1, 1)内的 任意的X,都有 f (-x) =lg 士1 -X=lg ；1=f (x),1 X所以函数y=lg 匕是奇函数.1 X注意：函数奇偶性的判定不能 只根据表面形式加以判定，而 必须进行严格的演算才能得出 正确的结论.例3解：根据对数的运算性质，有 pH=-lg H=lg 中 1=lg-p .H 在(0, +8)上，随着H+的增大，二减小，相应地，H lg -Ap也减小，即pH减小.H 所以，随着的增大，pH 减小，即溶液中氢离子的浓度 越大，溶液的酸度就越小.(2)当=107 时，pH=- lg10 7

10、,所以纯?争水的pH 是7.事实上，食品监督监测部门检 测纯净水的质量时，需要检测很多项目，pH的检测只是其中 一项.国家标准规定，饮用纯净 水的pH应该在5.07.0之间.课堂练习答案1 .函数 y=log 3x 及 y=log 1 x 的 3图象如图所示.相同点：图象都在y轴的右侧， 都过点(1,0).不同点：y=log 3x的图象是上升 的，y=log iX的图象是下降的.3关系：y=log3X和y=log 1x的图 "3象关于x轴对称.2 . (1) ( 8, 1)；(2) (0, 1) U (1, +引；，1、（3）（°°, 3）；（4） 1, +00）

11、.归纳总结1 .对数函数的定义.2 .对数函数的图象和性质.学生先自回顾反思，教师点评 完善.形成知识 体系.课后作业作业：2.2第四课时习案学生独立完成巩固新加提升能力备选例题例1求函数y =log(x4i)(16 _4x)的定义域.16 -4x 0【解析】由|x+1>0 , x 1 =1x <2 信x > 口.x :0所求函数定义域为x| - 1<x<0或0Vx<2.【小结】求与对数函数有关的定义域问题，首先要考虑真数大于零，底数大于零且不等例2求函数y = log 2| x|的定义域，并画出它的图象.【解析】函数的定义域为x|xw0, xC0函数解析式

12、可化为y =产2 x (x >0), og2(x) (x <0)其图象如图所示(其特征是关于 y轴对称).对数函数及其性质(二)(一)教学目标1.知识技能(1)掌握对数函数的单调性(2)会进行同底数对数和不同底数的对数的大小比较 .2 .过程与方法(1)通过师生双边活动使学生掌握比较同底对数大小的方法.(2)培养学生的数学应用的意识.3 .情感、态度与价值观(1)用联系的观点分析、解决问题.(2)认识事物之间的相互转化.(二)教学重点、难点1、重点：利用对数函数单调性比较同底对数大小 .2、难点：不同底数的对数比较大小.(三)教学方法启发式教学利用对数函数单调性比较同底对数的大小，

13、而对数函数的单调性对底数分a>1和0 <a <1两种情况，学生应能根据题目的具体形式确定所要考查的对数函数；如果题目中含有字母，即对数底数不确定，则应该分两种情形讨论 .对于不同底数的对数大小的比较， 应插入中间数，转化为两组同底数的对数大小的比较， 从而使问题得以解决.(四)教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图复习回顾对数函数的定义、图象、性质.师：上一节，大家学习了对数函数为学习新引入y=logax的图象和性质，明确了对数课作好了函数的单调性，即当a> 1时，在(0,知识上的+00)上是增函数；当0<a<1时，准备.在(0, +00)上是减函数.这一

14、F,我们主要通过对数函数的单调性解决有关问题.应用举例例1比较卜列各组数中两个值的 大小：(投影显示)(1) log 23.4, log 23.8;(2) log 0.5I.8 , log 0.5 2.1 ;(3) log a5.1 , log a5.9 ;(4) log 75, log 67.请同学们回顾一下我们利用指数 函数的启美性质比较大小的方法 和步骤，并完成以下练习.(生板演前二题，师组织学生进行 课堂评价，师生共同讨论完成第四 题)例1解：(1)对数函数y=log2x在(0, +00)上是增函数，且 3.4 <3.8.于是 log 23.4 < log 23.8.(2)

15、对数函数 y=logo.5X 在(0, +oo) 上是减函数，且1.8 <2.1 ,于是 10go.5 1.8 > log 0.5 2.1.(3)当a>1时，对数函数y=logaX 在(0, +°°)上是增函数，于是 log a5.1 < log a5.9 ；当0<a<1时，对数函数y=logax在 (0, +°°)上是减函数，于是 log a5.1 >loga5.9.(4)因为函数y=log7X和函数 y=log 6X都是定义域上的增函数， 所以 log 75< log 77=1=log66< lo

16、g 67. 所以 log 75< log 67.小结：本例是利用对数函数的单调性 来比较两个对数式的大小的问题，一 般是根据所给对数式的特征，确廿 个目标函数，把需要比较大小的对数 式看作是对应函数中两个能比较大 小的自变量的值对应的函数值,再根 据所确定的目标函数的单调性比较 两个对数式的大小.当底数为变量 时，要分情况对底数进行讨论来比较 两个对数的大小.若题中所给的对数式的底数和真数 都不相同时，可以找一个中间量作为 桥梁，通过比较中间量与这两个对数掌握对数 函数知识 的应用.1 1例2判断函数f (x) =ln ( Ji +x2 -x)的奇偶性.式的大小来比较对数式的大小，一般

17、选择“0”或“1”作为中间量进行 比较.例2解：. <x +1>x，|旦成立，故(x)的定义域为(8, +8),又:f (-x) =ln ( Ji +x2 +x)二一In1 V1 +x2 +x,Ji + x2 - x二一In 二 (v11 +x2)2 一 x2=In ( Vi +x2 -x)=-f (x), .f (x)为奇函数.在根据函数的单调性的定义判断函 数单调性的时候，首先应该根据函数 的解析式确定函数的定义域，当所给 函数的定义域关于原点对称时，再判 断f (x)和f (-x)之间的关系.f (x)为奇函数Uf (x) =-f (x) yf (x) +f (-x) =0。

18、f( x) =1f (x) W0， f(x)f (x)为偶函数 u f ( x) =f (x)f ( 一x) -f (x) =0U 止&二1f (x) W0.f(x)例 3(1)证明函数 f (x) =log 2(x2+l)在(0, +00)上是增函数；(2)问：函数 f (x) =log2 (x2+1) 在(°°, 0)上是减函数还是增 函数？例 4 已知 f (log ax) = (" ) ,x(a2 -1)其中a>0,且aw 1.(1)求 f (x)；(2)求证：f (x)是奇函数；(3)求证：f (x)在R上为增函 数.在解决具体问题时，可以

19、根据函数解 析式的具体特点选择不同的方式来 判断.例3分析：此题目的在于让学生熟悉 函数单调性证明通法，同时熟悉利用 对数函数单调性比较同底数对数大 小的方法.(1)证明：设 x1、x2C (0, +00), 且 xyx2,贝(J f (x。-f (x2)=log 2 (x12+1) log 2 (x22 + 1),. 0< x1<x2, x12+1<x22+1.又. y=log2x在(0, +oo)上是增函 数， log 2 (x；+1) < log 2 (x22+1), 即 f (x)< f (x2).函数 f (x) =log 2 (x2+1)在(0, +0

20、0)上是增函数.(2)解：是减函数，证明可以仿照 上述证明过程.小结：利用定义证明函数的单调性是 研究单调性问题的重要方法.例4分析：利用换元法，可令 t=log ax,求出 f (x),从 III求出 f(x). 证明奇函数及增函数可运用定义.课堂练习课本P85练习3.(1)解：设 t =log aX,则 t e R,. X=at (X>0).则 f (t) =at(a22-1) at(a2 1)=Y- (at a t).a -1(2)证明：f ( x)=a- (a-x-ax)a -1=-2a- (axa-x)a 1=-f (x), .f (X)为奇函数.(3)证明：设 x1、XzCR

21、,且 x1<X2,则 f (X2)-f (X1)=a a2 -1(ax2 -ax2) - ( a51 - a x1)=a (ax2 -ax1 ) +a x1 a x2 (ax2a -1-ax1 )=a (ax2ax1) (1+a x1 a x2).a2 -1若 0<a< 1,贝 a2 1 <0, ax1 >ax2 , f(X2) >f(X1) . , y=f (x)在 R 上为增函数；若 a>1,贝Ua21>0, ax1 <ax2., f(X2) >f(X1) . , y=f (x)在 R 上为增函数.综上，a>0,且 awl

22、时，y=f (x)是增函数.课堂练习答案：(1) <(2) <(3) >(4) >归纳总结通过本节的学习，大家要掌握利用 对数函数的增减性比较两对数大 小的方法，并能掌握分类讨论思 想.学生先自回顾反思，教师点评完善.形成知识 体系.课后作业作业：2.2第五课时习案学生独立完成巩固新知提升能力备选例题例1比较下列各组数的大小：(1) log 0.7 1.3 和 log 0.7 1.8 ;(2) log 35 和 log 64.(3) (lg n)1.7 和(lg n)2 ( n>1)；【解析】(1)对数函数y = logo.7X在(0, +oo)内是减函数.因为1

23、.3 <1.8,所以log 0.71.3 >log 0.7 1.8.(2) log 35和log 64的底数和真数都不相同，需找出中间量“搭桥”，再利用对数函数的单调性即可求解.因为 log 35> log 33 = 1 = log 66> log 64,所以 log 35> log 64.(3)把lgn看作指数函数的底，本题归为比较两个指数函数的函数值的大小，故需对底 数lg n讨论.若1>lnn>0,即1<n<10时，y = (lg n)x在R上是减函数， 172所以(lg n)>(lg n);若lgn>1,即n>10

24、时，y = (lg n)2在R上是增函数，所以(lg n)1.7 < (lg n)2.若 ln n = 1 ,即 n = 10 时，(ln n)1.7 = (ln n)2.【小结】两个值比较大小，如果是同一函数的函数值，则可以利用函数的单调性来比较. 在比较时，一定要注意底数所在范围对单调性的影响，即 a>1时是增函数，0<a<1时是减 函数，如果不是同一个函数的函数值，就可以对所涉及的值进行变换，尽量化为可比较的形式，必要时还可以“搭桥”一一找一个与二者有关联的第三量， 以二者与第三量(一般是-1、 0、1)的关系，来判断二者的关系，另外，还可利用函数图象直观判断，比

25、较大小方法灵活 多样，是对数学能力的极好训练.例2求证：函数f ( x) = iog2 x-在(0, 1)上是增函数.1 - x【分析】根据函数单调性定义来证明.【解析】设0<X1<X2<1,贝f ( X2) - f ( X1)= 10g 2x2_ log2x1 -X21 f X1,X2(1 -X1)Tog2 二(1 - X2) X1= 10g2 X1 1：ZXL. , 0< X1<X2<1,X1 1 -X2生 >1, B >1.X11 -X2则啕2组二>0,X1 1 -X2, f ( X2) >f ( X1).故函数f ( x)在(

26、0, 1)上是增函数.对数函数及其性质(三)(一)教学目标1 .知识与技能(1) 了解反函数的概念，加深对函数思想的理解 .(2)能根据对数函数的图象，画出含有对数式的函数的图象，并研究它们的有关性质2 .过程与方法(1)熟练利用对数函数的性质进行演算，通过交流，使学生学会共同学习.(2)综合提高指数、对数的演算能力.(3)渗透运用定义、数形结合、分类讨论等数学思想 .3 .情感、态度、价值观(1)用联系的观点分析、解决问题.(2)认识事物之间的相互转化.(3)加深对对数函数和指数函数的性质的理解，深化学生对函数图象变化规律的理解, 培养学生数学交流能力.(二)教学重点、难点重点：对数函数的特

27、性以及函数的通性在解决有关问题中的灵活应用.难点：反函数概念的理解.(三)教学方法通过对应关系与图象的对称性，理解同底的对数函数与指数函数互为反函数.(四)教学过程教学划、节教学内容师生互动设计意图复习引入1 .复习函数及反函数的定义域、 值域、图象之间的关系.2 .指数式与对数式比较.3 .画出函数y=2x与函数y=log 2X 的图象.老师提问，学生回答.为学习 新知作 准备.形成概念反函数概念指数函数y=ax (xCR)与对数函 数 y=log aX (xC (0, +oo)互 为反函数.师：在指数函数丫=2、中，x为自变量(x e R), y 是 X 的函数(y C (0, +oo),

28、 而且它是R上的单调递增函数.可以发 现，过y轴正半轴上任意一点作x轴的 平行线，与y=2x的图象有且只有一个交 点.另一方面，根据指数与对数的关系， 由指数式y=2x可得到对数式x=iog 2y. 这样，对于任意一个ye(0, +oo), 通过式十 x=log 2y, x 住 R中者际1唯一'理解反 函数的 概念.1 1课堂练习：求卜列函数的反函数：(1) y=0.2 x+1；(2) y=loga (4 x).确定的值和它对应.也就是说，可以把 y作为自变量，x作为y的函数，这时 我们就说 x=iog 2y (yC (0, +8)是 函数y=2x (xC R)的反函数.师：请同学仿照

29、上述过程，说明对数函 数y=logax (a>0,且aw1)和指数函 数y=ax(a>0,且aw1)互为反函数. 生：在函数x=logay中，y是自变量，x 是函数.但习惯上，我们通常用x表示 自变量，y表示函数.为此，我们常对 调函数x=log ay中的字母x、y,把它写 成y=log ax.这样，对数函数 y=log ax(xC (0,+°°)是指数函数 y=ax(xCR) 的反函数.由上述讨论可知，对数函数y=log ax(xC (0,+°°)是指数函数 y=ax(xCR) 的反函数；同时，指数函数y=ax(xC R) 也是对数函数y=

30、logax (x (0, +OO) 的反函数.因此，指数函数y=ax (xC R) 与对数函数 y=logax (x (0, +OO) 互为反函数.课堂练习答案(1) y = log5(x1);(2) y=4-ax应用举例例1已知函数y=log a (1ax)(a>0, awl).(1)求函数的定义域与值域；(2)求函数的单调区间；例1分析：有关于对数函数的定义域要 注意真数大于0；函数的值域取决于1 一ax的范围，可应用换元法，令t=1 ax以减小思维难度；运用复合函数单调进一步掌握对 数函数 的应(3)证明函数图象关于y=x对性的判定法求单调区间；函数图象关于用.称.y=x对称等价于

31、原函数的反函数就是自 身，本题要注意对字母参数a的范围讨 论.解：(1) 1 -ax>0,即 ax< 1,；a>1时，定义域为( 8, 0)； 0V a<1时，定义域为(0, +8).令 t=1 ax,则 0<t<1,而 y=log a (1 a ) =log at .；a>1 时，值域为(一°°, 0)； 0<a<1时，值域为(0, +00).(2) . . . a> 1 时，t =1 a ( 00, 0) 上单调递减，y=logat关于t单调递增，y=loga (1ax)在(一°0, 0)上单 调递减

32、.0<a<1 时，t=1 ax在(0, +oo)上 单调递增，而y=log at关于t单调递减， .y=loga (1ax)在(0, +oo)上单调 递减.x .(3) y=loga (1 a ),.ay=1-ax. a =1 a , x=log a (1 a )反函数为y=loga (1-ax),即原函数 的反函数就是自身.函数图象关于y=x对称.例2分析：分段函数的反函数应注意分掌握根据奇偶例2已知函数f (x)=(1) x2类讨论.由于f (x)为句图数，故应考性求困(x>0)和定义在R上的奇函数 g (x).当 x>0 时，g (x) =f (x), 试求g (

33、x)的反函数.虑x>0, x<0, x=0三种情况.数表达解：: g (x)是R上的奇函数，式.- g ( 0) =- g (0), g (0) =0.、1设 x<0,则一x>0,.g (-x) = (_ )2-x1-x-g (x) =-g (-x) =- (_ )=-22x.(2)x，x 0, g (x) =Q x = o,2x, x<0.当 x>0 时，由 y= (2 ) x2得 0<y< 1 且 x=log 1 y, 2 g1 (x) =log 1 x (0<x<1 = ； 2当 x=0 时，由 y=0,得 g 1 (x) =0

34、 (x=0)；当 x<0 时，由 y=-2x,得一1<y<0,且 x=iog2 ( y),g 1 (x)=log 2 ( x) ( 1 < x< 0=.综上，g (x)的反函数为log 1 x,0 <x <1,2g 1 (x) =«0, x=0,Jog 2(-x), -1<x<0.例3分析：函数的图象实际上是一系列掌握函数图象之间的变换关点的集合，因此研究函数例3探究函数y=log3 (x+2)的 图象与函数y=iog3x的图象间的 关系.y=log3 (x+2)的图象与函数 y=log 3x 的图象间的关系可以转化为研究两个 函数图象上对应点的坐标之间的关系.解：将对数函数y=log 3x的图象向左平移2个单位长度，就得到函数 y=log 3 (x+2)的图象.小结：由函数y=f (x)的图象得到函 数y=f (x+a)的图象的变化规律为：当a>0时，只需将函数y=f (x)的图 象向左平移a个单位就可得到函数y=f(x+a)的图象；当a<0时，只需将函数y=f (x)的图 象向右平移| a|个单位就可得到函数y=f (x+a)的图象.(2)由函数y=f