二项式定理(项公式)

1、二项式定理二项式知识回顾1.二项式定理n 0n 八1nll 1k n _k knn(a b) =gaCna P | ga b | Cnb ,以上展开式共n+1项，其中Ck叫做二项式系数，Tk+=CkanJsbk叫做二项展开式的通项. (请同学完成下列二项展开式)n 0 n 1 n J. 1k k n _k kn n nk k n_k, k(a b)=Cna-Cnab *|*(DCn ab +| U + (-1) Cnb ,丁卜中=(一1)Cn ab(1 +X)n =C0 +&X +川+CnkXk 十| 十CnnXn(2x 1)n =C：(2x)n C(2x尸 IH C：(2x)n* -

2、 |Cn(2x) 1= anxn - anjxn1 - HI ' an±xnJs H|ax ao 式中分别令x=1和x=-1，则可以得到 C： +C1+HI +Cn =2n ,即二项式系数和等于 2n ;_0_2_1_3n 1偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和，即 Cn +Cn +|=Cn +Cn +| =2 式中令x=1则可以得到二项展开式的各项系数和2.二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即Cm =Cn.k(2) 一项式系数Cn增减性与最大值：. n 1 n 1一当k <时，二项式系数是递增的；当 k > 时，二项式系数是

3、递减的22当n是偶数时，中间一项 C取得最大值.当n是奇数时，中间两项 C/和C/相等，且同时取得最大值.3.二项展开式的系数 a0, a1，&, a3,，an 的性质：f( x)= a0+ax+a2x2+a3x3+anxn1 1) ao+a1+a2+a3+an=f(1) a。-a1+a2-a3+(-1) an=f(-1) ao+a2+a4+a6=f(1) f(T)2(4)a1+a3+a5+a7, f(1) -f(-1)经典例题1、“（a +b）n 展开式：1 ，例1.求（3、/x +/）4的展开式;, x【练习1】求（3& ；）4的展开式2 .求展开式中的项6项为常数项例2.

4、已知在（3/x1=）n的展开式中，第23 x（1） 求n； （2）求含x2的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项-6 -【练习2】若（返十，了展开式中前三项系数成等差数列 .求：2扳（1）展开式中含X的一次哥的项；（2）展开式中所有X的有理项.3.二项展开式中的系数例3.已知 曲 十x2）2n的展开式的二项式系数和比（3x-1）n的展开式的二项式系数和大1 992,求（2X-）的展开式中：（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项 X练习3已知 （、x -2r）n（n N*）的展开式中的第五项的系数与第三项的系数之比是10：X1.3（1）求展开式中含X2的项；（2）求展开式中系数最

5、大的项和二项式系数最大的项4、求两个二项式乘积的展开式指定哥的系数例4. （x2 +1）（X 2）7的展开式中，X3项的系数是 5、求可化为二项式的三项展开式中指定哥的系数例5 （04安徽改编）（x+工-2）3的展开式中，常数项是；X6、求中间项1例6求（JX ）10的展开式的中间项;3. x（Mx -1广）10的展开式中有理项共有项;8、求系数最大或最小项（1） 特殊的系数最大或最小问题例8 （00上海）在二项式（x-1）11的展开式中，系数最小的项的系数是（2） 一般的系数最大或最小问题例9求（JX展开式中系数最大的项;（3）系数绝对值最大的项例10在（x-y）7的展开式中，系数绝对值最大项是 9、利用“赋值法”及二项式性质 3求部分项系数，二项式系数和+ a3）2的值例 11.若（2x+73）4 =a。+aj+a2x2+a3x3+a4X4 , 贝U （a。+a2+a4）2（a【练习 1】若（1 _2x）2004 =a0 +a1x+a2x2 +.+2004x2004则（a。- aj （ao - a2） , （a。-