人教A版选修2-2导数应用：含参函数的单调性讨论(二)

1、高中数学学习材料金戈铁骑整理制作导数应用：含参函数的单调性讨论(二)对函数(可求导函数)的单调性讨论可归结为对相应导函数在何处正何处负的讨论，若有多个讨论 点时，要注意讨论层次与顺序，一般先根据参数对导函数类型进行分类，从简单到复杂。一、典型例题例1、已知函数f(x) =ax3+3x2+3x+1,aw R,讨论函数f(x)的单调性.分析：讨论单调性就是确定函数在何区间上单调递增，在何区间单调递减。而确定函数的增区间就是确定f'(x)>0的解区间；确定函数的减区间就是确定f'(x) <0的解区间；讨论单调性与讨论不等式的解区间相应。解： 因为 f (x) =ax3+3

2、x2+3x+1,a w R , 所以 f/(x) =3(ax2+2x+1)(1) 当 a=0时,f/(x)=3(2x+1),1 /1/当 xW，时，f (x)W0；当 x 之一一，时，f (x)之0；2 21 1所以函数f (x)在(-叫-一上单调递增，在-,")上单调递减；2 2/2(2)当 a>0 时，f (x) =3(ax +2x+1)的图像开口向上，A=36(1a)I)当a*时， =36(1a) £0,时，f/(x)2 0,所以函数f(x)在R上递增;II)当0<a<1时，4 = 36(1a) > 0,时，方程f/(x) = 0的两个根分别为

3、-1 - 1 -a-1 .-1 ax1 =, x2 =，且 x1 < x2,aa1 1s/l a-1 + Ji - a所以函数 f(x)在(-8,),(,十无)上单调递增，在(1一中,±a)上单调递减；aa 当 a<0时，f/(x) =3(ax2+2x+1)的图像开口向下，且 4=36(1 a)>0/，-1 - 1 - a-11 一 a万程 f (x) =0的两个根分别为 x1 =,x2=，且x1x2,aa所以函数f(x)在(吗 ±2也二a),(17 1a,y)上单调递减,aa在(-1 + a, ±Ha)上单调递增。aa综上所述，当a<0时

4、，所以函数f(x)在(1+出，-与 上单调递增,aa一一1. 1 -a-1 - . 1 -a 、,在(-°°,),(, )上单倜递减；aa1 1 -当a = 0时，f (x)在(°o，上单倜递增，在,十)上单倜递减；2 21-,1-a -1. 1 - a 一当0<a<1时，所以函数 f (x)在(-«,),(,收)上单调递增，aa-1 - . 1 - a -1 J1 a在('一. 一 "1a , 1 V1 a)上单调递减； aa当a之1时，函数f (x)在R上递增；小结：导函数为二次型的一股先根据二次项系数分三种情况讨论(先

5、讨论其为0情形)，然后讨论判别式(先讨论判别式为负或为 0的情形，对应导函数只有一种符号，原函数在定义域上为单调的)，判别 式为正的情况下还要确定两根的大小(若不能确定的要进行一步讨论)，最后根据导函数正负确定原函数相应单调性，记得写出综述结论。例2. (2010山东理数改编)1 - a 已知函数f(x)=lnxax +-1(auR).讨论f(x)的单调性；x1 - a解：因为f(x)=lnxax+-1的定义域为(0,)x，2，',、1 a _1 ax x 1 a 小 、所以 f (x) = a+2 =2x= (0, ),x xx 令h(x)=ax x+1a,x= (0, f),贝U

6、f'(x)与g(x)同号法一：根据熟知二次函数性质可知g(x)的正负符号与开口有关，因此可先分类型讨论：(1)当事二。时，林X)=一兀+ 1eW(0,+m),听以 当工亡(0,1)时，以00,此时/<0,函数4K)单调递减；当工七(1,丑0)时，h(x)<0 ,此时/O)0,函数/(工)单调递增(2)当鼻wQ时，由/(工)=0.即 ax2 - x+1-d = 0 ,解得 Xj = -1a1 当a<0时，由于一_1<0<1, h(x)开口向下，结合其图象易知 aXS (0,1), h(x)>0,此时 f (x)<0 ,函数 f(x)单调递减；_

7、' . . _ xW(1,y)时，h(x)<0,此时f (x)> 0,函数f(x)单调递增.当a > 0时，h(x)开口向上，但x2是否在定义域需要讨论：1 一 一，、 一因1 <0 a <0或a21所以a1i)当a21时，由于-1<0<1, h(x)开口向上，结合其图象易知 ax= (0,1), h(x)<0,此时 f (x)>0,函数 f(x)单调递增. 一' 一 一 一xW(1,y)时，h(x)>0,此时f (x)<0 ,函数 f (x)单调递减；11) 当0<a<1时，g(x)开口向上且x1,

8、 x2三(0,"),但两根大小需要讨论：1a) 当2=一时，x1 = x2, h(x)为 0 恒成立，2此日f (x)W0,函数 f(x)在(0, +°)上单调递减；11b) 当0< a:一时，一 一1>1>0 , g(x)开口向上且在(0, +30 )有两根2 ax=(0,1)时，h(x)>0,此时f (x)<0,函数f(x)单调递减；1,'x= (1- -1)时h(x)<0 ,此时f (x)>0 ,函数 f (x)单调递增； axW(1T,y)时，h(x)> 0,此时 f'(x)<0,函数 f (x)

9、单调递减; a,1，-1c) 当一ca<1时，0 <1 <1 , g(x)开口向上且在(0,十妙)有两根 2a 1 x=(0,1)时，h(x)> 0,此时 f (x)<0,函数 f(x)单调递减； a1xw (_ 1,1)时 h(x)<0 ,此时 f (x)>0 ,函数 f (x)单调递增； axw (1,y)时，h(x)>0,此时f (x)<0,函数f(x)单调递减；小结：此法是把单调区间讨论化归为导函数符号讨论，而确定导函数符号的分子是常见二次型的，一般 要先讨论二次项系数，确定类型及开口；然后由于定义域限制讨论其根是否在定义域内，再讨

10、论两根 大小注，结合g(x)的图象确定其在相应区间的符号，得出导函数符号。讨论要点与解含参不等式的讨 论相应。法二：(1)当鼻=0 时，机)=-五+1ew(0,+m),听以 当(0,1)忖，次刈0,此时/(力<0,函数/单调递减9当MEQ400)时，h(K)<0 ,此时函数/(工)单调递增(2)当日 = 0时，由/(力=。.即 ax2 - x + 1-d = 0 ,解得 Xj = -1ai 1 一 一1 m0= a ：二 0或a .1a1i)当a<0时，由于1<0<1, h(x)开口向下，结合其图象易知ax= (0,1), h(x)>0,此时 f (x)&l

11、t;0 ,函数 f(x)单调递减；_ . _ ' . . _ xW(1,+=c)时，h(x)<0,此时 f (x)> 0,函数 f(x)单调递增.111) 当a之1时，由于1<0<1, h(x)开口向上，结合其图象易知 ax= (0,1), h(x)<0,此时 f (x)>0,函数 f(x)单调递增.xu(1,+=c)时，h(x)>0,此时 f (x)<0 ,函数 f (x)单调递减；11a0u 0<a<1 时 g(x)开口向上且 x1,x2u(0,+=c) a一 1一一i)当 a =时，x = x2 h ( x)为 0 恒成

12、立，2此日f'(x)W0,函数 f (x)在(0,户)上单调递减；1 .1. . _ 一，,一.一 ii)当0< a< 一时，一一1>1>0 , g(x)开口向上且在(0, +安)有两根2 ax=(0,1)时，h(x)>0,此时f (x)<0,函数f(x)单调递减;1,.,xw (1- _1)时h(x)<0 ,此时f (x)>0 ,函数 f (x)单调递增； a1-, j,、八 xw(1,y)时，h(x)>0 ,此时 f (x)<0 ,函数 f (x)单倜递减； a.1.1川)当一 <a<1时，0< 1<

13、;1, g(x)开口向上且在(0, +oo )有两根2a1xW(0,1)时，h(x)> 0,此时 f (x)<0,函数 f(x)单调递减； a1.xw ( 1,1)时 h(x)<0 ,此时 f (x)>0 ,函数 f (x)单调递增； axw(1,+=c)时，h(x)>0,此时 f'(x)<0,函数 f(x)单调递减；小结：单调性讨论化归为讨论导函数符号的问题，多数导数是连续函数，其正负所以区间可由其根划分，所以可根据相应导函数的零点个数(从少到多)分类，先讨论零点可能没意义的(如分母或偶次根等 含参数，要先讨论分母是否为零，被开方式是否非负)，然后

14、讨论解出的根是否为增根(解方程时由于去分母，去根号，去对数符号时导致范围扩大而得出根，要讨论其是否在定义域内)，再对有多个零点的讨论其大小，最后由导数的根将定义域划分为若干区间并结合导函数图象确定相应区间上确定导函 数的正负(不能确定的再讨论何时正何时负)而得到相应单调性质。最后确记要综合讨论情况，写出 综上所述结论。函数问题一定要注意先确定定义域，单调区间是定义域的子集。为讨论导函数的根及导函数的符号情况，一般能因式分解的要先分解(包括分式先通分)。例2. (2011年广东卷文19题)2设 a >0,讨论函数 f(x) = ln x+a(1a)x 2(1 a)x 的单调性.解：函数f(

15、x)的定义域为(0,收)2、 12a(1 -a)x -2(1 -a)x 1f (x)二一 2a(1 -a)x -2(1 -a)=(x>0)xx2令 g(x) =2a(1-a)x 2(1a)x+1，则 f'(x)g(x)同号.1. (1)当 a=1 时，g(x) =1, f'(x) =->0, f (x) = In x在te义域(0,十无)上为增函数 x(2)当 a=1 时， =4(1a)2 - 8a(1 a)=12a216a + 4 = 4(3a1)(a1),c 1,当AW0u WaWl时，g（x）开口向上，图象在 x轴上万，所以g（x）之0 3所以f'（x

16、）20,则f（x）在（0,依）上单调递增, x2 二2a(1 - a) 2a(1 - a),-1 ,、当A>0u a<或a>1，此时令f (x) = 0 ,解得x1 = 3由于 2a（1a）A0= 0<a<1u g（x）开口 向上且 0 < x1 < x2 ,因此可进一步分类讨论如下：i)当 a>1 时，2a(1a)<0n g(x)开口向下，x2 H0<x1 x >0, f'(x)>0U 0<x<x1 ; f'(x)<0u x> x1则f (x)在(0aJeam1)上单调递增, 2a

17、(1-a)在（上智严上）上单调递减1 一ii)当 0<a< 一时，f(x)A0U 0 cx < X 或 x A x2; f(x)<0u x1 < x < x2 31 a (3a - 1)(a -1)1 -a 1. (3a - 1)(a -1)则f (x)在(0,1-),(4,+=c)上单倜递增,2a(1 - a)2a(1 - a)j-aiaawi综上所述，f（x）的单调区间根据参数 a讨论情况如下表:C10 <a <31 <a <1 3a> 1(0,x1)(xe)(x2,f(0, f(0, X)(xD增匚减匚增匚增匚增匚增匚1.

18、 (a -1)(3a -1)1. (a -1)(3a-1)(其中X,x2)2a 2a(1 - a)2a 2a(1 - a)小结：求单调区间要确定定义域，确定导函数符号的关键是看分子相应函数，因此讨论点有：第一是类 型（一次与二次的根个数显然不同）；第二有没有根（二次的看判别式），第三是有根是否为增根（ 在不在定义根内；第四有根的确 定谁大；第五看区间内导函数的 正负号（二次函数要看开口）。确记要 数形结合，多数考题不会全部讨论点都要讨论的，题中往往有特别条件，不少讨论点会同时确定（即知一个就同时确定另一个）。判别式与开口的讨论点先谁都可以，但从简单优先原则下可先根据判别式讨论，因为当导函数无根

19、时它只有一种符号，相应原函数在定义域内（每个连续的区间）为单调函数 较简单。二、巩固作业：a1 .已知函数f(x)=lnx.,求f(x)的单调区间. x1ax»a斛：函数的JE义域为(0,+ °0) , f (x) = +f=, x x x令f' x =0得：x= -a若-a M0即a之0则f(x)>0 , f x£( 0 , +蚩单调递增；若-a>0即 a< 0 则由 f(x)> 碍x>-a 由 fx)< 俏x<-a二f ( x)在(-a+的r单调递增，在(0,-a )上单调递减.总之，当a主0时，f ( xjf

20、t ( 0R00小单调递增；当a<0时，f( x在(- a+单调递增，在(0,-a )上单调递减.一.1 ，2 .已知函数f(x)= x2 - ax+( a -1) ln x ,讨论函数f (x)的单倜性，求出其单倜区间。2解：f(x)的定义域为(0,收).a -1 x2。ax a-1(x-1)(x 1 -a) x-1 xTa-1：j|f (x); x - a =xxxx令f' x )：=01kxi =1,x2 =a-1(1)若a 1 M0 即a M1 时，f'(x)0u x1;f'(x)<0u 0<x<1,此时f (x)在(1,f)单调递增，在

21、(0,1)单调递减(2)若 a -1 A0即 a >1时, ，(x -1)2若a1=1即a=2时，f(x) = (->0,故f(x)在(0,收)单调递增.x若 0<a1 <1,即 1<a <2时， ''由 f (x) M0 得，a -1 <x <1 ；由 f (x) a 0得，0 < x < a -Mx> 1故f(x)在(a1,1)单调递减,在(0,a1),(1,y)单调递增.若a1A1,即a>2时，'.一 一.一'由 f (x) <0得，1 <x <a 1 ；由 f (x

22、) a0得，0< x <1或x> a -1故f(x)在(1,a1)单调递减，在(0,1),(a1,+w)单调递增.综上所述，当a E1 , f (x)单调增区为(1,y)，减区间是(0,1);当1<a<2时，f(x)的减区间是(a1,1),增区间是(0,a1),(1,)；当a =2时，f (x)在定义域上递增，单调增区为(0,十望)(不存在减区间)；当a>2时，f(x)的减区间是(1,a1),在增区间是(0,1),(a1,十整).3 .已知函数f ( x)= ln(1+x)- x + x - k .1 - k故f(x)的单倜递增区间是 (1, )和(0,依)，单调递减区间是(,0). kk综上知：当k=0时，f(x)得单调递增区间是(-1,0),单调递减区间是(0,收)；当k=1时