用法向量求二面角的大小及其角度关系的确定

1、个人收集整理仅供参考学习用法向量求二面角的大小及其角度关系的确定我们都知道，向量知识在数学学科里有其非常广泛的应用，尤其是在立体几 何求角和距离时，若利用向量知识求解会得到事半功倍的效果， 也正体现了向量 知识的工具性和灵活性。而在应用向量知识求解二面角的大小时， 不是所有的二 面角的两个半平面的法向量的夹角都和二面角相等，有时是互补，那么，什么时候相等，什么时候互补，如何确定其“角度之间的大小关系” 一直以来是困扰很 多教师和学生的一个难题。向量有其自身的独特性质一自由性，当一个向量在空间的某一位置时，可以 自由移动，只要满足其方向不变，其无论移动到任何位置，向量都是相等的。根 据这一性质，

2、当我们把二面角的某个半平面的法向量求出后， 把它的起点放到坐 标原点，然后确定其向量的方向的指向，从而确定其法向量的夹角和二面角的大 小的关系，在确定了法向量的夹角与二面角的关系后， 再利用向量的数量积求出 二面角的大小，下面就来具体阐述一下这一做法。资料个人收集整理，勿做商业用途一.规定法向量的指向方向1 .当法向量的方向指向二面角的内部时称之为向里指, 如：图1中的吊向量。法向量的夹角和二面角大小的关系2 .当法向量的方向指向二面角的外部时称之为向外指, 如：图i中的n2向量。1 .设。，队分别为平面口，P的法向量，二面角« -l - P的大小为e ,向量 nnr的夹角为中，当两

3、个法向量的方向都向里或都向外指时，则有日+中=兀（图 2）;资料个人收集整理，勿做商业用途2 .当两个法向量的方向一个向里指一个向外指时日=中（图3）1 .已知二面角a l B ,若平面a的法向量n = (4,4,3),由向量的相等条件知，坐标是(4,4,3)的向量n有无数多个，根据向量的自由性，我们只需做出由原点出发的一个向量便可，如图4所示，从而，我们很容易的判断出平面a 法向量的方向的指向，是指向二面角的里面。资料个人收集整理，勿做商业用途yy6 / 52 .若平面a法向量5 = (4,-3,-1),同理可做出从原点出发的法向量，如图 5所示，显然，方向是指向二面角的外面。资料个人收集整

4、理，勿做商业用途四.应用举例例题1.如图6,在棱长为1的正方体 ABCD-AiBCiDi中G、E、F分别为 AAi、AB、BC的中点，求作二面角 GEFD半平面GEF的法向量并判断其 方向。资料个人收集整理，勿做商业用途解：以D为原点建立空间直角坐标系，则 E(1, 1,0)、F(g, 1,0)、111、 1G(1,0, 3)由此得：GE = (0,3,3) FE =(设平面的法向量为n=(x, y, z)由mGEMmFE可得f 7711-n * GE y z 02 2 二 =11Jn * FE = x y=022x = yz = y令y=1取平面的一个法向量为n = (1,1,1)评析因为平

5、面的法向量有无数个，方向可上可下，模可大可小，我们只要求出平面的某一个法向量即可，再令其从原点出发，做出法向量n = (1,1,1)如图所示,方向指向二面角 GEFD的外部。资料个人收集整理，勿做商业用途例题 2.如图 7,在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB=2, BC=4, AA1二2，点 Q是BC的中点，求止匕时二面角 A A1DQ的大小.资料个人收集整理，勿做商业用途解 如图，建立空间直角坐标系.依题意：A1 (0, 0, 2), D (0, 4, 0)., Q (2, 2, 0), D (0, 4, 0),A1Q =(2,2,-2),QD =(-2,2,0)平平面面AA1D的

6、法向量 耳=(1,0,0)设面A1DQ的法向量电=(a1,a2,a3)n2 n? AiQ =2a1 +2a2 2a3 =0,a2 =a，则J口n2 QD = -2a1 + 2a2 =0,ka3 =2ai,F;n2 =(a,&&)令 a1二1,则 n2 =(1,1,2)做出从原点出发的向量n2 =(1,1,2),如图所示，从图形得出，半平面 AA1D的法向量n1 =(1,0,0)的方向指向为二面角 A-A1D-Q的里面，半平面 A1DQ的法向量出=(1,1,2)的方向指向为二面角的外面，所以二法向量的夹角与二面角的 大/、才目等。即：资料个人收集整理，勿做商业用途cosi= co

7、s：n1,n2 =一二面角A AiDQ的大小为arccos 6 0评析(1)传统方法求二面角大小时需三个步骤:“找一一证一一求”，而用法向量求二面角大小时简化成了两步骤：“判断一一计算”，这在一定程度上降低 了学生解决立体几何问题的难度，也体现了各部分知识间的贯通性和灵活性，更 加注重对学生创新能力的培养，体现了教育改革的精神。 资料个人收集整理，勿做商业用(2)求出法向量此n2 =(1,1,2)之后，在坐标系中令其从原点出发做出此法向量，然后判断其方向指向，即指向二面角 AA1DQ的里面，又半平面ADQ的法 向量n7 =(1,1,2)的方向指向为二面角的外面，所以二法向量的夹角与二面角的大

8、小相等。从而，二面角的大小利用向量的数量积而求得。资料个人收集整理，勿做商业用途例题3.如图8,在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，AD/BC , /ABC=90°, SAX® ABCD, SA=- , AB=BC=1 , AD= - 0 求侧面 SCD 与面 SBA 22所成的二面角的余弦值。 资料个人收集整理，勿做商业用途解：以A为原点如图建立空间直角坐标系，国8则 S (0, 0,1), A (0, 0, 0), 2_一 一 ，一 一 ，1 八小B (0, 1, 0), C (1, 1,0), D (万，0, 0), 111SD =(-,0, -), SC =(1

9、,1,一1)， 222显然平面SBA的一个法向量为 吊=(1, 0, 0),设平面 SCD的一个法向量为52=(x, y, z), 则n2,平面SCD-11 1、2 = L , 一，一)24 2n2 SD =0' x - z = 0 =，(n2 SC =0、2x +2y-z = 0由图知，半平面SBA的法向量为n1=（1, 0, 0）的方向指向面SCD与面SBA所成111.的二面角的里面，半平面SCD的法向量n2 =（1,）指向面SCD与面SBA所2 4 2成的二面角的外面，所以二法向量的夹角与二面角的大小相等，由此得： 资料个人收集整理，勿做商业用途n n22cosi = cos 二

10、足，1二一：-一|n1 |n21 3所求的二面角的余弦值为2.3x -z =0,取z = 一、2x+2y z = 01111-Jn2 .(_,_,_)若在：图9这时，两个半平面的法向量就都指向面 SCD与面SBA所成的二面角的里面了， 如图9,两个法向量的夹角与二面角的 大小互补，即：f-r=- -n1 ,n2*, n1 n22/. cos = - cos : m =-二 一| n1 |皿 | 3、一、，一，一 1注:在求得关于x,y,z的关系式，给z赋值时，由于版面的空间有限，只好取z=-,而通常我们在做题时，一般都令 z=1,这样便于计算。 资料个人收集整理，勿做商业用途评析：（1）因为所求的二面角的交线在图中较难作出， 所以用传统的方法求 二面角比较困难，向量法在这里就体现出它特有的优势；（2）法向量的取法可以 灵活多变，但做出法向量的时