第2部分专题7第2讲选修4-5不等式选讲Word版含解析

1、第2讲选修45不等式选讲研考题III,通过真题演变T明魏希苛方向可蜃画面鸵考点1含绝对值不等式的解法(5年7考)高考串讲找规律-13 -高考解读以解答题的形式考查绝对值不等式的解集、有限制条件的包成 立、有解等问题、考查学生的等价转化能力和数学运算能力，难度中等1. (2017 全国卷 I)已知函数 f(x) = x+ax+ 4, g(x) = X+1|+/一1|.当a= 1时，求不等式f(x)再(x)的解集；(2)若不等式f(x)用(x)的解集包含1,1,求a的取值范围.解当a=1时，不等式f(x)用(x)等价于 x2-x+ |x+ 1|+|x-1|-40.®当x<1时，式化

2、为x2-3x- 4<0,无解;当一1今司时，式化为x2 x 2,从而一14司;当x>1时，式化为x2 + x 40,.- 1 + V17从而 1<x<2所以f(x)用(x)的解集为1+打-1 双 w2当 xC 1,1时，g(x) = 2,所以f(x)用(x)的解集包含1,1等价于当xC1,1时，f(x)治又f(x)在 1,1的最小值必为f(1)与f(1)之一,所以f( 1p2且f名 得一 1&4所以a的取值范围为 1,1.2. (2019 全国卷 H)已知 f(x)=x a|x+ x- 2|(x-a).(1)当a= 1时，求不等式f(x)<0的解集；(2)

3、若xC ( oo, 1)时，f(x)<0,求a的取值范围.解(1)当 a=1 时，f(x)=|x 1x+|x 2|(x- 1).当x<1时，f(x)= 2(x 1)2<0;当x当时，f(x)力.所以，不等式f(x)<0的解集为(oo, 1).(2)因为f(a) = 0,所以aH当 a当，xC ( 8, 1)时，f(x) = (a x)x+(2 x)(xa)=2(ax)(x1)<0.所以，a的取值范围是1, + °<).教师备选题(2018 全国卷 I)已知 f(x)=x+ 1|-|ax- 1|.(1)当a= 1时，求不等式f(x)>1的解集；

4、若xC (0,1)时不等式f(x)>x成立，求a的取值范围.-2, x 1,解(1)当 a=1 时，f(x)=|x+ 1|-|x-1|,即 f(x) = <2x, - 1<x< 1, 12, x声.故不等式f(x)>1的解集为1x|x>22当 xC (0,1)时|x+ 1|-|ax- 1|>x 成立等价于当 x (0,1)时，|ax 1|<1 成立.若 a0,则当 xC (0,1)时|ax1/；22右a>0, |ax 1|<1的解集为00<x<-,所以-故0<a<2.综上,a的取值 aa范围为(0,2.I推方法

5、1 .用零点分段法解绝对值不等式的步骤(1)求零点；(2)划区间、去绝对值符号；(3)分别解去掉绝对值的不等式；(4)取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值.2 .用图象法、数形结合法可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何 化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法.考题变迁握素养3 .(有解问题)已知f(x)=x| + 2x 1|.(1)解不等式f(x)N;(2)若不等式f(x)02a+1|有解，求实数a的取值范围.解(1)不等式f(x)N,即冈+2X一1|N,等价于x<02 3x N或104局2 xNx>13x- 2N2 .、?x<- 3或无解或x沼故

6、不等式的解集为 丁' 2 L2, +叫.(2)f(x)W2a+1|有解等价于 f(x)min平a+1|.，2 3x x<0f(x)=|x|+2|x 1|= 2 2-x 0443x2 x>1故f(x)的最小值为1,所以102a+1|,得2a+U 1或2a+1当，解得a<-1或a可，故实数a的取值范围为(8, - 1U0, +丐.4 .(何成立问题)已知函数f(x)=|2x+1|+|x 1|.(1)解不等式f(x)>2;(2)若g(x) = f(x) + f(x),且对任意xCR,都有|k1|<g(x),求实数k的取值 范围.一 1x<- 2,解(1)依

7、题意得f(x) =x十2,-2<x<1,3x, x/.于是得2 33x>21,2<x<1或x+ 2>2x冷, .3x>2,x-1x+ 1 磷,2x-12x+1 磅,7 1 11即xe I-2 2时取等号,若对任意的xCR,不等式|k 11Vg（x）包成立，则|k- 11Vg（x）min = 4, 所以4<k1<4,解得3<k<5,即实数k的取值范围为（3,5）.考点2不等式的证明（5年3考）高考串讲找规律高考解读以解答的形式考查学生应用比较法、基本不等式等证明不等式, 考查学生的逻辑推理及数学运算能力.（2019全国卷I）已知a

8、, b, c为正数，且满足abc= 1.证明:(1)+1+&2+ b2+ c2； a b c(2)(a+ b)3+ (b+ c)3+ (c+ a)%24.证明(1)因为 a2+b2彻b, b2 + c2或bc, c2+a2或ac,又 abc= 1,故有 a2+b2,2、+ c 刃b+bc+caab+ bc+ca 1 1 1=;=一+ r+ abc a b c当且仅当a=b=c= 1时，等号成立.所以 liM+bUc2(2)因为a, b, c为正数且abc= 1,故有(a+ b)3+ (b+c)3+ (c+ a)3>33/_a+ b_3b+c_3a+c""3=3

9、(a+ b)(b+c)(a+ c)26X2/ab) 林局)(2>Jac)=24.当且仅当a=b=c= 1时，等号成立.所以(a+ b)3+ (b+ c)3+ (c+ a)S24.教师备选题1. (2015全国卷H)设a, b, c, d均为正数，且a+b = c+d,证明:若ab>cd,则/+加>正+ >/d;(2)/+也>4十也是忸切<匕|的充要条件.证明因为(g+Vb)2 = a+b + 2V0b,(1c+ d)2=c+d + 2 cd,由题设 a+b=c+d, ab>cd,得函十a2>(加+而)2因此 a+ b> c+ d.若 |a-

10、 b|<|c- d|,则(a- b)2<(c-d)2, 即(a+ b)2 4ab<(c+ d)2 4cd.因为 a+b = c+d,所以 ab>cd.由(1)得«+ Vb>Vc+ Vd.若5+加>加+加，则(y+也)2>(加+6)2,即 a+ b + 2 ab>c+ d+2 cd.因为 a+b = c+d,所以 ab>cd,于是(ab)2=(a+ b)24ab<(c+ d)24cd= (cd)2,因此 |a-b|<|cd|.综上，g+证>也十&是忸b|<|cd|的充要条件.2. (2017 全国卷

11、H)已知 a>0, b>0, a3+b3 = 2.证明: (1)(a+b)(a5+b5p4；(2)a+b2证明(1)(a+ b)(a5+ b5)=a6 + ab5+a5b+ b6=(a3+ b3)2- 2a3b3+ab(a4+ b4) = 4 + ab(a2 b2)2M(2)因为(a + b)3= a3 + 3a2b + 3ab2+ b3 = 2 + 3ab(a + b)一2一33 a+b 23a+b 3磴 +4(a+b) = 2 +4,所以(a+b)3V,因此 a+bV.僻方法不等式证明的常用方法是：比较法、综合法与分析法.其中运用综合法证明 不等式时，主要是运用基本不等式证明，

12、与绝对值有关的不等式证明常用绝对值 三角不等式.证明过程中一方面要注意不等式成立的条件，另一方面要善于对式 子进行恰当的转化、变形.考题变迁握素养1.(用基本不等式证明不等式)已知函数f(x)=|x 2|.(1)求不等式f(x)>4|x+ 1|的解集；设 a, b 0, 2 j,若 W j+ 彳 j=10，求证：a +2M.解(1)f(x)>4|x+ 1|可化为 |x 2|>4|x+ 1|,x 1 )等价于1 c 一 一 x- 2 >4+ x+1J 1<x< 2,'x总，或3或一 -x-2 >4 x+1 一 展2>4 x+1 .一 3 .

13、5解得x< 2或x N或x>2.所以原不等式的解集为8, -3 ；u J5, 十金(2)因为 a, bC , 21,所以；>2,，4.则 £ ；+f'22+22= 10,即 1+2= 14.a ba b ' a b由基本不等式得，a+2E+2j=2+2a+2a或+N2Pb=4,当且仅当14,1- 7 2- 7- -a brrt所以14%+bj24,即a+b42.(用绝对值不等式的性质证明不等式)已知函数f(x)=X+ 1|.(1)求不等式f(x)<|2x+ 1|-1的解集M;(2)设 a, bC M,证明:f(ab)>f(a)-f(-b)

14、.解由题意,|x+ 1|< |2x+ 1|- 1,当x$ 1时，不等式可化为x 1 < 2x 2,解得x<- 1:一1一 ,当一i<x<2时，不等式可化为x+ 1<- 2x-2,此时不等式无解；-1 ,当XA 2时,不等式可化为x+ 1<2x,解得x> 1.综上，M = xk< - 1 或 x> 1.(2)证明:因为 f(a)-f(-b)=|a+ 1|-|-b+1|<|a+1-(-b+1)|=|a+b|, 所以要证 f(ab)>f(a) f( b),只需证 |ab+ 11> |a+ b|,即证 |ab+ 1|2>

15、;|a+ b|2,即证 a2b2 + 2ab+1 >a2+2ab+b2,即证 a2b2-a2-b2+1>0,即证(a21)(b21)>0.因为 a, bC M,所以 a2>1, b2>1,所以(a21)(b21)>0成立，所以原不等式成立.考点3与代数式有关的最值问题(5年3考)高考串讲高考解读以解答题的形式考查代数式含绝对值不等式的最值求法，考查学生应用均值不等式、柯西不等式、绝对值不等式的几何意义等工具分析问题 和解决问题的能力，考查逻辑推理的数学素养.1. (2019 全国卷 田)设 x, y, zC R,且 x+ y+ z= 1.(1)求(x 1)2

16、+ (y+ 1)2+ (z+ 1)2 的最小值;(2)若(x 2)2+(y 1)2+(z a)2g成立，证明：a<- 3 或 a a 1.2解(1)因为(x- 1) + (y+ 1)+ (z+ 1)=(x- 1)2+(y+ 1)2+ (z+ 1)2 + 2(x 1)(y+ 1)+(y+ 1) (z+ 1) + (z+ 1)(x- 1)3(x- 1)2+(y+1)2+(z+1)2,所以由已知得(x- 1)2+(y+1)2+(z+1)2g,当且仅当x="|, y= 一4，z=一时等号成立. 333所以(x1)2+(y+ 1)2+(z+ 1)2 的最小值为 4.3证明：因为(x2)+

17、(y1)+(z a)2= (x-2)2+(y-1)2+(z-a)2 + 2(x- 2)(y-1) + (y- 1) (z-a) + (z a)(x- 2) (x 2)2+(y- 1)2+(z- a)2,一一2222 + a所以由已知行(x 2) + (y 1) + (z a),3当且仅当x=ta, v= 丫，z= 2a/时等号成立. 333一一991.，一 ，一，2 + a所以(x 2) + (y 1) + (z a)的取小值为73.2+a 21.由题设知一3海，解得a七3或a 1.2. (2018 全国卷 出)设函数 f(x) = |2x+ 1|+x-1|.(1)画出y= f(x)的图象；(

18、2)当xC 0 , 十%时，f(x)&x+ b,求a+ b的最小值.,八1-3x, x< 一万，解(1)f(x) =x+ 2, -叔<1,3x, xHy=f(x)的图象如图所示.(2)由(1)知，y=f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且仅当a冷且bW时,f(x)4x+b 在0, +°<:)成立，因此 a+b的最小值为5.教师备选题若 a>0, b>0,且；+(=/0).(1)求a3+b3的最小值；(2)是否存在a, b,使得2a+3b=6? 112解(1)由 Vab = a + b0b，行 abW,并说明

19、理由.当且仅当a=b =，2时等号成立.故 a3+b32da3b324/2,且当 a= b = >/2时等号成立.所以a3+b3的最小值为46.(2)由(1)知，2a+3b或加aN%.由于43>6,从而不存在a, b,使得2a+3b=6.1 .形如 f(x)= |Ax+ B|+ Ax+ C|的最化因为 |Ax+B|+|Ax+ C|半x+B (Ax+ C)|=|BC|,当且仅当(Ax+B)(Ax+ C)或 时取 匚"，所以 f(x)min=|Ax+B|+|Ax+ C|min= |BC|.2 .形如 f(x)=|Ax+B|Ax+C|的最化因为 |Rx+B|Ax+ C|平x+B

20、Ax C|=|B C|,当且仅当(Ax+B)(Ax+ C)冷 时取 J"，所以 f(x)max= |Ax+ B|-|Ax+ C|max= |B C|, f(x)min = |Ax+ B|一|Ax +C|min = 一|BC|.3 .形如 f(x)=|Ax+B|+|Cx+D|或 f(x)= |Ax+B|Cx+D|的最值由绝对值的几 何意义作图可知.考题变迁握素养1.(求最值问题)设函数f(x) = |x+1|x|的最大值为m.(1)求m的值;2a(2)右正头数a, b酒足a+b=m,求=1b2+ a+ 1的最小值.解(1)|x+1|x| 耳x+1x|=1,f(x)的最大值为1，.二m=

21、 1.由(1)可知，a+b=1, a2b21 a2 , b2r + 充r 1M + aT7 J(a+ 1)+(b+1)1 a2 a 1, b2 b 1=一 十3 kb+1a+1+ a2+ b24(2ab+ a2+ b2) = 1(a+ b)2= 1,333,，1 , 一当且仅当a=b=2时取等号,2bh+b2a+ 1一一 ，一 .1的最小值为1.32.(求参数问题)设函数f(x) = |2x1|+|x+a|.(1)当a= 1时，求f(x)的图象与直线v= 3围成区域的面积;(2)若f(x)的最小值为1,求a的化解(1)当a=1时，尸3x x < 1 ,1f(x)=|2x-1|+|x+ 1

22、|=x+ 2 T叔<23x, x 222,如图，作出函数f(x)的图象与直线y= 3,结合图象可 求面积为和(1)的3 )= 3.(2)法一：(借助分段函数的性质),11一1一当一a>？，即 a< 一2时，知所3x a+ 1, x< 2,则 f(x)min = fg I ga1=1,所以 a= - 2._3x_a+1, x<_a,当一ag,即 a* 2 时，f(x)二 x+ a+1，a较 <2，、13 3x+ a 1, x至，则 f(x)min = f2 = 3>+a1 = 1,所以 a =5.综上，a= 2或a=g.、. 一、一 -1111法二：(解恒成立问题)= f(x) = |2x 1|+|x+a|= x2 + x2 +|x+ a|x2,