六年级奥数分数的速算与巧算

1、第一讲 分数的速算与巧算教学目标本讲知识点属于计算大板块内容，分为三个方面系统复习和学习小升初常考计算题型1、裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握裂项技巧及寻找通项进行解题的能力2、换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。3、循环小数与分数拆分： 掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数 与分数的主要利用运算定律进行简算的问题.4、通项归纳法通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算， 使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式

2、，用字母表示后化简为常见的一般形式. 知识点拨 一'、裂项综合(一)、“裂差”型运算(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即形式的，这里我们把较小的数写在前面，即 a<b,a b那么有 J =L(1 _1)a b b -a a b1n (n »1) (n 2)(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：!形式的，我们有:n (n 1) (n 2) (n 3)1(n 1)(n »2111=-n (n »1) (n 2)2 n (n 1)1111二一 n (n 1) (n 2) (n 3)3 n (n 1) (n 2) (n 1) (n

3、 2) (n 3)1的，复杂形式可为都是 x(x为任意自然数)的，但是只要将x裂差型裂项的三大关键特征:(1)分子全部相同，最简单形式为都是提取出来即可转化为分子都是 1的运算。(2)分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”(3)分母上几个因数间的差是一个定值。(二)、“裂和”型运算：2222a b a b a ba b a b a b b a常见的裂和型运算主要有以下两种形式：(1)山=3+上 a b a b a b b a裂和型运算与裂差型运算的对比: 同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”,裂和型运算

4、的题目不仅有“两两抵消”型的,三、整数裂项1(1) 1 2 2 3 3 4 . (n -1) n (n -1) n (n 1)31(2) 1 2 3 2 3 4 3 4 5 . (n -2) (n -1) n (n -2)(n -1)n(n 1)4二、换元解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法.换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简.三、循环小数化分数1、循环小数化分数结论:纯循环小数混循环小数分子循环节中的数字所组成的数循环小数去掉小数点后的数字所组成的数与不循环部分数字 所组成的数的差分母n个9,其中n等于循环节所含的数字个数按循环位数添9,

5、不循环位数添 0,组成分母，其中9在0 的左侧c a0. a =0.abab92、单位分数的拆分：,11例：二，10 2099CC 丁 ab 1 ab0.0ab=99 10 99011111=一O.abc20 i i i i i i i i i i i i ( i ( i分析：分数单位的拆分，主要方法是：从分母N的约数中任意找出两个 m和n,有:11(m n)abc - a990N N(m n) N (m n) 本题10的约数有：1,10,2,5.。N(m n) A例如：选1和2,有:101(1 2)一10(1 2)本题具体的解有:10 11例题精讲模块一、分数裂项1十110例1例2例3例4一

6、10(1 2)+10(1 2)30 1512+ =60 141+=35151+ 30+ *，+1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 67 8 9 1017 18 19 20计算:计算:计算:19 川98 9 10+川+17198 9 10 9 10 11+111 +1210 11 13 142 3 2 3 4 2 3 4 5+川+2 3 4 川 101 川川1 1 2 12 312Hl 10021 (1 2)+(1 2) (12 3)+(1 2 3) (1 2 3 4)+111 +50(1 2 349) (1 2 3 Hl 50)1 (1 2)(1 2) (12 3)+(1 2 3) (

7、1 2 3 4)+川十100(1 2 川 99) (1 2 | 100)【巩固】1x(1 +2)(1 +2)x(1+2+3)-III10(1 2 3 川 9) (1 2 3 JU 10)111111!_ + !_ + ! + !_ + ! + ! 2222223 -1 5 -1 7 -1 9 -1 11 -1 13 -1计算:计算:3.3一 已.2_2_ 2_2_2.22,212233 4782222231517119931 19951-2' -1 I I . 2'3-15 -17 -119932222-1 1995 -1计算:99 1014 4 6 6 8 8 10 109

8、11例6 121 12计算：111(1 1) (1 1)2311十!1 2 12 3+1(1 1)21119991. .1(11)川(1 -)319991 .二1 2 .200713 5 7 Ml 211 2 1 2 3 1 2 3 4KK2 一1f1 -2一2-212131212221222,21231234'-333331231234992 -122212 一 一 263312 一 一 26例9 计算:计算:222-2- -3川-992 -1 3 -199 -1/-21 - 2221 -100 5000 2 -200 5000992299 - 9900 5000例1 2420 21

9、12 112 2212 22102模块二、换元与公式应用【例10】计算：13+33+53+73+93+113+133 +153【巩固】1x3+2x4+3x5+19x11【巩固】计算：1m2x3+2m3m4+3x4m5+|十8m9m10【例 11】计算：i+;+j+3+j+/+!3 33333_22222222【例 12计算：（2 十4 十6 十，+100 ）（1 +3 +5 +，+99 ）1 2 3 一 一9 10 9 83 2 12【巩固】（31415926 ） 31415925x31415927 =； 12342 +87662 +2468x8766 =.【巩固】计算：12 22 +32 -

10、42 +H|+20052 -20062 +2007222222222221223344520002001【例 13 计算： +1 22 33 44 52000 2001【例 14 攵007 （8.5 X8.5 1.5 M 1.5 广 101小160 _ 0.3 =.【巩固】计算：53x5747x43=.【巩固】计算：11M19+12x18+13x17 + 14x16 =.【巩固】计算：1m99+2m98+3m97+1|+49父51=.【巩固】看规彳t 13 =12 , 13 +23 =32, 13 +23 +33 =62 ，试求 63 +73.+川+143【例 15】计算：（1 1- +1）

11、x（l 1- +1）_（1 +- 1- +1）x（l 1-）24 246246241 1 1、 ，1 1 111 1 1 1、 ，1 1 1、【沙L 固】（1 + + +）父（+ + +） （1 + + + +）父（一+ +）23423452345234【巩固】任十二十工十工工化十工十工十工l1J-1 J J十。工工十。十。I111 21 3141 21 31415111 2131 4151 21 31411111、 ，11 11、 / 1 1 1 111 11、【凡固】（一+ + + ）区（一+ +）一（十一+ +）父（一+十 ）5 7 9 1179 1113 5 7 9 1113 7 91

12、1【巩固】计算1111111111111111111 一 1 ,123452 3456234562 3451-39112311| - b： 1111 2 -9' 2_39j23410234102.2 3103410（- 川）2 （1 2 3 III -） 1-（1 1 - 3 | ） （2 3）23410234102234103 410【巩固】计算112 1-34 1十1111341 川+ 2009【巩固】【巩固】(7.88 6.77 5.66) (9.31 10.98 10) -(7.88 6.77 5.66 10) ( 9.31 10.98) 计算(1 +0.45+0.56)m(0

13、.45+0.56 + 0.67) (1 +0.45 + 0.56+0.67)m(0.45+0.56)三、循环小数与分数互化【例16】计算：0.1+0.125+0.3+0.16 ,结果保留三位小数.【巩固】(1)0.54 +0.36 =；G 19 1.2 1.24 =27计算：0.01 +0.12 +0.23 +0.34 +0.78 +0.89计算(1)0.291 -0.192 +0.375 +0.526 0.330x0.186【例17】某学生将1.23乘以一个数a时，把1.23误看成1.23,使乘积比正确结果减少0.3.则正确结果该是多少？【巩固】将循环小数0.027与0.179672相乘，取

14、近似值，要求保留一百位小数， 那么该近似值的最后一 位小数是多少？【例18有8个数，0.51, 2,5, 0.51,丝13是其中6个，如果按从小到大的顺序排列时，第 4 3 947'25个数是0.51 ,那么按从大到小排列时，第4个数是哪一个数？【例19真分数a化为小数后，如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是7是多少？1992,那么a【巩固】真分数a化成循环小数之后，从小数点后第1位起若干位数字之和是 9039 ，则a是多少?7【巩固】真分数a化成循环小数之后，小数点后第2009位数字为7,则a是多少?7【例20 型02和工化成循环小数后第100位上的数字之和是20092

15、87【巩固】纯循环小数0.abC写成最简分数时，分子和分母的和是58,则三位数abc =2009【例21在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立.(D 101111111111110= 十= 十 =+= 十= 十；2020 j i i j j j i j j11【巩固】在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立.1111111=+ + 10 i i i i i i i i i i i i【例22工=工+2=2_2=2+工45 i i i i i i i i ( i ( i ( i i i i i i【巩固】L=J1LJ+工+工10 i i i i i i i i i i i i【例23】所有

16、分母小于30并且分母是质数的真分数相加，和是 【巩固】分母为1996的所有最简分数之和是 111【例24】右二一十一,其中a、b都是四位数，且a<b,那么满足上述条件的所有数对（ a,b ）是2004 a b111【巩固】如果=1_a B均为正整数，则 B最大是多少？ 2009 A B课后练习：123456练习 1. - - - - -1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7练习2.练习3.练习4.练习5.练习6.89一9) (9-w)123) (2-3) (3-4) 川 (8计算：13+33 +53 十|+993 =.计算：1. .11 1.11.111 一 11 - 一 , 一 , I卜 - 1 一 ,川. - - Jl| -.220072 32008. 220082 32007|0.15 +0.218卜0.3次"；(2.234 0.98)+11 (结果表示成循环小数)111【备选1】计算:【备选2】计算:【备选3】计算