圆和扇形(经典题汇总)

1、圆与扇形公式与割补内容提要本讲主要讲解与圆和扇形有关的概念 .及周长、面积公式等.下面我们来说说这方面的基础知识.圆是我们在生活中经常见到的图形.它也是最完美的平面图形：有无数条通过圆心的对称轴.绕圆心旋 转任何角度还保持原状.而且 .所有的平面图形在周长相同的情况下.圆的面积是最大的.我们知道.圆的周长和直径的比值是一个固定不变的数.这正是圆周率.用汽表示.另外.一般把直径记作d.半径记作r.如图1所示.所以.圆的周长C =J!Xd= 2xnxr.圆的面积S=nMr.所以关于如图3.由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫扇形.它是圆的一部分 扇形的各种计算可以应用圆里面的结论.

2、n360扇形的圆心角为n。时.它的弧长和面积应该分别是圆周长和圆面积的卜形弧长=旦父2叮.面积二n v2=父冗xr360360我们先来熟悉一下这些公式.练习:1 .半径是2的圆的面积和周长分别是多少?2 .直径是5的圆的面积和周长分别是多少？3 .周长是10兀的圆的面积是多少？4 .面积是9兀的圆的周长是多少？例题一、基本公式运用3.14计算）（圆周率按例题1.已知扇形的圆心角为 120。.半径为2.则这个扇形的面积和周长各是多少？（圆周率按例题2.已知扇形面积为18.84平方厘米.圆心角为60。.则这个扇形的半径和周长各是多少?3.14计算）随堂练习：1.已知一个扇形的弧长为 0.785厘米

3、.圆心角为45 .这个扇形的半径和周长各是多少?2.扇形的面积是31.4平方厘米，它所在圆的面积是157平方厘米，这个扇形的圆心角是多少?例题3.如图.直角三角形 ABC的面积是45.分另IJ以BC为圆心.3为半径画圆.已知图中阴影部分的面积是35.58 .请问：角 A是多少度？（兀 取3.14）圆中方.方中圆例题4.如图.左下图和右下图中的正方形边长都是2.那么大圆、小圆的面积分别为随堂练习：1.已知外面大圆的半径是 4.里面小圆的面积是多少？（答案用 兀表示）二、割补法例题5.求下列各图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米.圆周率按3.14计算）：随堂练习:求下图中阴影部分的面积（图中长度

4、单位为厘米.圆周率按3.14计算）：(2)(1)例题6.求下列各图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米.圆周率按3.14计算）：(1)2例题7.已知图中正方形的边长为2.分别以其四个顶点为圆心的直角扇形恰好交于正方形中心.那么图中阴影部分的面积为 .（答案用n表示）取 3.14 )例题8.根据图中所给数值.求下面图形的外周长和总面积分别是多少？（兀l人 4随堂练习：1.根据下图中给出的数值.求这个图形的外周长和面积.（支取3.14）例题9.求图中阴影部分的面积.（圆周率n取3.14）20厘米思考题图中的4个圆的圆心是正方形的 4个顶点.它们的公共点是该正方形的中心.如果每个圆的半径都是米.那么

5、阴影部分的总面积是多少平方厘米？作业:1 . 半径为4厘米的圆的周长是 厘米.面积是 平方厘米;2 .半径为4厘米.圆心角为90邛勺扇形周长是 厘米.面积是 平方厘米.（元取3.14）3.4.家里来客人了 .淘气到超市买了 4瓶啤酒.售货员阿姨将 4瓶啤酒捆扎在一起（如下图所示）.捆4圈至少要用绳子 厘米.（冗取3.14.接头处忽略不计）求下列各图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米.圆周率按3.14计算）：(2)1115.卜列图形中的正方形的边长为2.则下图中各个阴影部分面积的大小分别为F6.用一块面积为36几平方厘米的圆形铝板下料 .从中裁出了 7个同样大小的圆铝板.问：所余下的边角料的总

6、面积是多少平方厘米？圆与扇形旋转与重叠知识总结：学习如何利用割补法和包含排除的思想计算图形中特定部分的面积；学会分析几何图形的运动过程 并由此得出点的轨迹和图形扫过的区域.例题：重叠问题例题1.下图中甲区域比乙区域的面积大57平方厘米.且半圆的半径是10厘米.那么其中直角三角形的另条直角边的长度是多少？（圆周率n取3.14）例题2.下图中有一个等腰直角三角形ABC一个以 AB为直径的半圆.和一个以 BC为半径的扇形.已知AB =BC =10厘米.图中阴影部分的面积为多少平方厘米？（ 式取3.14 ）随堂练习1.如图17-13.以AB为直径做半圆.三角形ABO直角三角形.阴影部分比阴影部分的面积

7、小28平方厘米.AB长40厘米.求 BC的长度.（71 取3.14.）B例题3.如图.直角三角形的两条直角边分别为3和5.分别以三条边做了 3个半圆（直角顶点在以斜边为直径的半圆上）.那么阴影部分的面积为.5例题4.图1是一个直径是 3厘米的半圆.AB是直径.如图2所示.让A点不动.把整个半圆逆时针转 60。此时B点移动到C点.请问：图中阴影部分的面积是多少平方厘米？（兀 取3.14）图2二、动态扫面积问题例题5.如图.正方形ABCDfe长为1厘米.依次以A、B G D为圆心.以AD BE CF、DG为半径画出四个直角扇形.那么阴影部分的面积为 平方厘米.（冗取3.14 ）EG例题6.如图所示

8、.以等边三角形的 B、C、A三点分别为圆心.分别以AB CD AE为半径画弧.这样形成的曲 线ADEFt称为正三角形 ABC的渐开线.如果正三角形 ABC勺边长为3厘米.那么此渐开线的长度为多少厘 米.图中I、II、III三部分的面积之和是多少平方厘米?二、 运动圆扫面积例题7.图中正方形的边长是 4厘米.而圆环的半径是1厘米.当圆环绕正方形无滑动地滚动一周又回到原来位置时.其扫过的面积有多大？（支取3.14 ）随堂练习1.图中长方形的长是 10厘米.宽是4厘米.而圆环的半径是1厘米.当圆环绕正方形无滑动地滚动一周例题8.图中等边三角形的边长是 3厘米.而圆环的半径是1厘米.当圆环绕等边三角形

9、无滑动地滚动一周又回到原来位置时.其扫过的面积有多大？（支取3.14）思考题如图所示.一只小狗被拴在一个边长为 4米的正五边形的建筑物的一个顶点处.四周都是空地.绳长刚好够小狗走到建筑物外墙边的任一位置.小狗的活动范围是多少平方米？（建筑外墙不可逾越.小狗身长忽略作业：1 .图17-14由一个长方形与两个 90嘀的扇形构成.其中阴影部分的面积是 平方厘米.（“取3.14 .)图 17-142 .图中有一个矩形和两个半径分别为5和2的直角扇形.那么两个阴影部分的面积相差为.（兀取 3.14 ）3 .如图.直角三角形的两条直角边长分别是10cm和6cm分别以直角边为直径作出两个半圆.这两个半圆的交

10、点恰好落在斜边上.那么阴影部分的面积是 cm2, （n取3.14）（170）4 .图1是一个直径是3厘米的半圆.AB是直径.如图2所示.让A点不动.把整个半圆逆时针转 60°此时B点移动到C点.请问：图中阴影部分的面积是 平方厘米（兀 取3.14）5 .图中正方形的边长是6厘米.而圆环的半径是1厘米.当圆环绕正方形无滑动地滚动一周又回到原来位置时.其扫过的面积有 .（支取3.14）6 .图中等边三角形的边长是5厘米.圆形的半径是1厘米.当圆形绕等边三角形滚动一周又回到原来位置时.扫过的面积有.（支取3.14 ）几何计数知识总结:例题：一、枚举或分类解题利用枚举法以及分类的方法进行几何

11、计数.特别是对于正方形和三角形的计数问题.通常按照面积的大小或者包含基本图形的多少来对图形进行分类.例题1.小杰瑞把巧克力棒摆成了如图所示的形状 .其中每一条小短边代表一个巧克力棒.请问：(1) 一共有多少个巧克力棒？(2)这些巧克力棒共构成了多少个三角形?.剩下的图形中还有多少个三角形?(3)嘴馋的小杰瑞吃掉一个巧克力棒后(图中两端带有箭头的小边)随堂练习1. 图中共有 个三角形;的正三角形.图中包含“ 内的各种大小的正三角形一共有.其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大例题3.如图.AB CD EF MNE相平行.则图中三角形个数是例题4.图中有多少个正方形?与排列组合有关的计数利用排列组合

12、的方法进行几何计数.特别是对于矩形和四边形的计数问题 例题5.如图.线段ABBCCDDE的长度都是3厘米.请问:(1)图中一共有多少条线段?(2)这些线段的长度之和是多少厘米?3厘米 3厘米 3厘米 3厘米.一 人 一人 _ 人fYYYABCD随堂练习1.求图中一共有多少条线段.例题6.求图中一共有多少条线段.求图中一共有多少个矩形.随堂练习1.如图.四条边长度都相等的四边形称为菱形.用16个同样大小的菱形组成如图的一个大菱形.数一数.图中共有多少个菱形?例题7.右图是一个长为9.宽为4的长方形网格.每一个小格都是一个正方形 .那么:1)从中可以数出 个矩形.2)从中可以数出 个正方形.3)从

13、中可以数出包含 个.正方形有 个.随堂练习(1)图中包含的长方形有 个.包含 的正方形又有 个.(2)图中同时包含 和的长方形有 个.三、与容斥原理有关的几何计数例题8.图中一共包含多少个矩形？多少个正方形?思考题用16个边长为1的等边三角形拼成一个边长为4的大等边三角形.那么组成的图形中可以找出多少个平行四边形？作业1. 数一数图中一共有多少条线段?2. 图中共有 个三角形.【分析与解】按边长分类数 .图中共有9+3+1 =13个三角形；平行四边形共有 3x3+3M2=15个.3. 在图中.包含的长方形共有 个.4. 图中有个矩形.个正方形.【分析与解】图中共有 7+1=8个正方形.19个长

14、方形.这道题适合按大小分类数.5. 图中有三角形 个.梯形 个.A【分析与解】三角形有 3黑(1+2+3)=18个.梯形有(1+2产(1+2+3)=18个.6. 图中有 个正方形.个长方形.【分析与解】答案是38.144.长方形有 (+2+3产(1+2+3+4+5父2_(1+2+3)<(1+2+3)=144 个. 正方形有(3父5十2父4+1父3/2-(9+4+1 )=38个(这里给出正方形白求法比较巧妙 .如果不合适.请按 正方形的边长分类枚举).行程知识总结：本讲重点学习在小升初中和各个杯赛中的较复杂的行程问题.行程问题主要有三组共 9个基本公式：(1) 路程=速度M时间；速度=路程

15、小时间；时间=路程+速度；(2) 相遇路程=速度和M时间；速度和=相遇路程。时间；时间=相遇路程4速度和；(3) 追及路程=速度差M时间；速度差=追及路程+时间；时间=追及路程-速度差.要会灵活运用公式.通过已知的条件求出未知的路程、速度或时间.此时.我们还经常需要用到以下这三个基本倍数关系：当运动的速度相同时.时间的倍数关系等于路程的倍数关系；当运动的时间相同时.速度的倍数关系等于路程的倍数关系；当运动的路程相同时.时间的倍数关系等于速度的倍数关系.但注意时间长的速度慢 .时间短的速度快.例题1.()甲、乙两地间的路程是600千米.上午8点客车以平均每小时 60千米的速度从甲地开往乙地.货车

16、以平均每小时 50千米的速度从乙地开往甲地.要使两车在全程的中点相遇 .货车必须在上午几点出发？例题2.()某学校组织学生去春游.以2米/秒的速度前进.一名学生以4米/秒的速度从队尾跑到队头.再回到队尾.共用6分钟.那么队伍的总长为多少米？例题3. A城在一条河的上游.B城在这条河的下游. A B两城的水路距离为 396千米.一艘在静水中速度 为每小时12千米的渔船从B城往A城开.一艘在静水中速度为每小时 30千米的治安巡逻艇从 A城往 B城开.已知河水的速度为每小时6千米.从A流向B.两船在距离 A城180千米的地方相遇.巡逻艇在到达B城后得到消息说他们刚才遇到的那艘渔船上有一名逃犯.于是巡

17、逻艇立刻返回去追渔船.请问巡逻艇能不能在渔船到达A城之前追上渔船？如果能的话.请问巡逻艇在距A城多远的地方追上渔船；如果不能的话.请算出巡逻艇比渔船慢多少小时到A城.例题4.蜗牛沿着公路前进.对面来了一只兔子.他问兔子：“后面有乌龟吗？”.兔子回答说：“10分钟前我超过了一只乌龟”. 接着蜗牛继续爬了10 分钟 . 遇到了乌龟已知乌龟的速度是蜗牛速度的10倍 . 那么兔子速度是乌龟速度的倍例题 5. 甲、乙二人相距100 米的直路上来回跑步, 甲每秒钟跑2.8 米 , 乙每秒钟跑2.2 米 . 他们同时分别在直路两端出发, 当他们跑了30 分钟时 , 这段时间内相遇了几次？例题 6. 甲乙两车

18、同时从A、 B 两地出发相向而行. 两车在距离B 地 64 千米的地方第一次相遇. 相遇后两车继续原速前进.并且在到达对方出发点之后.立即沿原路返回.途中在距离 A点48千米处第二次相遇问：两次相遇点距离是多少千米？例题 7. 甲、乙两车分别从A、 B 两地出发. 在 A、 B 之间不断往返行驶. 已知甲车的速度是每小时15 千米 .乙车的速度是每小时35 千米 . 并且甲、乙两车第三次相遇（这里特指面对面的相遇）的地点与第四次相遇的地点恰好相距120 千米 . 那么. A、 B 两地之间的距离等于 千米例题 8. 快、中、慢3 辆车同时从同一地点出发. 沿同一公路追赶前面的一个骑车人这3 辆车分别用6分钟、 10 分钟、 12 分钟追上骑车人现在知道快车每小时走24 千米 . 中车每小时走20 千米 . 那么 .慢车每小时走多少千米？例题9.有甲乙丙三车各以一定的速度从A到B.乙比丙晚出发10分钟.出发后40分钟追上丙.甲比乙又晚出发 10 分钟 . 出发后 60 分钟追上丙. 问 . 甲出发后多少分钟可以追上乙？思考题一次越野赛跑中. 当小明跑了1600 米时 . 小刚跑了1450 米 . 此后两人分别以每秒a 米和每秒b 米匀速跑. 又过 100 秒时小刚追上小明.200 秒时