裂项相消与放缩法解数列专题

1、标准文档数列专题3一、裂项求和法裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的 目的.通项分解（裂项）如：通项为分式结构，分母为两项相乘，型如:an *an 1an是d。0的等差实用文案数列。常用裂项形式有:1 n(n 1) 11(1_，)n(n k) k n n k(2n)2(2n -1)(2n 1)= 1+(尸2 2n -1 2n 1n(n-1)(n 2)4n(n 1) (n 1)(n 2)；Jn k1=一(un + k - Jn)特力1J地: .n k二.n 1 _ _ n、用放缩法证明数列中的不等式将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的方法，

2、叫放缩法。1 .常见的数列不等式大多与数列求和或求积有关，其基本结构形式有如下4种: 2 ai k ( k 为常数)； 2 ai c f (n);口 ai f (n);口 ai a ；（2）将分子或分母放大（或缩小）n(n 1) n12 n1n1 =n(n -1) n -11；2n1；2n - 11(n -1)(n 1)14(n-1n(n -1)111 一1 -(程度大)n n 1）（n之2）（程度小）+n 1 n 2 n 3或- -1+2n+-n 1 n 11112n 2n 2n2n 2nnn 1=12平方型:2 :二(2n -1)314-2 二 / 2n 4n11 1 . 1 1 二 n

3、n n - n - n立方型:4n2 - 4n141:二 2 二 2(4n2 -12n -1 2n 111,11、丁,-二二(:-) 4n(n 7) 4 n T nn(n2 -1)(n-2)指数型:n na -b 7k +1n 1 / a (a - b)11,、1(a Ab 21) ; -E a - b a1n4,.(a -b)(a b - 1)Jk +1 +吊 2Jk 利用基本不等式，.n（n 1） n (n 1),如：log 3 lg 5 ：(lg 3 1g 5)2=1g -15 ： lg 16 = lg 4(一)放缩目标模型可求和一等比数列或等差数列例如：(1)求证:11一2221231

4、，*、 1(n - N ). 2n(2)求证:122 1123 1(3)求证:2-2223-3-233n*、：2(n N ).2nn总结：放缩法证明与数列求和有关的不等式,n若Z ai可直接求和，就先求和再放缩；若不能直接求和的, i 1一般要先将通项an放缩后再求和.bn才行呢？其实，能求和的常见数列模 .实际问题中，bn大多是等比模问题是将通项 an放缩为可以求和且“不大不小”的什么样的型并不多，主要有等差模型、等比模型、错位相减模型、裂项相消模型等 型或裂项相消模型.(1)先求和再放缩*-4n- 1, nCN,且 a2, a5, a14构成等比例1.设各项均为正数的数列an的前n项和为S

5、,满足4S=an+12 数列.(1)证明：a2 = J4al +5 ；(2)求数列an的通项公式；.1111 证明：对一切正整数 n, +| +一1一1-a1a2a2 a3anan 12标准文档(2)先放缩再求和111例如：求证：1+2(nwN ).22 32n2例如：函数f(x) =11*ff fn h” N).例2.设数列an的前n项和为Sn,满足2S二日一 一 2n1H十L nC W*，且a1，a2+5, a3成等差数列. n utl 一(1)求a1的值；(2)求数列an的通项公式；(3)证明：对一切正整数 n,有二十上+十 b21)的数列，在证明 一+ ka a2an实用文案标准文档实

6、用文案(k为常数)时都可以提取出 an利用指数函数的单调性将其放缩为等比模型.练习：1.设数列an满足 an #0 , a =1 , an = (1 2n)anan+anA(n 之2),数列aj 的前 n项和为 Sn.(1)求数列an的通项公式；(2)求证：当n之2时，sn 2;n 1(3)试探究：当n之2时，是否有 6nSn 5 ?说明理由.(n 1)(2n 1)3n(3)形如ai ：二 f (n)i 1例如：设Sn =v/2+ 万3+Jn(n +1),求证:n(n 1) o n(n 2)*、:二 Sn - (n N ).22根据所证不等式的结构特征来选取所需要的不等式，不等式关系:2- a

7、 ba2 b- ab 1122 r-a b注：应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式 a b% ab ,右放缩成2Vn(n +1) n +1 ,c ，/ (n 1)(n 3) (n 1)2 -？则得 Sn -,就放过 度 了。y22n总结：形如Z ai f(n)的数列不等式证明： i 1设Sn和Tn分别为数列an和bn的前n项和，若an bn(n= N ),利用不等式的“同向可加性”这一n基本性质，则有Sn Tn.要证明不等式 工ai f(n),如果记Tn = f(n)看作是数列bn的前n项和，则 i 1积的常见的数列模型是bnCn 1Cnn(分式型)，累乘后约简为 bi

8、=i 4Cn 1Clbn =Tn -TnA(n至2) , b1 =T,那么只要证其通项满足 an b +m (b a 0, m0)和 b 0, m 0) a a ma a m记忆口诀：“小者小，大者大”，(解释：看b ,若b小，则不等号是小于号，反之)13 5 2n -11, 一、例如：求证：m m x黑 j(n w N )2 4 6 2n , 2n 1111例如：求证：(1+1)(1+ )(1+)(1 +)A.2n+1。35 2n -1n总结：形如 ai = f(n)的数列不等式证明：设An和Bn分别为数列为和bn的前n项积，若i 1 n0 an bn ,利用不等式的“正数同向可乘性”这一基

9、本性质，则有An 2),4=B1，那么只要证其通项满足 Bn0 an bn 即可.2 a 2*例 3.已知数列an满足 a = 一，an+ =(n = N ).3 2an -3，一 1 .(1)求证：-是等差数列，并求出an的通项an；an -11(2)证明：对于 n c N , a1a2 *a3 an .n 1(二)添加或舍去一些正项(或负项)若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。由于证 明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证 明的目的。. ._ n*n 1 a a9 a*例如：已知 an =2

10、 1(nwN),求证：父+二+-(nw N ).23 a2 a3an 1a 1 2例4.已知数列an的各项为正数，其前 n项和Sn潴足Sn =(吃一).(I)求an与an(n之2)之间的关系式，并求an的通项公式；111八(II)求证一 +2斤/彳.(三)固定一部分项，放缩另外的项2s1 o 2*例6.设数列an的前n项和为S.已知ai=1,2SL=a1n2_n_2政N.n 1 33(1)求a2的值；(2)求数列an的通项公式；，1117(3)证明：对一切正整数 n, _+ +| + 1.31a2an 4练习:111,则s的整数部分是(2.设 s =1 +-+7+ + :.23100A.17

11、B.18C.19D.203.已知an是各项都为正数的数列,Sn为其前n项和，且).an(I)求数列an的通项an ；1111(II)求证：+ + 2(1 一)2S1 3s2(n 1)SnSn 1标准文档数列专题3一、裂项求和法11一， an是d00的等差an a i裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的 目的.通项分解（裂项）如：通项为分式结构，分母为两项相乘，型如:数列。常用裂项形式有：12n 1）；1 11 .11/11 v (2n)21, 1(二TT)=1(tn(n 1) n n 1 n(n k) kn n k (2n -1)(2n 1)

12、2 2n -11111= ；n(n -1)(n 2)2 n(n 1) (n 1)(n 2)11p=(= =( a - b);.a - . b a -b1(= = l(Jn+k -品)特别地：1- = Jn + 1 -汨.n k . n k. n 1. n、用放缩法证明数列中的不等式将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的方法，叫放缩法。1 .常见的数列不等式大多与数列求和或求积有关，其基本结构形式有如下4种:nnnn Z ai k （ k 为常数）； 2 ai f （n）;口 ai f （n）；口 a a ； Jn（n +1） n一(2)一一将分壬或父母放大(或缩小)小 11111= (程度大

13、)n(n 1) n n 111 、，、，)(n 2)(程度小)1 n 11 11二 n :二 11 n 1n 1 n 1.1 .I1或n 2121.- n1 . . 1,n . n2n2n2n2n2nk 1实用文案一、14411平方型： 。=/2一2 =2()； n 4n4n 7 2n T 2n 11111,11、:二2 =-二 r-)(2n -1) 4n -4n 4n(n -1)4 n -1 n立方型:指数型:11T :二2n n(n -1)1n(n 1)(n-2)11n n n 1a -b a (a -b)(a Ab);1 1nn 4a -b a (a-b)(a b-1)标准文档利用基本不

14、等式，n(n 1):二n一91)，如：log 3 lg 5 :二(1g 3 1g 5)21g .15 ：二 1g . 16 =1g4(一)放缩目标模型可求和一等比数列或等差数列例如:-1(1)求证：一2223分析:不等式左边可用等比数列前1*、n ：1(n N ).2nn项和公式求和。解析:112(1 一2)左边=2-2 = 11122n1表面是证数列不等式，实质是数列求和。一 11求证： - F2 122分析：左边不能直接求和，11：二1(n N ).1 23 12n 1须先将其通项放缩后求和，将通项放缩为等比数列O-1解析：一- 2n，左边1+22A232n11 -2二1：二1(3)求证:

15、分析：注意到解析：:3 _2 122223 3-:二,将通项放缩为错位相减模型。2n n 2nnn12nf，,左边-+ 2n n2n2 22+2n n：2(n N二2232n).n 22n:二 2n总结：放缩法证明与数列求和有关的不等式,就先求和再放缩；若不能直接求和的,bn才行呢？其实，能求和的常见数列模 .实际问题中，bn大多星等比模若Z ai可直接求和,i工一般要先将通项an放缩后再求和.问题是将通项an放缩为可以求和且“不大不小”的什么样的 型并不多，主要有等差模型、等比模型、错位相减模型、裂项相消模型等 型或裂项相消模型.(1)先求和再放缩*-4n- 1, nCN,且 a2, a5,

16、 a14构成等比例1.设各项均为正数的数列an的前n项和为S,满足43=an+12 数列.(1)证明：a2 = J4a1 +5 ；(2)求数列an的通项公式；. 一， 11. .11(3)证明：对一切正整数 n,有+| 十一1一 0,a2 = J4al + 5.(2)当 n2 时，4Sn 1 = an 4( n 1) 1,；4S= an+1 4n 1,由一，得 4an= 4s 4S- 1 = ch+ 1 an 4 , an+1 = an + 4an + 4 = ( an+2) . an 0 ,an+ 1 = an+ 2 ,当n2时，an是公差d= 2的等差数列.: a2, a5, a14构成等

17、比数列，a52 = a2 , a14, ( a2+6)2= & (a2+24), 解得 a?= 3.2由(1)可知，4a1 =a - 5=4,a1= 1. .2 a1 = 31 = 2,an是首项 a = 1,公差 d = 2 的等差数列.，数列an的通项公式为an=2n 1.(3)1 +| +1=1 1 +| +1a1a2a2a3anan 11 3 3 5 5 7 2n -1 2n 1=11-11_1 . 1.1H, ，一，2 h 33 55 7 2n-1 2n 1实用文案标准文档111=1 - ：一.2 2n 12总结：(3)问左边可用裂项相消法求和，先求和再放缩，表面是证数列不等式，实质

18、是数列求和。(2)先放缩再求和例如:11求证：1 . ) . f 22321*、2 : 2(nN ).n分析:左边不能求和，应先将通项放缩为裂项相消模型后求和，保留第一项，从第二项开始放缩。解析:1111/2、2(n 2)n n(n -1)n -1 n-111.左边:：1 (1 -)(-)(22 3当n =1时，不等式显然也成立.11、1一一)二1 1 一 ：二 2n -1 n(n -2)例如:、4x , 一1函数 f (x) =,求证：f (1) f (2) f(n) . n p-y-(n N ).2分析:此题不等式左边不易求和，此时根据不等式右边特征，先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从

19、而对左边可以进行求和.若分子，分母如果同时存在变量时，要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对 于分子分母均取正值的分式，如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩 小或分母放大即可。f： 1 1证明，由代町=1-1-1 + 42得/* fl)讨(2 )十。* 1 、1例2.设数列an的前n项和为Sn,满足2s，且ai, a2+5, a3成等差数列.(1)求ai的值；(2)求数列an的通项公式;(3)证明：对一切正整数 n,有解：(1)在 2Sn=an+i 2n+1+1 中，令 n=1 得：2Si=a222+1,令 n=2 得：2s2=a323+1, 解得：a2=2a1+

20、3, a3=6a1+13,又 2 (a2+5) =a1+a3,解得 a1=1(2)由 2Sn=an+1 - 2n % , . In+112 s升二社行2 - 2 nt + 1 得 an+2=3an+1+2，又 a1=1, a2=5 也满足 a2=3a1+2 ,所以 an+1=3an+2n对 nCN* 成立，3+1+2n+1=3 ( an+2n),又 a1=1, a1+21=3,an+2n=3n, -an=3n-2n；(3)分析：(3)左边不能直接求和，考虑将通项放缩后求和。利用指数函数的单调性放缩为等比模型。22. 3 - 2二 1 (二之 3 一(5二 3 I 1332+3n-322+-+2

21、n-1)总nJ实用文案_L+_L+己2,L+-+_Li+_i+ a3 1323n-2n+1=2an, .当n段时，上v 1?a3L,工-I?工,air+l累乘得：_L 工）?-L,_L+_L+_+-+_L4+_l+_Lxl+-+1_1） x!工 b之1）的数列，在证明 一 + ka a2an(k为常数)时都可以提取出 练习：an利用指数函数的单调性将其放缩为等比模型1.设数列an满足an =0 , a =1 , an = （1 -2n）anan+an（n之2）,数列an的前n项和为Sn.(1)求数列an的通项公式;(2)求证：当n之2时，Sn 2; n 1(3)试探究：当n至2时，是否有 6n

22、Sn 14-3+5+7-H-b 2n-n-1 Wan 白i fl?白1a三的口才!1又_1=1也适合上式，门1(2)证明：二尸之二5二白1一4飞十十门h=1十二7十=7十-十工？2- 3 打一丁当时，二：二工一、M (a-L)rt ?s-l )1,1 1 叶%士一十与 I寸口 一白寸也一!)十十- -/ 巩为+1) n打寸1$，”)呜-2飞-磊1-普=备当 n32 时，S 6H-1)(并41)当Q渊于K:也n=3显然消,而溪再也成立踪上所逑工当n予2时，有sG n形如、a f. f (n)i 1例如:设 Sn =(2十万3 +n(n +1),求证：n(n+1) Sn n(n + 2) 222刀

23、2分析 不等式形而算()/5),左、右两边而式子都是某*(n N ).等差数列的和，因此考虑将通项.5 +1)放缩为等差模型后求和. 乱路刀处Wg +存+痴不四卫;凡rf*T|FT北二4 +A+b? +4=q +G +G+,*+G显然不等式的中间是数列外二师而的前门项和，设为S“，要证(S, 此，则只要证我4 /即可.利用公式以一9_伽之2)易得: bn = n ,同理q=，+ 5, 因此，问题转化为只要证 V Jh5 + 1) v H + ：证明77b+ (打 + 1)n yjf i(n + 1) 詈=邙/ +夜与十十血在D2 hl( + %( +2)*=i22根据所证不等式的结构特征来选取

24、所需要的不等式，不等式关系:_ ab注：应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式,若放缩成丫所 3 ,y22就放过“度” 了。即需演的6,显然这在n3时成宣总结：形如Vi 1ai f(n)的数列不等式证明:、一一 . _ _ . _ _ . . . 一 * . . .设Sn和Tn分别为数列an和bn的前n项和，若an bn(ne N ),利用不等式的“同向可加性”这一n基本性质，则有 Sn Tn.要证明不等式 工ai 2) , b = T1，那么只要证其通项满足 an a0, mA0Mbcbm(aAb0, m 0)a a m,(解释：看b ,若b小，则不等号是小于号，反之)2

25、n -1父2nZ*、(nN).m air I 3 5 1-x xx- x2 4 62/7放缩法证明与数列求积有关的不等式，方法与上面求和相类似，只不过放缩后的利用公式纥=5之2), 4 =4易得；5=,誓!2rt-1因此，问题转化为只要让二一2n2n + J证明2/? - 12/7-1 l2n-l二 I；=J ( E N )2n V41 V 2n +157XX左边 02n +1 。35 2n -1张I利用装分敷的一个性#一 帆Ojwa 0), i： a + tn-l2rlii( 1 + h(i + + 1 + l352/J -1n总结:形如 ai = f(n)的数列不等式证明：设 i 1An和

26、Bn分别为数列 an和bn的前n项积，若0 :二 ann bn ,利用不等式的“正数同向可乘性”这一基本性质，则有An 2), bi = B1,那么只要证其通项满足 Bn -0 an bn 即可.2例3.已知数列an满足a1 = ，an +3an -2*(n N ). 2an -3，一 1 .（1）求证：是等差数列，并求出an的通项an；an -1*1(2)证明：对于 n 匚 N , a122 1a3 L an -.,n 1ai=- * an +1 =rr34厂3即有1 =- )24葡一32仃打一317 = - 2 ?也力，1-1的-1则有、是首项为-3,公差为2的等差翻列, 一 1即有- 3

27、-2 C n-1，小企2 4 6 2v(2)/S-1社丁”US2-1I*即有釜2 I?打十2 j? 1即为5 1JS+T则原不等式威立（二）添加或舍去一些正项（或负项）若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。由于证 明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证 明的目的。.4n一_*、例如：已知an =2 1(n u N ),求证:正明:a9an *(n N ).a3an 11 13. AZ I %! !II 1% 叫n 1a%二一二 + - 十 , +2 3 风21 1 1ii 1“12(2*二 1)1

28、k 2-l本题在放缩时舍去了 2k -2,从而使和式得到了化简。a 1 2例4.已知数列an的各项为正数，其前 n项和Sn潴足Sn =（）.（I）求an与an式n 2）之间的关系式，并求a0的通项公式；，一 111-（II）求证一 +而，Si二（门打一1-D-得4知=。”-十2十1-灯M_1-2口皆一1-1 J，仃二一门二-2（。十鼻疗_l）=gg界十 rl ri 1.1 an0 -，疗厂叫一二匕n是公差七2的等差勤列，=41 I = 3 +1）二，/. a1 ; 1，-= 2n-l .3日+2白 2例5.已知数列备I：满足：口 1 = 3, = %打EW,记8 =27 .%十2公十1（I ）求证：数列耳；是等比数列；（I I ）若& Wf 父对任意用EA”恒成立，求t的取值范围；（111） 证明：虫+-%2斤.解：（I）证明：由an由=效上 得 为 2=型二22=刍n二2n 1 an - 2n 1an 2an 2an”=3+1=！an 2 an 2an 1 -2 _ 1an1 1 一4an - 2an 1即bn+bn ,4且bfa1 1，数列h班首项为1,公比为1的等比数列一.44(n)由(I )可知 bn =ld)n 4 41 _an -2 产二 an 1一 ann12 44 -1由an t 4n得t之1 2 4nn n(4 1)44n4-,易得-12 4n 一n 4是关