第2讲Leslie矩阵模型

1、3.4Leslie矩阵模型本节将以种群为例，考虑种群的年龄结构，种群的数量主要由总量的固有增长率决定，但是不同年龄结构动物的繁殖率和死亡率有着明显的不同，为了更精确地预测种群的增长，在此讨论按年龄分组的种群增长预测模型，这个向量形式的差分方程是Leslie在20世纪40年代用来描述女性人口变化规律的，虽然这个模型仅考虑女性人口的发展变化，但是一般男女人口的比例变化不大。假设女性最大年龄为s岁，分s岁为n个年龄区间：ti-l（s,m,i=12，nILnn年龄属于纯的女性称为第i组，设第i组女性人口数目为为。=1,2,，n）,称X=（Xi,X2，Xn）T为女性人口年龄分布向量,考虑x随tk的变化情

2、况，每隔©年观察一次，不考虑同一时间间隔内的变化（即n将时间离散化）。设初始时间为t°,tk=t°十殳时间的年龄分布向量为nx（k）=（xi（k）,x2k），xnk）T,这里只考虑由生育、老化和死亡引起的人口演变，而不考虑迁移、战争、意外灾难等社会因素的影响。设第i组女性的生殖率（已扣除女婴的死亡率）为ai（第i组每位女性在s年中平均生育的女婴数，ai之0）,存活率bi（第i组女性在nn年仍活着的人数与原来人数之比，0<>E1）,死亡率=1-b，假设ai,bi在同一时间间隔内保持不变，这个数据可由人口统计资料获得。tk时第一组女性的总数x；k）是tk二

3、时各组女性（人数为xj'）,i=1,2,，n）所生育的女婴的总数，可以由下式表示：（k）（k4）（kf.（kfx1二ax1a2x2anxntk时第i+1组（i之1）女性人数X2是tk1时第i组女性经士年存活n下来的人数，可以由下式表示:(k)k1xi1二bixi=1,2,n-1用矩阵将上两式表示为:记:则有x(k)0a20b2b10.。Lkx0bnan0lxLkx2kx3kxn(k)X一x：kx2kx3k-Xn1称L为Leslie矩阵，由上式可算出tk时间各年龄组人口总数、人口增长率以及各年龄组人口占总人口的百分比。利用Leslie模型分析人口增长，发现观察时间充分长后人口增长率和年龄

4、分布结构均趋于一个稳定状态，这与矩阵L的特征值和特征向量有关。矩阵L有唯一的单重正特征值丸1,对应的特征向量为:b_曲“b2bn'Tx1-(1，2，n4)111若儿1是矩阵L的正特征值，则L的任一个（实的或者复的）特征值若矩阵L的第一行有两个顺序元素ai中>0,则L的正特征值是严格优势特征值这种要求在人口模型中是能保证的，所以L矩阵必有严格优势特征值。若矩阵L有严格优势特征值九1,对应特征向量为七,则:=CX1,x(k)limk):：/.i这表明时间tk充分长后，年龄分布向量趋于稳定，即各年龄组人n数Xi（k）占总数ZXi（k）的百分比几乎等于特征向量Xi中相应分量占分量i1总和

5、的百分比。（k1）（k）同时tk充分大后，人口增长率“（："趋于%-1,或说%>1时,Xi人口递增；儿1<1时，人口递减；入1>1时，人口总数稳定不变。例1加拿大人口数量预测问题为了研究加拿大的人口年龄结构，对加拿大的人口进行数据统计，1965年的统计资料如下表所示（由于大于50岁的妇女生育者极少，故只讨论050岁之间的人口增长问题）表1加拿大人口统计数据年龄组i年龄区间aibi10,5)0.000000.9965125,10)0.000240.99820310,15)0.058610.99802415,20)0.286080.99729520,25)0.44791

6、0.99694625,30)0.363990.99621730,35)0.222590.99460835,40)0.104590.99184940,45)0.028260.998701045,50)0.00240一分析：由上表得到加拿大人口的Leslie矩阵L如下所示，求解特征方程,00.000240.058610.286080.447910.363990.222590.104590.028260.002400.9965100000000000.9982000000000000.9980200000000000.99729000000L-00000.9969400000000000.99621

7、00000000000.9946000000000000.99184001000000000.987000可以得到L矩阵的特征值：九=1.0763和特征向量：x-0,4257,0.3942,0.3656,0.3390,0.3141,0.2910,0.2694,0.2489,0.2294,0.2104T通过上述过程大家可以发现，一旦L矩阵的维数过大，那么求解特征方程将是一个非常复杂的过程，运用matlab求解程序如下：clearallL=zeros(10,10);L(1,:)=0,0.00024,0.05861,0.28608,0.44791,0.36399,0.22259,0.10459,0.

8、02868,0.00240;L(2,1)=0.99651;L(3,2)=0.99820;L(4,3)=0.99802;L(5,4)=0.99729;L(6,5)=0.99694;L(7,6)=0.99621;L(8,7)=0.99460;L(9,8)=0.99184;L(10,9)=0.98700;v,d=eig(L);a1=d(1,1);a2=v(:,1);a3=v(:,1)./sum(v(:,1);pie(a3)legend('0,5)','5,10)','10,15)','15,20)','20,25)','25,30)','30,35)','35,40)','40,45)','45,50)')结果：7%0,5)II5,10)II10,15)II15,20)II20,25)II25,30)30,35)II35,40)II40,45)II45,50)11%10%图1加拿大人口结构示意图由L矩阵的特性可知：当时间充分长后，