201x届高三数学一轮复习第十五篇几何证明选讲第2节直线与圆的位置关系理

1、第第2 2节直线与圆的位置关系节直线与圆的位置关系知识链条完善知识链条完善考点专项突破考点专项突破解题规范夯实解题规范夯实知识链条完善知识链条完善 把散落的知识连起来把散落的知识连起来知识梳理知识梳理 1.1.圆周角定理、圆心角定理、弦切角定理圆周角定理、圆心角定理、弦切角定理(1)(1)圆周角定理圆周角定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的 的一半的一半. .(2)(2)圆心角定理圆心角定理圆心角的度数等于它所对弧的圆心角的度数等于它所对弧的 . .推论推论1:1:同弧或等弧所对的同弧或等弧所对的 相等相等; ;同圆或等圆中同圆或等圆中, ,相等的相等的 所

2、对所对的弧也相等的弧也相等. .推论推论2:2:半圆半圆( (或直径或直径) )所对的圆周角是所对的圆周角是 ;90;90的圆周角所对的弦是的圆周角所对的弦是 . .(3)(3)弦切角定理弦切角定理弦切角等于它所夹的弧所对的弦切角等于它所夹的弧所对的 . .圆心角圆心角度数度数圆周角圆周角圆周角圆周角直角直角直径直径圆周角圆周角2.2.圆内接四边形的判定定理和性质定理圆内接四边形的判定定理和性质定理定理定理( (或推论或推论) )内容内容判定定理判定定理如果一个四边形的对角如果一个四边形的对角 , ,那么这个四边形的四个顶那么这个四边形的四个顶点共圆点共圆判定定理判定定理的推论的推论如果四边形

3、的一个外角等于它的如果四边形的一个外角等于它的 , ,那么这个那么这个四边形的四个顶点共圆四边形的四个顶点共圆性质定理性质定理圆的内接四边形的对角圆的内接四边形的对角 . .圆内接四边形的外角等于它的内角的圆内接四边形的外角等于它的内角的 . .互补互补内角的对角内角的对角对角对角互补互补3.3.圆的切线圆的切线定义、定理定义、定理及推论及推论内容内容定义定义如果一条直线与一个圆有唯一公共点如果一条直线与一个圆有唯一公共点, ,则这条直线叫做这个则这条直线叫做这个圆的切线圆的切线, ,公共点叫做切点公共点叫做切点判定定理判定定理经过半径的经过半径的 并且并且 这条半径的直线是圆的切线这条半径的

4、直线是圆的切线性质定理性质定理圆的切线圆的切线 经过切点的半径经过切点的半径性质定理性质定理的推论的推论经过圆心且垂直于切线的直线必经过经过圆心且垂直于切线的直线必经过 . .经过切点且垂直于切线的直线必经过经过切点且垂直于切线的直线必经过 . .外端外端垂直于垂直于垂直于垂直于切点切点圆心圆心4.4.与圆有关的比例线段与圆有关的比例线段定理定理内容内容切割线定理切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线从圆外一点引圆的切线和割线, ,切线长是这点到割线与圆切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的交点的两条线段长的 . .相交弦定理相交弦定理 圆内的两条相交弦圆内的两条相交弦, ,被交点分成的两条线

5、段长的被交点分成的两条线段长的 相等相等割线定理割线定理从圆外一点引圆的两条割线从圆外一点引圆的两条割线, ,这一点到每条割线与圆的交这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的点的两条线段长的 相等相等切线长定理切线长定理从圆外一点引圆的两条切线从圆外一点引圆的两条切线, ,它们的它们的 相等相等, ,圆心圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角和这一点的连线平分两条切线的夹角比例中项比例中项积积积积切线长切线长夯基自测夯基自测1.1.给出下列命题给出下列命题: :圆心角等于圆周角的圆心角等于圆周角的2 2倍倍; ;相等的圆周角所对的弧也相等相等的圆周角所对的弧也相等; ;等腰梯形一定有外接圆等腰梯

6、形一定有外接圆; ;弦切角所夹弧的度数等于弦切角的度数弦切角所夹弧的度数等于弦切角的度数; ;在圆内接四边形在圆内接四边形ABCDABCD中中,ABCD=mnpq,ABCD=mnpq,则有则有m+p=n+q.m+p=n+q.其中错误的是其中错误的是( ( ) )(A)(A)(B)(B)(C)(C) (D)(D)B B解析解析: :错误错误, ,若弧不一样若弧不一样, ,则圆心角与圆周角的关系不确定则圆心角与圆周角的关系不确定; ;错误错误, ,只有在只有在同圆或等圆中同圆或等圆中, ,相等的圆周角所对的弧才相等相等的圆周角所对的弧才相等; ;正确正确, ,可以推出等腰梯形的可以推出等腰梯形的对

7、角互补对角互补, ,所以有外接圆所以有外接圆; ;错误错误, ,弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角, ,所所夹的弧的度数等于该弧所对圆心角的度数夹的弧的度数等于该弧所对圆心角的度数, ,所以弦切角所夹弧的度数等于弦所以弦切角所夹弧的度数等于弦切角度数的切角度数的2 2倍倍; ;正确正确, ,圆内接四边形圆内接四边形ABCDABCD的对角互补的对角互补. .A AC C4.(20154.(2015高考重庆卷高考重庆卷) )如图如图, ,圆圆O O的弦的弦AB,CDAB,CD相交于点相交于点E,E,过点过点A A作圆作圆O O的切线与的切线与DCDC的延长线交于点的延

8、长线交于点P,P,若若PA=6,AE=9,PC=3,CEED=21,PA=6,AE=9,PC=3,CEED=21,则则BE=BE=. .答案答案: :2 25.(20155.(2015高考广东卷高考广东卷) )如图如图, ,已知已知ABAB是圆是圆O O的直径的直径, ,AB=4,ECAB=4,EC是圆是圆O O的切线的切线, ,切点为切点为C,BC=1.C,BC=1.过圆心过圆心O O作作BCBC的平行线的平行线, ,分别交分别交ECEC和和ACAC于点于点D D和点和点P,P,则则ODOD= =. .答案答案: :8 8考点专项突破考点专项突破 在讲练中理解知识在讲练中理解知识考点一考点一

9、 圆周角、圆心角、弦切角和圆的切线问题圆周角、圆心角、弦切角和圆的切线问题【例【例1 1】 (2015(2015高考新课标全国卷高考新课标全国卷)如图如图,AB,AB是是O O的直径的直径,AC,AC是是O O的的切线切线,BC,BC交交O O于点于点E.E.(1)(1)若若D D为为ACAC的中点的中点, ,证明证明:DE:DE是是O O的切线的切线; ;反思归纳反思归纳 (1)(1)证明直线是圆的切线可运用切线的判定定理证明直线是圆的切线可运用切线的判定定理. .(2)(2)涉及圆的切线问题时常常利用弦切角定理实现弦切角与圆周角的相互涉及圆的切线问题时常常利用弦切角定理实现弦切角与圆周角的

10、相互转化转化, ,利用圆周角、圆心角定理及其推论实现圆周角、圆心角及所对弧的利用圆周角、圆心角定理及其推论实现圆周角、圆心角及所对弧的度数之间的相互转化度数之间的相互转化. .【即时训练】【即时训练】 如图如图, ,直线直线ABAB为圆的切线为圆的切线, ,切点为切点为B,B,点点C C在圆上在圆上,ABC,ABC的角的角平分线平分线BEBE交圆于点交圆于点E,DBE,DB垂直垂直BEBE交圆于点交圆于点D.D.(1)(1)证明证明:DB=DC;:DB=DC;(1)(1)证明证明: :连接连接DE,DE,交交BCBC于点于点G.G.由弦切角定理得由弦切角定理得ABE=BCE.ABE=BCE.而

11、而ABE=CBE,ABE=CBE,故故CBE=BCE,CBE=BCE,所以所以BE=CE.BE=CE.又又DBBE,DBBE,所以所以DEDE为直径为直径, ,则则DCE=90DCE=90, ,由勾股定理可得由勾股定理可得DB=DC.DB=DC.考点二考点二四点共圆问题四点共圆问题【例【例2 2】 如图如图,CD,CD为为ABCABC外接圆的切线外接圆的切线,AB,AB的延长线交直线的延长线交直线CDCD于点于点D,ED,E、F F分别为弦分别为弦ABAB与弦与弦ACAC上的点上的点, ,且且BCAE=DCAF,BBCAE=DCAF,B、E E、F F、C C四点共圆四点共圆. . (1)(1

12、)证明证明:CA:CA是是ABCABC外接圆的直径外接圆的直径; ;(2)(2)若若DB=BE=EA,DB=BE=EA,求过求过B B、E E、F F、C C四点的圆的面积与四点的圆的面积与ABCABC外接圆面积的比值外接圆面积的比值. .反思归纳反思归纳 圆内接四边形的性质定理是圆中探求角的相等或互补关系的圆内接四边形的性质定理是圆中探求角的相等或互补关系的常用定理常用定理, ,使用时要注意观察图形使用时要注意观察图形, ,要弄清四边形的外角和它的内对角的要弄清四边形的外角和它的内对角的位置位置, ,其性质定理是沟通角的相等关系的重要依据其性质定理是沟通角的相等关系的重要依据, ,解题时要注

13、意相关角解题时要注意相关角的定理的灵活应用的定理的灵活应用. .【即时训练】【即时训练】 (2015(2015高考湖南卷高考湖南卷) )如图如图, ,在在O O中中, ,相交于点相交于点E E的两弦的两弦AB,CDAB,CD的中点分别是的中点分别是M,N,M,N,直线直线MOMO与直线与直线CDCD相交于点相交于点F.F.证明证明: : (1)MEN+NOM=180(1)MEN+NOM=180; ;证明证明: :(1)(1)因为因为M,NM,N分别是弦分别是弦AB,CDAB,CD的中点的中点, ,所以所以OMAB,ONCD,OMAB,ONCD,即即OME=90OME=90,ENO=90,ENO

14、=90, ,因此因此OME+ENO=180OME+ENO=180. .又四边形的内角和等于又四边形的内角和等于360360, ,故故MEN+NOM=180MEN+NOM=180. .(2)FEFN=FMFO.(2)FEFN=FMFO.证明证明: :(2)(2)由由(1)(1)知知O,M,E,NO,M,E,N四点共圆四点共圆, ,故由割线定理即得故由割线定理即得FEFN=FMFO.FEFN=FMFO.与圆有关的比例线段与圆有关的比例线段考点三考点三 【例【例3 3】 (2014(2014高考新课标全国卷高考新课标全国卷)如图如图,P,P是是O O外一点外一点,PA,PA是切线是切线,A,A为为切

15、点切点, ,割线割线PBCPBC与与O O相交于点相交于点B,C,PC=2PA,DB,C,PC=2PA,D为为PCPC的中点的中点,AD,AD的延长线交的延长线交O O于点于点E.E.证明证明: :(1)BE=EC;(1)BE=EC;(2)ADDE=2PB(2)ADDE=2PB2 2. . 证明证明: :(2)(2)由切割线定理得由切割线定理得PAPA2 2=PBPC,=PBPC,因为因为PA=PD=DC,PA=PD=DC,所以所以DC=2PB,BD=PB,DC=2PB,BD=PB,由相交弦定理得由相交弦定理得ADDE=BDDC,ADDE=BDDC,所以所以ADDE=2PBADDE=2PB2

16、2. .反思归纳反思归纳 证明与圆有关的比例线段证明与圆有关的比例线段, ,常用到三角形相似、相交弦定理、常用到三角形相似、相交弦定理、割线定理以及切割线定理等割线定理以及切割线定理等, ,同时要注意圆的有关性质同时要注意圆的有关性质, ,直角三角形中的直角三角形中的射影定理、角平分线的性质的灵活运用射影定理、角平分线的性质的灵活运用. .【即时训练】【即时训练】 (2016(2016贵阳一测贵阳一测) )ABAB是是O O的一条切线的一条切线, ,切点为切点为B,B,过过O O外一点外一点C C作直线作直线CECE交交O O于于G,E,G,E,连接连接AEAE交交O O于于D,D,连接连接C

17、DCD交交O O于于F,F,连连接接AC,FG,AC,FG,已知已知AC=AB.AC=AB.(1)(1)证明证明:ADAE=AC:ADAE=AC2 2; ;证明证明: :(1)(1)因为因为ABAB是是O O的一条切线的一条切线,AE,AE为割线为割线, ,所以所以ABAB2 2=ADAE,=ADAE,又因为又因为AB=AC,AB=AC,所以所以ACAC2 2=ADAE.=ADAE.(2)(2)证明证明:FGAC. :FGAC. 备选例题备选例题 【例【例1 1】 (2016(2016赤峰模拟赤峰模拟) )如图所示如图所示, ,圆圆O O的直径为的直径为BD,BD,过圆上一点过圆上一点A A作

18、圆作圆O O的的切线切线AE,AE,过点过点D D作作DEAEDEAE于点于点E,E,延长延长EDED与圆与圆O O交于点交于点C.C.(1)(1)证明证明:DA:DA平分平分BDE;BDE;(1)(1)证明证明: :因为因为AEAE是是O O的切线的切线, ,所以所以DAE=ABD,DAE=ABD,因为因为BDBD是是O O的直径的直径, ,所以所以BAD=90BAD=90, ,所以所以ABD+ADB=90ABD+ADB=90, ,又又ADE+DAE=90ADE+DAE=90, ,所以所以ADB=ADE.ADB=ADE.所以所以DADA平分平分BDE.BDE.(2)(2)若若AB=4,AE=

19、2,AB=4,AE=2,求求CDCD的长的长. . (2)(2)求证求证:BF=FG. :BF=FG. 【例【例3 3】 (2016(2016乌鲁木齐一诊乌鲁木齐一诊) )过以过以ABAB为直径的圆上为直径的圆上C C点作直线交圆于点作直线交圆于E E点点, ,交交ABAB延长线于延长线于D D点点, ,过过C C点作圆的切线交点作圆的切线交ADAD于于F F点点, ,交交AEAE延长线于延长线于G G点点, ,且且GA=GF.GA=GF.(1)(1)求证求证CA=CD;CA=CD;证明证明: :(1)(1)因为因为GFGF是圆的切线是圆的切线, ,所以所以GCE=GAC,GCE=GAC,又因为又因为GCE=DCF,GCE=DCF,所以所以DCF=GAC.DCF=GAC.因为因为GA=GF,GA=GF,所以所以GAF=AFG.GAF=AFG.又又GAF=GAC+CAF,AFG=D+DCF,GAF=GAC+CAF,AFG=D+DCF,所以所以CAF=D.CAF=D.所以所以CA=CD.CA=CD.(2)(2)设设