导数实际应用的题型与方法

1、第17讲导数应用的题型与方法一、专题综述导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。在高中阶段对于导数的学习，主要是以下几个方面惩润腐物瘗睐板房赖。1. 导数的常规问题：（1）刻画函数（比初等方法精确细微）；（2）同几何中切线联系（导数方法可用于研究平面曲线的切线）；（3）应用问题（初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便）等关于n次多项式的导数问题属于较难类型。I®副沟MSB爱僵谴净。2. 关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便。3. 导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，

2、应引起注意。1. 二、知识整合导数概念的理解.2. 利用导数判别可导函数的极值的方法及求一些实际问题的最大值与最小值.复合函数的求导法则是微积分中的重点与难点内容。课本中先通过实例，引出复合函数的求导法则，接下来对法则进行了证明。残鹫楼言争函撤酣叙®I。3. 要能正确求导，必须做到以下两点：（1）熟练掌握各基本初等函数的求导公式以及和、差、积、商的求导法则，复合函数的求导法则。（2）对于一个复合函数，一定要理清中间的复合关系，弄清各分解函数中应对哪个变量求导。4. 求复合函数的导数，一般按以下三个步骤进行：（1）适当选定中间变量，正确分解复合关系；（2）分步求导（弄清每一步求导是哪个

3、变量对哪个变量求导）；（3）把中间变量代回原自变量（一般是x）的函数。配铜极额镇桧猪哉锥。也就是说，首先，选定中间变量，分解复合关系，说明函数关系y=f（a）,a=f（x）;然后将已知函数对中间变量求导（y'Q,中间变量对自变量求导（P'x）;最后求y'pP'x,并将中间变量代回为自变量的函数。整个过程可简记为分解一一求导一一回代。熟练以后，可以省略中间过程。若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量。强贸摄尔霁毙痍砖卤虎。三、例题分析2x例1-y=f(x)=axbx£1x1在x=1处可导，贝Ua=b=r2一x思路：y=f(x)=*、ax+bx£

4、1x1在x=1处可导，必连续limf（x）=1x）1-limf(x)=a+bf(1)=1a+b=1例2.已知f（x）在x=a处可导，且f'（a）=b,求下列极限:x12-f(a3h)-f(a-h)f(ah)-f(a)lim;(2)limh)。2hh0h分析：在导数定义中，增量x的形式是多种多样，但不论x选择哪种形式，y也必须选择相对应的形式。利用函数f(x)在x=a处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形转化为导数定义的结构形式。养挎箧awa类蒋蔷。f(a3h)-f(a-h)f(a3h)-f(a)f(a)-f(a-h)解：(1)lim=limh02h12h:.f(a3h)-f(a)：

5、.f(a)-f(a-h)=limlimh02hh2h3：.f(a3h)-f(a)1：.f(a-h)-f(a)=limlim2h03h2h0-h31=-f'(a)-f'(a2bf(a+h2)f(a)f(a+h2)f(a)lim=limzhh-ohhT：h2h22、礼顷'h2一ahi0m=f，(a)°=0说明：只有深刻理解概念的本质，才能灵活应用概念解题。解决这类问题的关键是等价变形,使极限式转化为导数定义的结构形式。厦礴恳蹒骈日寺盍继骚。例3.观察(xn)'=nxn。(sinx)=cosx,(cosx)'=sinx,是否可判断，可导的奇函数的导函

6、数是偶函数，可导的偶函数的导函数是奇函数。解：若f(x)为偶函数f(x、x)-f(x)f(x)=f(x)令lm=f(x)xT.：xf(-xx)-f(-x)f(xr.x)-f(x)f(x)=lim-=lmx0,x.x0-f(x)f(x-：x)-f(x)=啊0-_=f(x)可导的偶函数的导函数是奇函数另证：f=f(-x)=f(x)(-x)=-可导的偶函数的导函数是奇函数2x例4.(1)求曲线y=在点(1,1)处的切线万程；x1tTo(2)您动曲线万程为S=+2t2,求t=3时的速度。t2分析：根据导数的几何意义及导数的物理意义可知，函数y=f(x)在x0处的导数就是曲线y=f(x)在点P（X0,y

7、0）处的切线的斜率。瞬时速度是位移函数S（t）对时间的导数。茕桢广蛔解选块网泪解：（1）2(x21)2x2x22x2(x21)2=(x21)22-2y'|x=0,即曲线在点（1,1）处的切线斜率k=042x因此曲线y=在（1,1）处的切线万程为y=1x1(2)S'=f亍)+(2t2)'=!2+4t=-W+M+4tt2t4t2t3，12_26S|t_3=十+12=11。-92727例5.求下列函数单调区间(1)y=f(x)=x3_x2-2x+5(2)y=12xk(3)y=+xx(k0)2(4)y=2xlna解：(1)y'=3x2x2=(3x+2)(x1)x在(q,

8、-2)U(1,十必)时y'0322x*(-,1)y<0e,-),(1,+气(-，1)133一、x21一一(2)y=.(,0),(0,+气x(3)x(-二，-k)(k,二)y0x(-k,0)(0,k)y，：0e,-k),(k,+*)(4,0),(0,k)。（4）y'=4x=_-定义域为（0,+凶）xxx（0,1）y：0x（1，二）y022例6.求证下列不等式(3)2xx:ln(1x)：x22x-x(0，二)2(1x)2xsinxjinx(0，项x_sinx<tanx_xx在(0,2)证：(1)f(x)=ln(1+x)(x1f(0)=0f(x)=-1x1xx2-10x1

9、y=f(x)为(0,+°o)上xw(0,+司f(x)0恒成立2.x,、-ln(1x)x-g(x)=x22x-1n1(x)g(0)=02(1x)4x24x-2x21g(x)=1-4(1x)22x24(1x2)°g(x)在(0,+8)上2一x(0,+*)x-ln(1+x)>0恒成立2(1x)f(x)>x二cosx(x-tanx)f(x)=sinx/xx(0,)cosx0xtanx：02x(0,5)f(x):0(0,2八31f(2)2xsinxji(3)令f(x)=tanx-2x+sinxf(0)=0f(x)=sec2x-2cosx2、(1cosx)(cosxsinx

10、)2cosx兀(0,)转换思维角度，由求导x(0,5)f(x)0tanx-xx-sinx例7.利用导数求和：(1)&=1+2工+3亍+以宜5h0/硅坤今；分析：这两个问题可分别通过错位相减法及利用二项式定理来解决。公式(xn)'=nxn。可联想到它们是另外一个和式的导数，利用导数运算可使问题的解决更加简捷。解：(1)当x=1时，S*=1+2+3+''十村=1弗(评+D2当x丰1时，1-X两边都是关于x的函数，求导得Lrer3Z1一S十l)x*+林"*即一.'：'-(1项(2).。+氏)"=1+C：X+C：J+,+C：1,两边都

11、是关于x的函数，求导得忽(l+x)z=M+2C：x+3C；尸+小驾广】。令x=1得"一"?即=C：+2C；+3C：+-+占/.月，21。例8.设a>0，求函数f(x)=Jxln(x+a)(x(0,十°°)的单调区间.分析：本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力解：f(x)=1-1(x0).2.xxa当a0,xA0时f'(x)A0=x2+(2a4)x+a2>0.f(x)：0=x2(2a-4)xa2：0(i) 当a>1时，对所有x>0,有x2+(2a4)+a2>0.即f'(x)

12、A0,此时f(x)在(0,危)内单调递增.22(ii) 当a=1时，对x#1,有x+(2a4)x+a>0,即f(x)0，此时f(x)在(0,1)内单调递增，又知函数f(x)在x=1处连续，因此,函数f(x)在(0,+*)内单调递增(iii) 当0<a<1时，令f'(x)A0,即x2+(2a_4)x+a2A0.解得x<2a2(1a,或x>2a+2、：'1a.因此，函数f(x)在区间(0,2_a_2Vna)内单调递增，在区间(2a+2jla,十*)内也单调递增.令f(x)<0,即x2+(2a-4)x+a2<0，解得2-a-2Ji-acx&l

13、t;2-a+2jl_a.因此，函数f(x)在区间(2a-2J'=a,2a+2.JW)内单调递减.例9.已知抛物线y=x2-4与直线y=x+2相交于A、B两点，过A、B两点的切线分别为11和12。(1)求A、B两点的坐标；(2)求直线11与|2的夹角。分析：理解导数的几何意义是解决本例的关键。解(1)由方程组2y=x-4,解得A(-2,0),B(3,5)y=x2,(2)由y'=2x，则y'|x=_2=H,y'|x=3=6。设两直线的夹角为0,根据两直线的夹角公式，C4610c10tan所以=arctan1+(Y)W2323说明：本例中直线与抛物线的交点处的切线，就

14、是该点处抛物线的切线。注意两条直线的夹角公式有绝对值符号。xea_例10.(2001年天津卷)设a0,f(x)=+辰是R上的偶函数。ae(I)求a的值；(II)证明f(x)在(0,e)上是增函数。x.ea1解：(I)依题怠，对一切x=R有f(x)=f(x)，即+=+ae,aeae1x1、_'(a-)(e-x)=°对一切xR成立，ae12一由此得到a=0,a=1,又.a0,.a=1。a(ii)证明：由f(x)=ex+e,得f'(x)=exe"=e'(e2x1),当x在(0,危)时，有e"(e2x1)>0，此时f'(x)0。f(x

15、)在(0,e)上是增函数。1. 四、04年高考导数应用题型集锦(全国卷10)函数y=xcosx-sinx在下面哪个区间内是增函数()2. A(：，；)B(兀，2兀)C驾,5；)D(2兀，3兀)(全国卷22)(本小题满分14分)已知函数f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,(i)求函数f(x)的最大值；(ii)设0<a<b,证明0<g(a)+g(b)-2g(壬兰)<(b-a)ln2.赣丛妈尊为H债蛭练浮(天津卷9)函数y=2sin(2x)(xw0,n)为增函数的区间是67.5二5二3. (A)0'3叫2'，12(C)3,6(D)6，F(天津卷20)(本小题满分12分)已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值。讨论f(1)和f(-1)是函数f(x)的极大值还是极小值；(II)过点A(0,16)作曲线y=f(x)的切线，求此切线方程。(江苏卷10)函数f(x