量子力学答案完整版周世勋第三版

1、找了好久才找到的，希望能给大家带来帮助 量子力学习题及解答第一章绪论第一章量子理论基础m与温度T成反比,1.1由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长即T=b常量；并近似计算b的数值，准确到二位有效数字。 解根据普朗克的黑体辐射公式vdv以及8 hv33CvhvekT-dv ,1vdvdvvd ,123d -v()T亠c8 he 15he,e市1这里的的物理意义是黑体内波长介于入与入+d入之间的辐射能量密度。此题关注的是入取何值时，取得极大值，因此，就得要求对入的一阶导数为零，由此可求得相应的入的值，记作皿。但要注意的是，还需要验证对入的二阶导数在 m处的取值是否小于零，如果

2、小于零，那么前面求得的m就是要求的，具体如下：8 he6J 5e kT 1he10kT1 ehekThe15 -he0kT肓1 ehehe5(1 ekT)kl如果令X- he，则上述方程为kT5(1 e x)X这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x-0,但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得:x=4.97 ,经过验证，此解正是所要求的，样则有hcmT忑把x以及三个物理常量代入到上式便知mT2.9 10 3mK这这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波 长方面移动，这样便会根据热物体如遥远星体的发光颜色来判定温度的高

3、低。3eV,求其德布罗意波长。 可知1. 2在0K附近，钠的价电子能量约为 解 根据德布罗意波粒二象性的关系,E=hv,如果所考虑的粒子是非相对论性的电子ec2丨，那么如果我们考察的是相对性的光子，那么注意到此题所考虑的钠的价电子的动能仅为E=pc3eV,远远小于电子的质量与光速平方的乘积,即0.51106eV，因此利用非相对论性的电子的能量一一动量关系式，这样，便有Ph：2一eEhc1.24 10 6jm.2 0.51 106 30.71 10 9m在这里，利用了以及最后，对0.71 nm6hc 1.24 10 eV mec20.51 106eVhc2 eC2E作一点讨论，从上式可以看出，当

4、粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短， 因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才 能显现。31. 3氦原子的动能是E kT k为玻耳兹曼常数，求T=1K时，氦原子的德布罗意波长。2解根据31k K 10 eV，知此题的氦原子的动能为3 33E kT k K 1.5 10 3eV,222显然远远小于 核c这样，便有he1.24 10,m,2 3.7 1 09 1.5 1 0 390.37

5、 10 9m0.37 nm这里，利用了核 c24 931106eV最后，再对德布罗意波长与温度的关系作一点讨论，3.7 109eV由某种粒子构成的温度为 T的体系,其中粒子的平均动能的数量级为kT,这样，其相庆的德布罗意波长就为heheJ2 c2E <2 kc2T据此可知，当体系的温度越低， 相应的德布罗意波长就越长，这时这种粒子的波动性就越明显，特别是当波长长到比粒子间的平均距离还长时，粒子间的相干性就尤为明显，因此这时就能用经典的描述粒子统计分布的玻耳兹曼分布，而必须用量子的描述粒子的统计分布一一玻色分布或费米公布。1. 4利用玻尔一一索末菲的量子化条件，求：1一维谐振子的能量；2在

6、均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。已知外磁场 H=10T,玻尔磁子Mb 9 10 24 J T 1，试计算运能的量子化间隔E,并与T=4K及T=100K的热运动能量相比较。解玻尔一一索末菲的量子化条件为:pdq nh其中q是微观粒子的一个广义坐标，p是与之相对应的广义动量，回路积分是沿运动轨道积一圈，n是正整数。1设一维谐振子的劲度常数为 k，谐振子质量为，于是有1kx这样，便有IP 、2（E 2kx2）一正一负正好表示一个来这里的正负号分别表示谐振子沿着正方向运动和沿着负方向运动， 回，运动了一圈。此外，根据E - kx22可解出这表示谐振子的正负方向的最大位移。这样，根据玻尔索末菲

7、的量子化条件，有2Ek2(E1 kx)dx122(E1 kx2)dx12xxxxxx2 (E 1 kx : 22)dx nhx( )、2 (E 5两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现实 kx2)dx nhx2x1 2 n、2 (Ekx2)dx -hx .22为了积分上述方程的左边，作以下变量代换；2E .sin这样,便有22 Ecos2 d22E . sinknh这时,令上式左边的积分为这样,便有2 . 2 E cos22E cos d k_i_2 2E cos d2A,nh h k2此外再构造一个积分° 2E、 sin22 k2E2* 2E2 2

8、E2cos2 d- kE. cos2 d(2 ) .k这里=2 这样，就有根据式1和2，便有A E '.k这样，便有其中h 2最后，对此解作一点讨论。首先，注意到谐振子的能量被量子化了；其次，这量子化的 能量是等间隔分布的。RqBR2当电子在均匀磁场中作圆周运动时，P这时，玻尔一一索末菲的量子化条件就为2又因为动能耐其中，M b0qBR1 2 22PE ，所以，有2q是玻尔磁子，2这样,qBRd(RnhqBR2 nhE (qBR)22qBn2nBNB,nhq2B2R2nB2发现量子化的能量也是等间隔的，而且E BM B具体到此题,109 10 24 J 9 10 23 J根据动能与温度

9、的关系式E 3kT2以及1k310 eV 1.622 ,10 J可知，当温度 T=4K时,1.5 4221.6 10 J229.6 10 J当温度T=100K时,1.6 10 22 J1.5 1002.4 10 20 J显然，两种情况下的热运动所对应的能量要大于前面的量子化的能量的间隔。解关于两个光子转化为正负电子对的动力学过程，如两个光子以怎样的概率转化为正负电子对的问题，严格来说，需要用到相对性量子场论的知识去计算，修正当涉及到这个过程的运动学方面，如能量守恒，动量守恒等，我们不需要用那么高深的知识去计算，具休到 此题，两个光子能量相等，因此当对心碰撞时，转化为正风电子对反需的能量最小，因

10、而所 对应的波长也就最长，而且，有E hvec2此外，还有heE pe于是，有he 2eChe2ee1.24 100.51 1062.4 10 12m2.4 10 3nm尽管这是光子转化为电子的最大波长，但从数值上看，也是相当小的，我们知道，电子是自然界中最轻的有质量的粒子，如果是光子转化为像正反质子对之类的更大质量的粒子， 那么所对应的光子的最大波长将会更小，这从某种意义上告诉我们，当涉及到粒子的衰变， 产生，转化等问题，一般所需的能量是很大的。能量越大，粒子间的转化等现象就越丰富， 这样，也许就能发现新粒子，这便是世界上在造越来越高能的加速器的原因：期待发现新现象，新粒子，新物理。第二章波

11、函数和薛定谔方程2.1证明在定态中，几率流与时间无关。证：对于定态，可令(r，t)(r)f(t)iEt(r)eJi*2m()i丄Et(r)e(2m丄Et *丄Et丄Et(r)e )(r)e( (r)e )i*(r)(r)2m*(r)(r)可见J与t无关。2.2 由以下定态波函数计算几率流密度:(1) 1从所得结果说明1 ikre r1表示向外传播的球面波,(2)1 ikrer2表示向内(即向原点)传播的球面波。解：山和2只有r分量在球坐标中ro rr sin(1) J1H 12mi r1 e 2m ri 1 ( 2m rk2 romr1)ikr(丄r r11T ik) rrk3rmre ikr

12、1er1 -( rikr1""2r/ 1 ikr 、(e ) ro r r1 ik)ro4与r同向。表示向外传播的球面波。 J22m ( 22 1e 2m r十【1( 2m rk2mr可见，J2与r反向。表示向内ikr1""2rro/1 ikr(erik1)rkrmrikr1 ikr e 一(e)ror r ik】)r。r1"2r(即向原点)传播的球面波。补充：设 (x) eikx，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化?* dx dx2波函数不能按(x) dx 1方式归一化。其相对位置几率分布函数为21表示粒子在空间各处出现的几率相同。

13、2.3一粒子在一维势场x0U (x)0,0x axa中运动，求粒子的能级和对应的波函数。解：U(x)与t无关，是定态问题。其定态S方程2d2(x) U(x)(x) E(x)2mdx2在各区域的具体形式为:x02 d222m dx1(x)U(x) 1(x)E 1(x)n：0x a2 d22m dx22(x)E 2(x)川：xa2 d23(x)U(x) 3(x)E 3(x)2m dx2由于(1)、(3)方程中,由于U(x),要等式成立，必须l(x)02(X)0即粒子不能运动到势阱以外的地方去。方程可变为-一霁2mE 2(x) odx令k22mE2，得d2 2(x)dx2k2 2(x)0其解为 2

14、(x) Asin kx Bcoskx 根据波函数的标准条件确定系数A，B,由连续性条件，得2(0)1(O)2(a)3(a) B 0Asin ka 0A 0sinka 0ka n (n 1,2,3,)2 (x) Asin x a 由归一化条件(x)2 dx 1A2asin20xdx am . sin x sin b axdx a2 mn2(x)2 . n -sin x a a对应于242mE2 222n2ma2En的归一化的定态波函数为2 n h sin xe a a0,Enn(x,t)证明2.6-14(n 1,2,3,)可见E是量子化的。a,2.6-14式中的归一化常数是由归一化,2dx3 A

15、2 sin2 na(x a)dx aA sin-(x a), a0,A2A22a 11 a2acos (xaa)dxA22a n cos aa(xa)dxA2a空2sin nJxaa)A2a1归一化常数A 1J a2.5求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。 1解：（x） 2 xe 22x21(x)d 1(x) dx 令 d 1(x) dx1(x)2x22 3丁2 3-2x2x3e 2x2由i(x)的表达式可知，x0,x时，i(x)0。显然不是最大几率的位置。26 2x2)2 2x(2x23 |x )e可见x -dx24x4)e 2x2x是所求几率最大的位置。U(x)，证明粒子的定态波函2.

16、6在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：U( x)数具有确定的宇称。证：在一维势场中运动的粒子的定态S-方程为2 dx2(x) U(x) (x)将式中的X以(x)代换，得d22 dx2(x) U( x) ( x)E ( x)利用U ( x) U (x)，得2 dx2(x) U(x) ( x)E ( x)比较、式可知，(x)和(X)都是描写在同一势场作用下的粒子状态的波函数。由于它们描写的是同一个状态，因此(x)和 (x)之间只能相差一个常数 c。方程、可相互进行空间反演(xx)而得其对方，由经 xx反演，可得，(x) c (x)由再经 x x反演，可得，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。

17、(x) c ( x)乘，得(x) ( x) c2(x) ( x)可见，c21c1当c1时，(x)(x)，(x)具有偶宇称，当c1时，(x)(x)，(x)具有奇宇称，当势场满足 U (x) U (x)时，粒子的定态波函数具有确定的宇称。#2.7一粒子在一维势阱中U(x)Uo 0,0,运动，求束缚态(0 E U。)的能级所满足的方程。 解法一：粒子所满足的S-方程为E (x)2 d2(x) U(x) (x)2 dx2按势能U (x)的形式分区域的具体形式为整理后,2 d222dx2d22dx22d22dx2I :n：川：得3(X)i(x)UoUoi(x)i(x)2(X)3(X)3(x)(Uo2E)

18、n：川：(Uo2E)令k122 (U。 E)2k|2 E2ki2k；21 12k；Csi nk2x D cos k 2xkxkxEeFe3由波函数的有限性，有1 ()有限3()有限则I：n：川：各方程的解为kqXkqXAe 1 Be 1Bek1xkx因此由波函数的连续性，有1( a)2( a),Be k1aCsin k2a D cosk2a(10)1( a)2( a),k1Be k1ak2Ccosk2ak2Ds in k2a(11)2(a)3 (a).Csin k2aDcosk2a Fekp(12)2(a)3 (a).k2Ccosk2a k2Dsin k2ak1Fe k1a(13)整理(10)

19、、(11)、(12) > (13)式，并合并成方程组，得iFe3e kiaB sink2aC cosk2aD 00k1e kiaB k2 cosk2aC k2 sink2aD 00cosk2aD e kiaF 0k2sink2aD k1e kiaF 0D、F,进而得出波函数的具体形式，要方程组有非零解，必0 sink2aC0 k2 cosk2aC解此方程即可得出 须B、c、kiaeki akie i0sin k2a k2 cosk2a sin k2a k2 cosk2a cosk2akiak2sin k2ak2 cosk 2acosk2a k2 sin k2a cosk2a k2 sin

20、 k2a k2 sin k2a cosk2a k2 sin k2a0e kiakiBe kia0kiakiekiasin k2asin k2ak2 cosk2ae kik2ecos k?ai k2e kia sin2 k2a k；ekiekiacosk2acosk2ak2s in k2a.2 kiak2e0e «akie kiasin kzacoskzakia sin k2acosk2akia 2i cos k2a k2e kia sin2 k2a2 2k2 sin2k2a ki sin2k2ai e kiak1 e ki asink2acosk2a k2e k1 e kia sin

21、 k2acosk2ae 2kia 2k1k2 cos2k2ae 2kia（k2 k：）sin2k?a2k| ae 02 2 .二（k2 k1 ）sin 2k2a 2k1k2 cos2k2a 0 即（k； k| ）tg2k2a 2k1 k2解法二：接132kik2 cos2k2a0为所求束缚态能级所满足的方程。#Csin k2aD cosk2aCsin k2aD cos k 2ak2 Ccosk2a kik2Ccosk2aki也 Dsin k2aki2 D sin k2akik；cosk2a sin k2a kik； cosk2a sin k2a kik2(cosk；aki(k；cosk；aki

22、(且 cosk； akik； i .2sin k2acosk2aki2(k；#解法三：k；、 2k2)s in 2k；a ki2ki )sin 2k；ak； sin k2a ki/k2(sin k2a kik2 sin k2a)(si nk2akisin k2a)(k；s in k2akisin k；a)(ksi nk；akik2 -2 sin k；a ki邑 cos2k2a ki2kik； cos2k；acosk2acosk2a)cosk2a)cosk2a)coskza)cos2 k2a sin k2a cosk2a ki(ii)-(i3)2k2Dsin k2akiakie(B F)(i0)

23、+(i2)2D cosk2a ekia(BF)(ii) (i3)k2tgk2a ki(i0) (i2)(ii)+(i3)2k；C cosk；aki(FB)e ikia(i2)-(i0)2Csi nk2a (FB)e ikiak2ctgk2aki(a)(11) (i3)(12) (i0)k；a,k；a,则tgctg2 2 2(ki k；)2 U°a22(c)(d)(f)合并(a)、b):tg2k2a#2ki k2k； k；利用tg2k；a2tgk2ai tg2k2a解法四：最简方法-平移坐标轴法2xW °I :i U 0 i E i20<x< 2a2n:2 E 2

24、川：23U03E32(U。E)0i2i2E022223(U02E)30i kfi0(i)kf2 k；20k；k23i30i Ae 1kiXBe kiX2 Csink2XD cosk2X3 Ee 'kXFe kiXi(）有限3(）有限因此1Aekix3Feki x由波函数的连续性，有x> 2aB 0E 02 (UoE). 22 E2束缚态 0 v E v U0i(0)2(0), A D(4)i(0)2(0), kiA k2C(5)2(2a)3(2a), k2Ccos2k2a k2Dsin2k2akiFe 2kia2(2a)3(2a),Csin2k2a D cos2k2a Fe 2k

25、ia(7)代入k 2k 2.C sin 2k2a Dcos2k2aCcos2k2a- D sin 2k2ak1k1利用、(5)，得kik2A sin 2k 2aA cos2k2aA cos2k2ak 2kiDsi n2k2aH)sin2k2a 2cos2k2a 0 kikik2k2)sin 2k2a 2cos2k2a ki两边乘上（kik2）即得2 2(k2 ki)sin2k2a 2kik2 cos2k2a 0U(x)Uo,Ui,Oxa, a x b, b x ,求束缚态的能级所满足的方程。(x) U(x) (x)E (x)解：势能曲线如图示，分成四个区域求解。 定态S-方程为2I:21 U

26、(x)1 E 1(x 0)2n：22 U 0 2E 2(0 x a)2川：23U 13E 3(a x b)2IV:24 0 E4(b x)2 dx2对各区域的具体形式为对于区域I,U (x)，粒子不可能到达此区域，故i(x)02 (Uo E)2 2 22 (Ui2E)2 E2对于束缚态来说,2k2ki2(Uo E)2k322 (Ui E)24 k44各方程的解分别为Aekix Bek22 E/ 2kXC sin k2X D cosk2X4 Ee k3x Fe k3x由波函数的有限性，得4()有限,Fek3X由波函数及其一阶导数的连续，得1(0)2(0) B AA(ek3x e k3x)(a)A

27、(ek3XAk1 (ek3aC sin k2b 22(a)3(a)3(b)133(a)4(b)e k3X) C sin k2a D cosk2a e k3a) Ck2 cosk2a Dk2 sin k2a D cosk2b Fe k3b3(b)由、，得由、得Ck2 sin k2b Dk2 cosk2bFk3e k3be k1a C cosk2a Dcosk2ae k1a Csin k?a D coskza(k2 cosk2b)C (k2 sin k2b)D ( k3 sink2b)C (k3cosk2b)D4(b)k1 ek1a(11)(鱼cosk2b sin k2b)C ( $cosk2b

28、sink2b)D 0(12)k3k3kaka令eka eka，则式变为ek1a e k1a k2(sin k2a cosk2a)C ( cosk2a sink2a)D 0联立(12)、(13)得，要此方程组有非零解，必须(k2cosk2b sin kzb) ( sin k?bk 3kg( sin k2a cosk2a)( cosk2a即( cosk2a sin k2a)(-k2cosk2bk3coskzb)sin k2a)sin k2b)附:(sin k2a cosk2a)k2( sin k2b cosk2b) 0 k3且cosk2bcosk2ak3sin k2bs in k2acosk2bs

29、 in k2asin k2(btgk2(b代入即得a)(a) (1邑 si nk2bsi nk2a k3“sink2bsin k2a k3cosk2bcosk2abk 2k32k3sin k2bcosk2asin k2bcosk2a)cosk2(b/ k2 )仁k1a(1邑苹k3 e 1 e即为所要求的束缚态tgk2(b a)k1a)kaa)(k2(k3台匕冃匕从方程之后也可以直接用行列式求解。见附页。kt1)k1ae 1k1ae 1k1a)ba)e 1k 2级所满足的方(ekiak1ae 1 (ekia(ekiae kia)kia)k2sin k2ak2 cosk2asin k2bk2 co

30、sk2 bcosk2ak2 sin k2acosk2bk2 sin k2b0k3a(ekiakia )kiaki(ek ak 4 a /(e 1 e 1 )(e(ekia(kikia(kiek3e k3ak2 cosk2asin k2bk2 cosk2bk2 sin k2acosk2bk2 sin k2bsin k2a sin k2b k2 cosk2bk 3ak2k3ek3akia )ek3e0k3acosk2a cosk2b k2 sin k2b20k3ae k3ak3ekqa3 sin k2asin k2asin k2b k；e k3a cosk2asin k2b)k3bcosk2aco

31、sk2b k2- 2 - ksacoskzb kzkse ki(ekib e kib)(k2k3e k3bsink2acosk2b k2ecosk2b k3e k3bcosk2asin k2b k2ek a2i ) k2k3 cosk2(b a) k2 sin k2 (b a)e e kia )kik3sin k2(b a) kik2 cosk2(bk3)k2 cosk2(b a) (k； kik3)sin k2(b2k3)k2cosk2(b a) (k2 kik3)sin k2(b a)ek3bk3b cosk2a sin k2as in k2b)k3bk3ba)ek3ba)e 3k3b(k

32、i(ki k3)k2 (k；(ki此即为所求方程。k3)k2 (k2 kik3)tgk2(b a)e k3b(k；(kf0kik3)tgk2(b a)e2 ki akik3)ek3)k2#kik3)tgk2(b a)(kik3)k2e2kia补充练习题一xi、设 (x) Ae 2(为常数)，求A = ?解：由归一化条件，有22x22 12x21 A2 e d(x) A2 e d( x)e y dyA2、，2l利用 e y dy V二 A2、求基态微观线性谐振子在经典界限外被发现的几率。1解：基态能量为E02设基态的经典界限的位置为E0扌在界限外发现振子的几率为1式中2当x2时的值2 t2/2e

33、二 aa。a0e厂2T2Tea0ea02x2 dx2x2x dx(x)2d(2y dyaoe x dx (（偶函数性质）x)e y dydyL42 4T1 dt为正态分布函数(x)U2(,2)0.92（.2）。查表得丁 Z在经典极限外发现振子的几率为0.922(10.92)0.160.16。2e"dt(令 y ；t)"/2dt3、试证明1 2x22 (23x33x）是线性谐振子的波函数，并求此波函数对应的能量。证：线性谐振子的 S-方程为12 d22 dx把（x）代入上式，有(x)2x2 (x)(x)d3 x)x2(2e-2x22 (23 x)d2 (x)dx2(1 2x2

34、dx ；x49(63x21 2 2x)e 29 3x3x2312xe 2x2x2(254x 92x218 3x)(dx74x2e122x27 2)(23x3x)7 2) (x)(x)代入式左边，得左边2 d2 (x)dx22x(x)X222X27 - 2-右边 E (x)当E 时，左边=右边。n = 32 1 2 2(x)：d e 2 X (2 3x3 3 x),是线性谐振子的波函数，其对应的能量dx为7。第三章 量子力学中的力学量2(1)势能的平均值U1 2 二2 % ；动能的平均值Tp2厂；动量的几率分布函数解:1 7(1) U2x222 2122x .x edx23.1一维谐振子处在基态

35、2 I 才一1x2neax2dx 135n1(n2n °2n 1anla(x)?2(x)dxp!厂 2 c( p)(r,(1)r222x2(122x22x：dxdx)e£_232 2x dx2 2x dx(x)dxieee动量几率分布函数为(p) c(p)121222p(x)2x2Pxe dx2p2 2dxp2 21 e 2卫)2 72x2 丄 Pxe dx12(x1e 1 ' ao3 e ，求:ao的平均值；r /a°- 2p22 2 2e2势能 的平均值;r最可几半径；动能的平均值； 动量的几率分布函数。解:(1) r rI 2(r, , ) d1 飞

36、 a°0 re2r/a°2r sin drd d4飞a°2r/a0drn axn!x e dx n 10an143!3a°32a0ao2e3a°4e23a04e23a0电子出现在(r)drd (r)drr10,0,2e3a02r/a02.r sindrd d2r/a°e r sin0drd d2r /aa°0rdra。r+dr球壳内出现的几率为2(r)d (r)drd2dr2ri时，dr2(r)a°是最可几半径。(r, , )2r2 sin drd4ea0423(2 r)re a°2r/a0r22r /

37、a°$e2r/a0r2dra02r/a°0,a°r3a0(r)(r)r a00为几率最小位置8Tea°8ra。$r2)ea02r/a0(r2)-1(sin ) 1r r sinsinye r/a° 2(e r/a° )r2 sin drd a。r/aodrd d1r2 a；1a。(2r2-)er/a0 drao2 a：2(碍2 a： c(p) P(r) (r, , )dc(p)1(2 )3/21-:e0 a3.a0r/a0r2dripr cosesinr/ao丄 pr cos(2)3/2a3drd(cos )r/ a°0dr

38、iprcos(23/23).a°02r/a°(eeipripripr)drn ax |x e dx0n!n 1a(21-p)2a0-p)212a； 3 ipa°4,2a； 3 a° (a°2p (2a° )3/2 (a/p2动量几率分布函数2)2(p)4ip(A E)2 a044a022c(p)2)28a3 52 (a° p22)4#3.3证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是J er Je °e m2Jersinn m证：电子的电流密度为Je eJ e- 2在球极坐标中为1e - r sin1e

39、rer r式中er、e、e为单位矢量e n m (er2r1 e - r sin*n m (er -1 e r rie*er ( nmn mn m2rr* 1/ 1n mnm) e(rrsinnm中的r和部分是实数。iez1Je-(im| n2r sin1-)n mr sinn m)e ( n1*mrn m*1*n mn mrsi nn mI2 im2)ee mm|hiin mrsi nn mn m)2e可见，J er Je °e m2； I n mr sin#3.4由上题可知，氢原子中的电流可以看作是由许多圆周电流组成的。(1) 求一圆周电流的磁矩。(2) 证明氢原子磁矩为Mzme

40、2(SI)me2 c(CGS)原子磁矩与角动量之比为(SI)Lz(CGS)这个比值称为回转磁比率。解：(1) 一圆周电流的磁矩为dM iA Je dS A为圆周电流，A为圆周所围面积nm2dS (rsin )2rsi n氢原子的磁矩为e m2 2MdM0 0n mr sin drdr sindSr2 sin n m 2drd(dS rdrd )2 2n m r sin drdsindrd d(SI)在CGS单位制中Me m7c原子磁矩与角动量之比为Mz M匚匚(SI)Mz匚(CGS)一刚性转子转动惯量为I，它的能量的经典表示式是L22IL为角动量，求与此对应的量子体系在以下情况下的定态能量及波函数：(1) 转子绕一固定轴转动：(2) 转子绕一固定点转动：解：(1)设该固定轴沿Z轴方向，则有2 d2L2Lz哈米顿算符2I其本征方程为H与t无关，属定态问题)2 d22 (2I dddE ()2IE()令m22IE2，则m2 ()取其解为()Aeim (由波函数的单值性，应有(2 )()m可正可负可为零)im (eeim即ei2m1m= 0,± 1 ,± 2,，土 1,± 2,)定态波函数为A222 2(m= 0转子的定态能量为 Em -21可见能量只能取一系列分立值，构成分立谱。m AeimA为归一化常数，由