1.1.1命题 (2)

1、栏目索引第二节第二节命题及其关系、充分命题及其关系、充分条件与必要条件条件与必要条件栏目索引总纲目录1.命题的概念2.四种命题及其关系3.充分条件与必要条件教教材材研研读读栏目索引总纲目录考点一 四种命题的相互关系及真假判断考点二 充分条件、必要条件的判断考点三 充分条件、必要条件的探求及应用考考点点突突破破栏目索引教材研读教材研读 1.命题的概念命题的概念用语言、符号或式子表达的,可以判断真假 的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫做真命题 ,判断为假的语句叫做假命题 .栏目索引教材研读2.四种命题及其关系四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系栏目索引教材研读(i

2、)两个命题互为逆否命题,它们有相同 的真假性;(ii)两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系 . 提醒提醒 在判断命题之间的关系时,要先分清命题的条件与结论,再比较每个命题的条件与结论之间的关系.要注意四种命题关系的相对性.栏目索引教材研读3.充分条件与必要条件充分条件与必要条件(1)若pq,则p是q的充分 条件,q是p的必要 条件.(2)若pq,且q/ p,则p是q的充分不必要条件 .(3)若p/ q,且qp,则p是q的必要不充分条件 .(4)若pq,则p与q互为充要条件 .(5)若p/ q,且q/ p,则p是q的既不充分也不必要条件 . 提醒提醒 不能将“若p,则q”与“pq

3、”混为一谈,只有“若p,则q”为真命题时,才有“pq”.栏目索引教材研读知识拓展知识拓展1.充分、必要条件的两个结论(1)若p是q的充分不必要条件,q是r的充分不必要条件,则p是r的充分不必要条件;(2)若p是q的充分不必要条件,则q是p的充分不必要条件.栏目索引教材研读2.充分、必要条件与集合的关系充分、必要条件与集合的关系设使p成立的对象构成的集合为A,使q成立的对象构成的集合为Bp是q的充分条件ABp是q的必要条件BAp是q的充分不必要条件A Bp是q的必要不充分条件B Ap是q的充要条件A=B栏目索引教材研读1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”)(1)“x2+2x-3b,cd,则a

4、cbdC.若整数a是素数,则a是奇数D.命题“若x20,则x1”的逆否命题答案答案 AA栏目索引教材研读3.命题“若ab,则a-1b-1”的否命题是()A.若ab,则a-1b-1B.若ab,则a-1b-1C.若ab,则a-1b-1D.若ab,则a-1y2,则xy”的逆否命题是()A.若xy,则x2y,则x2y2D.若xy,则x2y2 答案答案 BB栏目索引教材研读5.设xR,则“2-x0”是“(x-1)21”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案答案 B由2-x0,得x2,由(x-1)21,得0 x2,所以“2-x0”是“(x-1)21”的必要不充分

5、条件.B栏目索引教材研读6.(教材习题改编)命题p:x2=3x+4,命题q:x=,则p是q的 条件.34x 答案答案必要不充分解析解析当x2=3x+4时,x=-1或4,当x=-1时,x=不成立,即p/ q.当x=时,x0,3x+40,则x2=3x+4,即qp,所以p是q的必要不充分条件.34x 34x 栏目索引考点突破四种命题的相互关系及真假判断四种命题的相互关系及真假判断考点突破典例典例1(1)命题“若x2+y2=0,x,yR,则x=y=0”的逆否命题是()A.若xy0,x,yR,则x2+y2=0B.若x=y0,x,yR,则x2+y20C.若x0且y0,x,yR,则x2+y20D.若x0或y

6、0,x,yR,则x2+y20D栏目索引考点突破(2)有以下命题:“若xy=1,则x,y互为倒数”的逆命题;“面积相等的两个三角形全等”的否命题;“若m1,则x2-2x+m=0有实数解”的逆否命题;“若AB=B,则AB”的逆否命题.其中真命题为()A. B. C. D.D栏目索引考点突破答案答案(1)D(2)D(3)C(3)原命题:“设a,b,cR,若ab,则ac2bc2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题共有()A.0个 B.1个 C.2个 D.4个解析解析(1)将原命题的条件和结论否定,并互换位置即可.(2)“若x,y互为倒数,则xy=1”是真命题;“面积不相等的两个三角形一定不全等

7、”是真命题;若m1,则=4-4m0,所以原命题是真命题,故其逆否命题也是真命题;由AB=B,得BA,所以原命题是假命题,故其逆否命题也是假命题.所以选D.C栏目索引考点突破(3)原命题:若c=0,则不成立,由等价命题同真同假知其逆否命题也为假;逆命题为“设a,b,cR,若ac2bc2,则ab”.由ac2bc2知c20,由不等式的基本性质得ab,逆命题为真,由等价命题同真同假知否命题也为真,真命题共有2个.故选C.栏目索引考点突破规律总结规律总结1.写一个命题的其他三种命题时的两个注意点(1)对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写成“若p,则q”的形式;(2)若命题有大前提,写其他三种命题时

8、需保留大前提.四种命题的关系具有相对性,一旦一个命题定为原命题,相应地也就有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”.栏目索引考点突破2.判断命题的真假的两种方法(1)直接判断:判断一个命题为真命题,要给出严格的推理证明过程;判断一个命题是假命题,只需举出一个反例.(2)间接判断:当一个命题不易直接判断真假时,可转化为判断其等价命题的真假.栏目索引考点突破1-1已知命题:如果x3,那么xsin B”是“tan Atan B”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件BC栏目索引考点突破答案答案(1)B(2)C解析解析(1)本题主要考查充分条件与必要条件,等

9、比数列的性质.由a,b,c,d成等比数列,可得ad=bc,即必要性成立;当a=1,b=-2,c=-4,d=8时,ad=bc,但a,b,c,d不成等比数列,即充分性不成立,故选B.(2)因为ABC是锐角三角形,所以sin Asin BAB0tan Atan B,所以“sin Asin B”是“tan Atan B”的充要条件,故选C.2栏目索引考点突破方法技巧方法技巧判断充要条件的三种常用方法(1)定义法:直接判断“若p,则q”“若q,则p”的真假.(2)等价法:利用AB与BA,BA与AB,AB与BA的等价性.对于条件或结论为否定式的命题,一般运用等价法.(3)利用集合间的包含关系判断:若AB,

10、则A是B的充分条件或B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件.栏目索引考点突破易错警示易错警示判断充要条件需注意以下三点(1)要分清条件与结论分别是什么;(2)要从充分性、必要性两个方面进行判断;(3)直接判断比较困难时,可举出反例说明.栏目索引考点突破2-1 (2019河北石家庄质量检测)已知p:-1x2,q:log2x1,则p是q成立的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案答案 B由log2x1,解得0 x2,所以-1x2是log2xb”是“a2b2”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必

11、要条件答案答案 D ab不能推出a2b2,例如a=-1,b=-2;a2b2也不能推出ab,例如a=-2,b=1.故“ab”是“a2b2”的既不充分也不必要条件.D栏目索引考点突破2-3 (2018天津,4,5分)设xR,则“”是“x31”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件12xA12答案答案 A本题主要考查解不等式和充分、必要条件的判断.由得-x-,解得0 x1.由x31得x1.当0 x1时能得到x1一定成立;当x1时,0 x1不一定成立.所以“”是“x30在R上恒定成立”的一个必要不充分条件是()A.m B.0m0 D.m1(2)已知P=x

12、|x2-8x-200,非空集合S=x|1-mx1+m.若“xP”是“xS”的必要条件,则m的取值范围是 .14C栏目索引考点突破答案答案(1)C(2)0,3解析解析(1)若不等式x2-x+m0在R上恒成立,则=(-1)2-4m,因此当不等式x2-x+m0在R上恒定成立时,必有m0,但当m0时,不一定推出不等式在R上恒成立,故所求的必要不充分条件可以是m0.14栏目索引考点突破(2)由x2-8x-200得-2x10,P=x|-2x10,由“xP”是“xS”的必要条件,知SP.则0m3.当0m3时,“xP”是“xS”的必要条件.11,12,110,mmmm 栏目索引考点突破探究探究 (变问法)本例

13、(2)条件不变,若“xP”是“xS”的必要不充分条件,求实数m的取值范围.12,110mm 解析解析易知P=x|-2x10,因为“xP”是“xS”的必要不充分条件,所以PS.所以-2,10 1-m,1+m.所以或所以m的取值范围是9,+).栏目索引考点突破方法技巧方法技巧根据充要条件求解参数范围的方法解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列关于参数的不等式(组)求解.栏目索引考点突破易错警示易错警示求解参数的取值范围时,一定要注意对区间端点值的处理,尤其是利用两个集合之间的包含关系求解参数的取值范围时,不等式中的等号能否取得决定着端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解的现象.栏目索引考点突破3-1使“a0,b0”成立的一个