用有限覆盖定理证明实数完备性的几个定理

1、第一章 前言众所周知 , 极限的存在性问题是极限理论的首要问题 . 一个数列是否存在极 限不仅与数列本身的结构有关 , 而且与数列所在的数集密切相关 . 从运算的角度 来说 , 实数集关于极限的运算是封闭的 , 它反映了实数集的完备性 , 这是实数的 优点 . 因此, 将极限理论建立在实数集之上 , 极限理论就有了坚实的基础 .我们常常从实数系的连续性出发证明实数系的完备性 , 也可从实数系的完 备性出发去证明实数系的连续性 , 所以这两个关系是等价的 . 因此 , 我们也称实 数系的连续性为实数系的完备性 .数学分析课程是高等学校数学专业的主要基础课程之一 , 更是高等师学校 数学教育专业最

2、主要的基础课程 . 在数学分析教材中 , 实数集的确界定理、单调 有界定理、闭区间套定理、 柯西收敛准则、 聚点定理和有限覆盖定理通称为实数 的完备性定理 , 他们各自从不同的角度反映了实数的完备性或称为实数的连续 性 , 成为数学理论乃至数学分析坚实的基础 . 这六个基本定理是相互等价的 , 也 就是说可以相互循环论证 . 在我们学过的玉琏等主编的数学分析讲义中 , 实数完 备性基本定理是从公理出发 , 首先运用公理证明了闭区间套定理 , 然后用前一个 定理为条件 , 证明了后一个定理的结论 , 它们依次是 : 确界定理、有限覆盖定理、 聚点定理、致密性定理、柯西收敛准则的充要性 , 最后再

3、运用柯西收敛准则的充 要性证明了公理（作为练习题） . 而在本文中把有限覆盖定理作为出发点 , 利用 反证法和有限覆盖的思想来分别证明确界原理、 单调有界定理、 区间套定理、 聚 点定理、柯西收敛准则 .下面我们就来阐述有限覆盖的定义和定理的容 , 为后面的证明做铺垫 .定义1212设S为数轴上的点集,H为开区间的集合,（即H的每一个元 素都是形如（，）的开区间），若S中任何一点都含在H中至少一个开区间，则 称H为S的一个开覆盖,或称H覆盖S.若H中开区间的个数是无限（有限）的, 则称 H 为 S 的一个无限开覆盖（有限开覆盖） .定理2（有限覆盖定理）设H为闭区间a,b的一个（无限）开覆盖,

4、则 从H中可选出有限个开区间来覆盖a,b.第二章 有限覆盖定理证明实数完备性的其它定理2.1 用有限覆盖定理证明确界定理 本节主要运用有限覆盖定理证明确界定理 , 首先给出确界的定义和定理如 下:定义 2 有非空的数集 E, 如果存在 , 有下列性质 :（1）对任意 x E , 有 x;（2）对任意0,总存在某个数x0 E,有xo,则称是数集E的上确界, 认为 :supE.定义 2 非空的数集 E, 如果存在 , 有下列性质 :（ 1）对任意 x E , 有 x;（2）对任意0,总存在某个数xo E,有xo,则称 是数集E的下确界 , 认为:inf E.定理 2 （确界定理） 任何非空集 E

5、R, 若它有上界 , 则必有上确界 supE R （等价地若有下界 , 必有下确界） .证明 设 E R, x E 有 x M . 任取一点 x0 E, 考虑闭区间 x0,M ,假若E无上确界（最小上界），那么x x0,M）:i）当x为E的上界时,必有更小的上界& x,因而x有一开领域x,其中 皆为E的上界；ii）当x不是E的上界时，自然有E中的点X2 x,于是x有开领域x,其 中每点皆不是 E 的上界.x0,M 上每点都找出一个领域 x, 它要么属于第一类 （每点为上界） , 要么 属于第二类（每点皆不是上界） , 这些领域 x:x x0,M , 组成闭区间 x0,M 的一个开覆盖,

6、由有限覆盖定理，必存在有限子覆盖 r，,n ,注意，M所在 的开区间，应为第一类的，相邻接的开区间 x有公共点，也应为第一类的，经过 有限次邻接可知X0所在的开区间也是第一类，这便得出矛盾.从而得证非空集 E R,若它有上界，则必有上确界.同理可证非空集E R,若它有下界，则必有下确界.2.2用有限覆盖定理证明单调有界定理本节主要运用有限覆盖定理证明单调有界定理，首先给出单调有界的定义和定理如下：定义2若数列an的各项满足关系式a n an 1(an an 1),则称an为递增(递减)数列.递增数列和递减数列统称为单调数列.定理2(单调有界定理)任何有界的单调数列一定有极限.证明 不妨设Xn

7、a,b为单调有界数列,若对X a,b, X都不是Xn的 极限，则00,对N N ,有|Xn X| 0,则在U(x；寸)仅含有Xn的有限项,令H U(X；)|x a,b,则H是闭区间a,b的一个开覆盖，由有限覆盖2定理知：其必存在有限子覆盖,不妨设存在丄)，U(x2, 2),，U (xn, n)n222是它的一个子覆盖,即 U(Xj； ：) a,b,而U(Xj,-4(i 1,2,，n)只含有限个i 122点，从而它们的并也只含有限个点，从而得出a,b也只含有限个点，这与a,b 是无限点集矛盾，从而得证任何有界的单调数列一定有极限.2.3用有限覆盖定理证明区间套定理本节主要运用有限覆盖定理证明区间

8、套定理，首先给出区间套的定义和定理如下：定义2若闭区间列an,bn具有下列性质：(1) an，bnan 1,bn 1,n=1,2,3；(2) lim(bn an) 0n则称这个闭区间列 an,bn为闭区间套，或称区间套.定理2(区间套定理)若an，bn是一个区间套，贝U存在唯一一点,使 得an,bn, n=1,2,3, 或 a.bn, n=1,2,3,证明设 an,bn为闭区间套，但对x ai,b!,至少k N ,使X ak,bk,从而 X 0,使U(x, X)ak,bk.现因G U(x, x)|xa,b是,“的一个开覆盖,故G中有限个开区间即可完全覆盖 a1,b1, 记为G* U(xi, i

9、)|1 i n,其中 U(Xj, J aki, bki (i=1,2，,n; ki 2 ).n令ko max( ki,k2,kn),贝U aki,bkj ao, bo.于是对 i(1 i n),都有i1U(xi, i) ako,bko, 由此得出nG* ako,bko ( U(xi, i) ako,bkoi1这与G*为ai,bi的开覆盖条件矛盾，从而假设不成立，问题得证2.4 用有限覆盖定理证明聚点定理本节主要运用有限覆盖定理证明聚点定理 , 首先给出聚点的定义和定理如 下:定义2设S是直线上的点集x,是一个定点(它可属于S ,也可不 属于S ).若 的任意领域含有S的无限多个点x,则称 为S

10、的一个聚点.其等价定义：对于点集S x,若 点的任意 邻域都含有S的一个异于 的点x (即x S ( , ),x)，则称 为S的一个聚点.定理2(聚点定理)直线上的有界无限点集S至少有一个聚点.证明 设E为直线上有界无穷点集，若存在M 0,使E M ,M 中任何点 不是E的聚点，则对每一个x M,M,必存在相应的x 0 ,使得在(x, x) 至多含有 E 的有限多个点 .设H (x, x) |x M,M，则H是M ,M 的一个开覆盖,由有限覆盖 定理，H中存在有限个开覆盖 (Xj, J (j=1,2,3，)构成M,M的一个开覆 盖，当然也覆盖了 E.则在M,M中至多含有E的有限多个点Xj (j

11、=1,2,3，), 故E为有限点集，这与题设E为无限点集相矛盾.于是，E至少有一个聚点.2.5用有限覆盖定理证明Cauchy收敛准则本节主要运用有限覆盖定理证明 Cauchy收敛准则,首先给出Cauchy收敛 准则如下：定理2（柯西收敛准则）数列an收敛的充要条件是：对任给的正数, 总存在某一个自然数N,使得n,m N时，都有| aman |柯西收敛准则又叫实数完备性定理.0, N柯西收敛准则（充分性部分）若实数列Xn满足:有1 XnXm 1，则Xn收敛.证明0,N N , n N,| XnXN 1 |Xn | | XnXn 1XN 1 1| Xn Xn 1 | |XN 1 | XN 1 |其

12、中n N1,NXn的极限，则 的有限项，令H限覆盖定理知:a,b, x都不是 x| 0,则在U（x；寸）仅含有Xn U（x;）|x a, b，则H是闭区间a,b的一个开覆盖,由有2其必存在有限子覆盖，不妨设存在U X,）,U（x2,-）,n22Xn是有界的,0,对 N N ,设Xn有| Xna,b,若对 x,U（Xn,）是它的一个子覆盖,即 U（x）a,b,而U（.-4（i 1,2,，n）只2i 122含有限个点，从而它们的并也只含有限个点，从而得出a,b也只含有限个点，这 与a,b是无限点集矛盾，从而假设不成立，问题得证.柯西收敛准则（必要性部分）若实数列Xn收敛，则Xn满足：0, N N

13、, n,m N 时，有|Xn Xm |成立证明设xn收敛于 ，按照收敛的定义，0, N N , n,m N时,有lXn| ,|XmI ,于是以 Xm| |（人）（Xm） | | X.| | Xm| 2.6 总结众所周知 , 实数系的完备性是实数的一个重要特征 , 与之相关的 6 个基本 定理是彼此等价的 , 并且是论证其它一些重要定理 （如一致连续定理等） 的依据 , 确界定理、单调有界定理、闭区间套定理、柯西收敛准则、聚点定理、柯西收敛 准则属于同一类型 , 它们都指出 , 在某一条件下， 便有某种 “点”存在, 而有限 覆盖定理属于另一种类型 , 它是其它实数完备性定理的逆否形式 , 不论

14、是前五 个定理来分别证明有限覆盖定理 , 还是在本文研究的用有限覆盖定理分别推出 前五个定理 , 都可用反证法完成 ; 同时需要特别强调的是有理数集并不具有完 备性.参考文献1 玉琏等, 数学分析讲义与指导 M, 第 2版 , 高等教育, 2005.2 华东师大学数学系,数学分析M,第2版,高等教育，1991.3 裴礼文编的数学分析中的典型问题与方法 , 第2版, 高等教育.4 纪修等 ， 数学分析 M， 第 2 版， 高等教育 ， 2004.5 裘兆泰、王承国、章仰文编的数学分析学习指导 M， 科学， 2004.为期近半年的论文写作即将画上一个圆满的句号 , 在论文写作的过程中 , 从论文的选题到确定思路 , 从资料的搜集、提纲的拟定到容的写作与修改 , 继而 诸多观点的梳理 , 都得益于我的导师老师的悉心指导和匠心点拨 .论文的点评中总是闪烁着智慧的火花 , 与她的每次交谈我都能从