苏教版六年级数学基于圆锥体积公式推导的数学思考

1、.苏教版六年级数学基于圆锥体积公式推导的数学考虑面对书本，假如对知识没有了质疑，对挑战没有了渴望，对自我没有了信心，那么学习的过程就没有了惊叹，没有了思辨，没有了期待，没有了乐趣那不是我想要的课堂。变故突生，课堂遭遇意外圆锥体积的推导，最常用的就是倒三次水的方法，清楚明白地发现圆锥的体积是等底等高的圆柱体积的三分之一。小学6年级的时候，我学过一次，等我当了老师，我教过学生两次。今天还是上这节课，轻车熟路，实验和讲解都很顺利，学生开场做练习了。过了一会儿，教室里有了些不和谐的声音，起先还压抑着，后来掩不住兴奋炸裂开来。两个脸涨得通红的男同学，高声叫着，二分之一！是二分之一！你看。孙老师，其中叫范

2、托的学生冲动地说：你先看，这个三角形的面积是不是这个长方形的一半？一个涂得脏兮兮的长方形，以及一个沿这个长方形的对角线对折后剪下来的三角形出如今我眼前如图一。对呀。那这个呢？他又拿出和刚刚一样的两个图形。也是呀。这样两个叠起来，两个三角形的体积是不是两个长方形的一半。是呀。那3个、4个、很多个叠起来呢？也是二分之一啊。那就对了。他得意地说，接着开场演示，他把一个长方形和一个三角形粘在一起，以一条宽为轴，用手拨动另外一边旋转360度如图三，拨一下，数一下，1张、2张、3张 一起转的，那张数是一样多，长方形转一圈就是圆柱,三角形转一圈就是圆锥,那圆锥的体积不就是圆柱的二分之一吗?教室里突然静了下来

3、，部分学生已经停下了对作业的讨论，盯着讲台上的三角形碎片想着刚刚的推论。太突然了，我深吸一口气让自己保持镇定，头脑中迅速地调动相关知识：旋转成形的任一瞬间，三角形的面积都是长方形的二分之一，由于是同步旋转，因此旋转的度数完全一样，也就是说，累计叠加的个数也完全一样，因此，由无数个三角形旋转叠加而成的圆锥的体积，应该就是由同样多个数的长方形旋转叠加而成的圆柱的体积的二分之一！天哪，这个推理好似是天衣无缝，面对人们信之不移的规律性知识，不同的方法怎么出现了不同的结论！应该是三分之一啊，怎么办？我知道我的学生此刻都在盯着我。两分钟后，终于有人忍不住开了口，教室里炸开了锅。书上印错了！倒水的时候，3次

4、根本就没有倒满，不是三分之一，应该是二分之一啊！范托，你好厉害！而我，只能暂时眼睁睁地看着他们，因为我确实无法当堂反响这个推理的逻辑破绽。寻根索源，问题从何而来1.实验不准确埋下了问题的种子。实验用的圆柱量杯和圆锥量斗外外表比较时，确实是等底等高，但由于透明塑料有一定的厚度，实际上圆锥的容积要略微小于圆柱容积的三分之一，因此，每次装的水倒入量杯的时候，总会比三等分的刻度线略微低一点。3次倒水完成后，离杯口还差一点间隔 。通常的做法就是简单地向学生解释一下，是实验误差，学生也能承受。但在喜欢较真的学生心里却埋下了问题的种子，思量着是否有其他的推理方法来验证甚至推翻这个结论。2.知识渐丰使得问题萌

5、发。学生会想到用叠加的方法虽然出乎意料，却不是偶尔的，虽然教材中没有要求，但在面积体积的教学中，我铺垫了有关点线面三者之间演变的过程，那时是为了帮助他们更好地理解概念：把点一个个沿一定的方向密密麻麻地排列，就形成了线，线段的长度可以理解为点的个数；把同样长度的线段沿一定的方向平行叠加排列，就形成一个面，线的条数可以理解为所形成的长方形的宽，长方形的面积线的长度线的条数长宽；大小一样的面，一层层往上叠加形成柱体，面的层数可以理解为柱体的高。柱体体积底面面积面的层数底面面积高。没想到，埋下的种子，却在这里生根发了芽。3.求知欲和好胜心强促使问题爆发。6年级的孩子叛逆心强，不满现实,充满梦想，喜欢挑

6、战权威，又追求新奇。平时班级竞赛中又多以解答方法巧妙而论胜负，导致学生尤其是优秀学生群中，以与众不同为荣。他们学有余力，专门喜欢研究冷门解法，以彰显自己的实力。面对生成，老师如何应对1.错误的过程比正确的结果更重要。现代数学教学更关注过程的价值，关注学生学习的体验和感受。学生良好的情感态度和价值观的获得也是一项教学目的，一定程度上，这比知识和技能的掌握更重要。我知道学生的结论是错误的，但我无法解释，那么，对于这个过程的思辨和探究是否该停顿呢？从知识习得的角度说，学生是失败的，继续研究讨论错误的结论是没有必要的。但从另一个角度来看，学生是成功的，因为他们不仅参与了数学活动，获得了亲身体验，而且在

7、正确与错误的思维交锋中，迫使他们不断调整、完善、重塑头脑中的数学知识构造和数学思维方式。只有经过深化讨论研究，真正弄清了错误的根源所在，才能更深化地体会正确之正的真正意义。就算反复考虑后仍无法解答，留一个问号在脑子里，随时思量，也是一件不错的事情。这个探究的过程，就是学生自我进步的过程。当然，这个讨论的过程假如放在课后小范围中继续进展，更能协调好班级整体开展与个人开展的关系。2.学生思维的锻炼比老师的智慧形象更重要。教学真的是一条奇幻旅程，假如没有平日里对他们算法多样化的纵容，他们就会毫不犹豫地承受书本上的定论，也就不会旁生枝节，搞出这样一个至今还令我无法解释的问题。那么，今天站在课堂上的我仍

8、然是一个学识渊博的不倒问，照这样的逻辑推理，是我自己给自己制造了费事，懊悔吗？不！不懊悔！这件事情确实让我有所震动。老师之所以有权威，其中一个重要的原因是老师在某些方面比学生知识渊博，两者之间知识相差的间隔 越大，权威感就越强，因此对老师自身业务的进步也就提出了更高的要求。如今学生获取知识的途径越来越多，学习的速度越来越快，假如把如今老师和学生之间的知识差看作一个固定的数，那如何来减缓这个差距缩小的速度呢？是控制学生的学习速度，让自己可以悠闲地吸收新知识？还是想尽方法激发他们体内的智慧能量，然后在他们的穷追猛跑下策马狂奔？我想，我的选择肯定是后者。课后，为了这个问题我查看了七八本书，还请教了教

9、研员和数学学科方面的专家，在他们的指导下，总算对这个问题有了进一步深化的理解:我们一直从面的角度在考虑，无限分割成面后，把任意一个面沿对角线平分，那么三角形x和三角形y的面积相等如图四，因此旋转累加后，三角形x所形成的体与三角形y所形成的体也是体积一样的，因此学生的二分之一说似乎是有根据的。但事实上，旋转成形和线形叠加成形是不同的。旋转时，旋转的角度虽然一定，但旋转点离中心点的位置不同，实际挪动的间隔 也是不同的。打个比方，在旋转面的一条边上取两个点j和k，旋转同样的角度时，j所挪动的间隔 要明显的大于k所挪动的间隔 如图五。也就是说，在每个旋转瞬间形成的是中间薄、外端厚，底面是扇形的柱体如图

10、六。把它沿着AEF这个面分割，三角形x沿AB轴旋转所形成的四面体是ABEF,三角形y沿AB轴旋转所形成的五面体是ACDEF,从体积的角度看，这两个部分的底面完全一样，是一个扇形，但分开比较后可以发现，三角形x沿轴AB旋转所形成的体，以轴AB为高度最大处的厚度如图七，而三角形y沿轴AB旋转所形成的体是以弧面CDEF为高度最大处的厚度如图八，两者的体积进展比较显而易见是后者比较大。由此推论，二分之一说就不能成立了。假如能证明五面体ACDEF的体积正好是四面体ABEF的两倍，那倒可以成为圆锥体积三分之一说的另一种证明方法，可惜弧面的计算方法是我未曾涉猎的知识，这次被学生问住开场促使我重新审视自己的知

11、识构造，我所拥有的知识还远远不够啊！复杂问题，怎样深化浅出学生期盼的解答终于揭开面纱，但这么复杂的解释想让6年级的学生承受似乎有点困难，得想个好方法。那天我走进教室的时候，手中多了1个圆形蛋糕。我先借用范托的道具演示了一番，让学生清楚感受到形成的是1个圆柱体，然后拿出蛋糕，我们来切一个面看看，我从圆心出发切了1刀，让学生想象切面是什么形状，学生想到了，是长方形，只不过藏在里面。30个这样的长方形叠加呢？我拿出了另外的30个大小一样的长方形追问。是长方体。学生毫不犹豫地答复，我按他们的意思叠加了一遍，果然是长方体。接着我不紧不慢地说，假如旋转了一度算一片，旋转30度左右，该切在哪里啊？很多学生自

12、告奋勇来切，一块蛋糕就切下来了。观察，你发现了什么？在两个物体的比较中学生很快明白了直线叠加和旋转叠加的不同如图九：直线叠加两端同时增厚，而旋转叠加一端增厚，沿轴的一端厚度却一直没有发生变化。我乘胜追击,合适直线叠加的推论就不一定会合适旋转叠加，因为有一部分被互相挤掉了。说的时候我还特地使劲捏了捏长方体的一端。有些学生开场醒悟了，小声地说那就不一定是二分之一了。一般说来，“老师概念之形成经历了非常漫长的历史。杨士勋唐初学者，四门博士?春秋谷梁传疏?曰：“师者教人以不及，故谓师为师资也。这儿的“师资，其实就是先秦而后历代对老师的别称之一。?韩非子?也有云：“今有不才之子师长教之弗为变其“师长当然

13、也指老师。这儿的“师资和“师长可称为“老师概念的雏形，但仍说不上是名副其实的“老师，因为“老师必需要有明确的传授知识的对象和本身明确的职责。这就满足了啊！那我的蛋糕不是浪费了吗？我成心卖了个关子，学生顿时来了精神。还有什么？我拿起切下的那块蛋糕，这个面是长方形吧？沿对角线一分是两个一模一样的三角形吧？好，沿这条对角线把蛋糕切开，两块一样大吗？学生中起了争论，不一会儿就只剩下一种声音，当蛋糕被我用上面的方法切开来后，学生终于明白：用面的方法来考虑体，是不周到的。当那两个他们说不出形状的体真实地摆在他们面前时，他们已经明白了错误的原因，那个我也无法用他们如今所能理解的数学语言来解释的原因。课本、报

14、刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。为什么?还是没有彻底“记死的缘故。要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一那么名言警句即可。可以写在后黑板的“积累专栏上每日一换,可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,老师定期检查等等。这样,一年就可记300多条成语、300多那么名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财富。这些成语典故“贮藏在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会随心所欲地“提取出来,使文章增色添辉。“师之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生而来。其中“师傅更早那么意指春秋时国君的老师。?说文解字?中有注曰：“师教人以道者之称也。“师之含义，如今泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。“老师的原意并非由“老而形容“师。“老在旧语义中也是一种尊称，隐喻年长且学识渊博者。“老“师连用最初见于?史记?，有“荀卿最为老师之说法。