信号与系统ch5_连续时间系统的复频域分析51-南航

1、黎宁黎宁通信与信息工程系通信与信息工程系电子信息工程学院电子信息工程学院1第五章第五章LOGO第五章第五章 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析信号与系统信号与系统2LOGO第五章第五章 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析信号与系统信号与系统3引言引言u可以求系统的全响应可以求系统的全响应v计算过程简化计算过程简化变卷积运算为乘法运算变卷积运算为乘法运算变方程的微积分运算为乘除运算变方程的微积分运算为乘除运算w对信号的适应性比傅里叶变换强，不用引入奇异函对信号的适应性比傅里叶变换强，不用引入奇异函数数LOGO第五章第五章 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分

2、析信号与系统信号与系统4引言引言v 频域分析法需进行正反两次变换，且付氏变换的频域分析法需进行正反两次变换，且付氏变换的运用要受绝对可积条件的限制，所以运用要受绝对可积条件的限制，所以求连续系统求连续系统的响应时更多地采用复频域分析法的响应时更多地采用复频域分析法( (拉氏变换法拉氏变换法) )v 频域分析法地位重要频域分析法地位重要 复频域分析法是频域分析法的推广； 信号的频谱具有明确的物理意义； 当系统内部结构无法确知时，在复频域中无法得到反映系统功能的系统函数，但在频域中可通过实验测得。LOGO第五章第五章 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析信号与系统信号与系统5主要内容主

3、要内容 1234LOGO第五章第五章 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析信号与系统信号与系统6v拉普拉斯变换在数学中是直接从积分变换的观点拉普拉斯变换在数学中是直接从积分变换的观点定义的，我们将从信号分析的角度出发，由定义的，我们将从信号分析的角度出发，由傅里傅里叶变换推广到拉普拉斯变换叶变换推广到拉普拉斯变换v1、从傅里叶变换到拉普拉斯变换、从傅里叶变换到拉普拉斯变换 函数f(t)不满足绝对可积条件往往是由于当t 时f(t)不衰减造成的 若人为乘上一个衰减因子e-t，则就可能可能符合绝对可积条件，因而其傅里叶变换存在。拉普拉斯变换拉普拉斯变换1LOGO第五章第五章 连续时间系统

4、的复频域分析连续时间系统的复频域分析信号与系统信号与系统7拉普拉斯变换拉普拉斯变换v1、从傅里叶变换到拉普拉斯变换、从傅里叶变换到拉普拉斯变换dtetfdteetfetftjtjtt)()()()(Fjs令dtetfsFt s)()(desFtftj)()(21)(dsjdjs1jjstdsesFjtf)(21)(LOGO第五章第五章 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析信号与系统信号与系统8拉普拉斯变换拉普拉斯变换v双边拉普拉斯变换双边拉普拉斯变换v单边拉普拉斯变换单边拉普拉斯变换dtetftfsFstd)()(L)(jjstddsesFjsFtf)(21)(L)(1dtetft

5、fsFst0)()(L)()()(21)(L)(1tdsesFjsFtfjjst)()(sFtf一对拉普拉斯变换对f(t)称为原函数F(s)称为象函数LOGO第五章第五章 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析信号与系统信号与系统9拉普拉斯变换拉普拉斯变换v2 2、拉普拉斯变换的物理意义、拉普拉斯变换的物理意义 FT: 将信号分解为无穷多个 分量,每个分量的幅度为 LT: 将信号分解为无穷多个 分量,每个分量的幅度为 dejFtftj)(21)(tjedjF)(21jjstdsesFjtf)(21)(stedssFj)(21拉普拉斯变换的s与傅里叶变换的j相对应LOGO第五章第五章

6、连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析信号与系统信号与系统10拉普拉斯变换拉普拉斯变换v2 2、拉普拉斯变换的物理意义、拉普拉斯变换的物理意义s为复频率 拉普拉斯变换分析法常称为复频域分析法 在傅里叶变换中一对 合成一个实信号，代表的是一个正弦分量； 在拉普拉斯变换中的一对 也应合成一个实信号，它代表的是一个什么分量呢？ tjtjee,ststee,LOGO第五章第五章 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析信号与系统信号与系统11拉普拉斯变换拉普拉斯变换v含义含义 在复平面中的分布情况密切相关 根据各种不同的分布情况来研究其含义stejsLOGO第五章第五章 连续时间系统

7、的复频域分析连续时间系统的复频域分析信号与系统信号与系统12拉普拉斯变换拉普拉斯变换v含义含义j原点直流分量k实轴非振荡信号l虚轴与傅里叶变换一样代表一个等幅的正弦分量s离实轴越远振荡频率越高ste越快指数衰减（左半实轴）指数增幅（右半实轴）离虚轴越远增长、衰减00LOGO第五章第五章 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析信号与系统信号与系统13拉普拉斯变换拉普拉斯变换v含义含义m右半平面合成一个指数增幅的正弦振荡信号s离实轴越远振荡频率越高s离虚轴越远增幅越快n左半平面合成一个指数衰减的正弦振荡信号s离实轴越远振荡频率越高s离虚轴越远增幅越快stes 在左半平面est 为衰减型s

8、 在右半平面est 为增长型LOGO第五章第五章 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析信号与系统信号与系统14拉普拉斯变换拉普拉斯变换v2 2、拉普拉斯变换的物理意义、拉普拉斯变换的物理意义 拉普拉斯变换：将f(t)沿-j+j分解为无穷多个est分量 拉普拉斯反变换：沿-j+j积分路径，将无穷多个est分量迭加得f(t) 傅里叶变换：沿路径 -j+j虚轴的分解与迭加(拉普拉斯变换特例)LOGO第五章第五章 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析信号与系统信号与系统15 拉普拉斯变换的收敛域拉普拉斯变换的收敛域v当f(t)乘上一个因子e-t后，f(t) e-t有可能收敛，到

9、底是否收敛还取决于的取值，这就是拉普拉斯变换的收敛域问题1仍不满足绝对可积条件满足绝对可积条件可见仍不满足绝对可积条件则若取绝对可积则若取不满足绝对可积条件例如：3;3)()(2)()(4)()(243teetfteetftetftttttLOGO第五章第五章 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析信号与系统信号与系统16拉普拉斯变换的收敛域拉普拉斯变换的收敛域v1 1、定义、定义 能使f(t) e-t 满足绝对可积条件的的取值范围称拉普拉斯变换的收敛域 在收敛域内f(t)的拉普拉斯变换F(s)存在，在收敛域外则不存在 F(s)的所有极点必须在收敛域外LOGO第五章第五章 连续时间系

10、统的复频域分析连续时间系统的复频域分析信号与系统信号与系统17拉普拉斯变换的收敛域拉普拉斯变换的收敛域v2 2、单边拉普拉斯变换收敛域的判别方法、单边拉普拉斯变换收敛域的判别方法的收敛域。即为存在，绝对可积则时若)()()(0)(lim00sFsFetfetfttt在 s 平面上 以= 0 为界将s 平面分为两个区域。 = 0 称收敛轴（边界）0 为收坐标，0 为收敛域（不包含边界）LOGO第五章第五章 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析信号与系统信号与系统18拉普拉斯变换的收敛域拉普拉斯变换的收敛域v3 3、常用单边拉普拉斯变换的收敛域、常用单边拉普拉斯变换的收敛域 持续时间有

11、限的单个脉冲信号 能量有限，不管取何值 总是满足，收敛域为整个s平面，拉斯变换无条件存在 单位阶跃信号 收敛域为不包含虚轴的右半平面 单边指数信号0)(limttetf00)(lim只要容易看出，要tett只要要0lim)(lim)(ttttteeteLOGO第五章第五章 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析信号与系统信号与系统19拉普拉斯变换的收敛域拉普拉斯变换的收敛域v3 3、常用单边拉普拉斯变换的收敛域、常用单边拉普拉斯变换的收敛域 单边指数信号只要要0lim)(lim)(ttttteeteLOGO第五章第五章 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析信号与系统信号与

12、系统20拉普拉斯变换的收敛域拉普拉斯变换的收敛域v3 3、常用单边拉普拉斯变换的收敛域、常用单边拉普拉斯变换的收敛域 单边斜变信号相同。信号所以收敛域与单位阶跃只要容易看出，要)(00)(limtttettLOGO第五章第五章 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析信号与系统信号与系统21拉普拉斯变换的收敛域拉普拉斯变换的收敛域v3 3、常用单边拉普拉斯变换的收敛域、常用单边拉普拉斯变换的收敛域 结论 在电子技术中常用的有始函数一般都属于指数阶函数，单边拉普拉斯变换存在，有收敛域。 能量有限的信号，单边拉普拉斯变换的收敛域为整个复平面。 有始无终的单边函数，单边拉普拉斯变换的收敛域总

13、是在某一收敛轴的右边。 在收敛域中不包含极点。 凡符合绝对可积条件的函数不仅存在拉普拉斯变换，而且存在傅里叶变换，收敛域必定包含虚轴；反之，凡不符合绝对可积条件的函数，收敛域必不包含虚轴，傅里叶变换不一定存在。LOGO第五章第五章 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析信号与系统信号与系统22 常用函数的拉普拉斯变换常用函数的拉普拉斯变换v 1为常数、指数函数)(1tetsdtedtetedtetfsFtssttst1)()()(0)(00stet1)(LOGO第五章第五章 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析信号与系统信号与系统23常用函数的拉普拉斯变换常用函数的拉普拉

14、斯变换v j(t)1/s为常数、指数函数)(1tet)(tets1)(0ts10LOGO第五章第五章 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析信号与系统信号与系统24常用函数的拉普拉斯变换常用函数的拉普拉斯变换v k单边正弦函数sin0t (t)为常数、指数函数)(1tet20200001121LL2121)(sinL0000sjsjsjeejeejLtttjtjtjtj0收敛域为衰减的正弦、余弦、双曲函数等都可用同样的方法求出LOGO第五章第五章 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析信号与系统信号与系统25常用函数的拉普拉斯变换常用函数的拉普拉斯变换v2、t 的正幂函数t

15、n(t) (n为正整数)(L11)(L101000ttsndtetnetsdetsdtetttnstnstnstnstnn121!)(L1)(L)(LnnnnsnttsnsnttsnttLOGO第五章第五章 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析信号与系统信号与系统26常用函数的拉普拉斯变换常用函数的拉普拉斯变换v3、单位冲激函数(t)v 常用函数拉普拉斯变换见p2151)()(L0dtettstLOGO第五章第五章 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析信号与系统信号与系统27常用函数的拉普拉斯变换常用函数的拉普拉斯变换v符合绝对可积条件的函数符合绝对可积条件的函数不仅存

16、在拉普拉斯变换，不仅存在拉普拉斯变换，而且存在傅里叶变换。所以，其而且存在傅里叶变换。所以，其傅里叶变换和拉傅里叶变换和拉普拉斯变换可以相互转化普拉斯变换可以相互转化)()(sFjFsjsj LOGO第五章第五章 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析信号与系统信号与系统28常用函数的拉普拉斯变换常用函数的拉普拉斯变换v对不符合绝对可积条件的函数对不符合绝对可积条件的函数，其傅里叶变换和，其傅里叶变换和拉普拉斯变换则拉普拉斯变换则不符合不符合上面的转化关系上面的转化关系LOGO第五章第五章 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析信号与系统信号与系统29 拉普拉斯变换的性质拉

17、普拉斯变换的性质v拉普拉斯变换性质是针对单边拉普拉斯变换v拉普拉斯变换性质可简化运算v注意傅里叶变换和拉普拉斯变换性质的相似之处和不同之处 线性、尺度变换 时间与复频域平移 时域微分与积分 复频域微分与积分 对参变量的微分与积分 初值定理、终值定理、卷积定理1LOGO第五章第五章 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析信号与系统信号与系统30拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质v1 1、线性、线性 v2 2、尺度变换、尺度变换 )()(,)()(2211sFtfsFtf)()(sFtfLOGO第五章第五章 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析信号与系统信号与系统31拉普拉

18、斯变换的性质拉普拉斯变换的性质v3 3、时间平移时间平移 例1：f(t)如图求F(s)()()(sFttf)()()(Ttttf)1 (111)(L)(L)(sTsTesessTttsFLOGO第五章第五章 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析信号与系统信号与系统32拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质v3 3、时间平移时间平移 例2：求有始周期函数 f(t)的F(s),若其第一个周期的函数记为f1(t),且)()(11sFtf)2()()()(111TtfTtftftf01121111)()()()()()(nsTnsTsTsTesFesFesFesFsFsFLOGO第五章第五章

19、 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析信号与系统信号与系统33拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质v3 3、时间平移时间平移 结论j对于周期为T的有始周期函数，求其拉普拉斯变换只要求其第一个周期的变换，然后再乘以k函数的分母含有上述因子，则要考虑其原函数是有始周期信号。求原函数时,只求一周内信号的反变换,然后再以T为周期延拓。LOGO第五章第五章 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析信号与系统信号与系统34拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质v3 3、时间平移时间平移 例3：求f(t)已知sTesF11)(sTsTsTeeesF21111)(sTesF1)(1)()()

20、(1Ttttf01)2()(nnTtftf由图我们可以写出f(t)更简洁的形式0)() 1()(nnnTttfsTesF11)(LOGO第五章第五章 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析信号与系统信号与系统35拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质v3 3、时间平移时间平移)2()()1()()5()2()2sin()()4()()()3()2()()2()2()()1 ()2()2(ttttftttftetftetftetftttLOGO第五章第五章 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析信号与系统信号与系统36拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质v3 3、时间平移时间平

21、移) 12() 121(tftf和LOGO第五章第五章 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析信号与系统信号与系统37拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质v3 3、时间平移时间平移 例6 求下列波形所示信号的L变换LOGO第五章第五章 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析信号与系统信号与系统38拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质v4 4、复频域平移、复频域平移 例7 )()(sFtf200202002)()cos()()sin(ssttstt，21)(stt的象函数，求已知：)23(1)(2tfesssFtLOGO第五章第五章 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频

22、域分析信号与系统信号与系统39拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质v5 5、时域微分、时域微分 0000)0()()()()()()(LfssFdtetfsetftdfedtedttdfdttdfstststst推广到n阶导数LOGO第五章第五章 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析信号与系统信号与系统40拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质v6 6、时域积分、时域积分 ssFdtetfsdfesdedfsdtedfdfsttststtsttt)()(1)(1)(1)()(L00000000 证明：可推广到多重积分的情况LOGO第五章第五章 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复

23、频域分析信号与系统信号与系统41拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质v7 7、复频域微分与积分、复频域微分与积分 sstsxtsxtsdxxFttfdtettfdtdxetfdxdtetfdxxF)()()()()()()( :000积分证明LOGO第五章第五章 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析信号与系统信号与系统42拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质v8 8、对参变量的微分与积分、对参变量的微分与积分 LOGO第五章第五章 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析信号与系统信号与系统43拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质v8 8、对参变量的微分与积分、对参变量的微

24、分与积分)()()(8sFttetft求已知例222)(1)()(11)()()2()(11)()() 1 (ssFssttetessdsdttetfttt使用参变量微分性质：、使用微分性质：LOGO第五章第五章 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析信号与系统信号与系统44拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质v9 9、初值定理、初值定理 若函数f(t)存在导数f (t)，且f(t)F(s)， f(t)存在拉普拉斯变换00000( )( )(0 )( )( )( )( )(0 )( )(0 )(0 )lim( )(0 )ststststsdf tsF sfdtdf tdf tdf t

25、sF sfe dte dte dtdtdtdtdf tffe dtdtsF sf证明： 由时域微分性质即：两边求极限得LOGO第五章第五章 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析信号与系统信号与系统45拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质v9 9、初值定理、初值定理 如果f(t)在t=0处有冲激及其导数存在，则F(s) 为假分式，可分解为s的多项式与真分式之和)()(10sFsasaasFppp)(lim)0()0()0()()( )()()()()(10ssFffftfatatatfsFtfpspppppp的值，所以：不影响由于冲激函数及其导数则：设：LOGO第五章第五章 连续时间

26、系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析信号与系统信号与系统46拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质v1010、终值定理、终值定理 若函数f(t)及其导数f (t)存在拉普拉斯变换，F(s) 的极点都位于极点都位于s平面的左半平面平面的左半平面或在原点处有一在原点处有一个单极点个单极点。)()0()()0()(lim)0()(lim)()0()(0000ffffdtedttdffssFdtedttdffssFstssst上面已证明证明：LOGO第五章第五章 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析信号与系统信号与系统47拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质v例题例题 0)(lim)()

27、(lim)0()(1)()()0()(90ssFfsssFssfssFssFtfsssFssp平面的左半平面位于的极点为由于解：的初值和终值。求例LOGO第五章第五章 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析信号与系统信号与系统48拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质v例题例题 不存在。在虚轴上有共轭极点解：的初值和终值。求例，)()(1lim)(lim)0()()(100212022202fjssFssssFftfsssFssLOGO第五章第五章 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析信号与系统信号与系统49拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质v例题例题 例11 已知 求f

28、(t)的初值和终值6424125)(223ssssssFLOGO第五章第五章 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析信号与系统信号与系统50拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质v1111、卷积定理、卷积定理 例12 )(,)1()(2tfsesFs求LOGO第五章第五章 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析信号与系统信号与系统51拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质v总结总结LOGO第五章第五章 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析信号与系统信号与系统52拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质v总结总结LOGO第五章第五章 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的

29、复频域分析信号与系统信号与系统53拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质v练习练习9ln)()4()1()3()1 (1)2(4)1(2)1 (222)1(sssFseessesssLOGO第五章第五章 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析信号与系统信号与系统54 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换v拉普拉斯反变换时与傅里叶反变换一样，我们主拉普拉斯反变换时与傅里叶反变换一样，我们主要也是依靠常用变换对，再结合性质和典型例子，要也是依靠常用变换对，再结合性质和典型例子，通过将通过将F(s)化成我们认识的变换对，然后直接写化成我们认识的变换对，然后直接写出原函数出原函数v方法方法 部分分式展

30、开法 围线积分法1LOGO第五章第五章 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析信号与系统信号与系统55拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换v1 1、部分分式展开法、部分分式展开法为实数为正整数banmasasasbsbsbsbsDsNsFnnnmmmm,)()()(01110111LOGO第五章第五章 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析信号与系统信号与系统56拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换v1 1、部分分式展开法、部分分式展开法)()3()(2311)(3112, 12122, 121)2)(1(12)()(2312)(12221121212teetfsssFsskssksssk

31、skssssFtfssssFttss解：求、例为真分式即且个单极点有)(,)()1 (21sFmnsssnsFnLOGO第五章第五章 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析信号与系统信号与系统57拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换v1 1、部分分式展开法、部分分式展开法 则应将F(s)化为多项式和真分式之和，而多项式的反变换为冲激函数及其导数，真分式则可用部分分式展开法求反变换为实数为正整数banmasasasbsbsbsbsDsNsFnnnmmmm,)()()(01110111为假分式即个单极点，但有)()()2(sFmnnsFLOGO第五章第五章 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的

32、复频域分析信号与系统信号与系统58拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换v1 1、部分分式展开法、部分分式展开法为假分式即个单极点，但有)()()2(sFmnnsF)(462918102)(2223tfssssssF求、例128124914424629181024622223232ssssssssssssss)()3(21)(2)( )(2312212)(22teetttfsssssFttLOGO第五章第五章 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析信号与系统信号与系统59拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换v 1 1、部分分式展开法、部分分式展开法(3)若F(s)分母中的二次式有一对共轭复根 则在部分

33、分式展开时应把它们作为整体来处理为实数为正整数banmasasasbsbsbsbsDsNsFnnnmmmm,)()()(01110111LOGO第五章第五章 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析信号与系统信号与系统60拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换v1 1、部分分式展开法、部分分式展开法(3)若F(s)分母中的二次式有一对共轭复根21)(52)(32, 12jstfssssF极点解：求、例222222) 1(2212) 1(14) 1()(ssssssF)()2sin212(cos)(tttetftLOGO第五章第五章 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析信号与系统信号与

34、系统61拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换v1 1、部分分式展开法、部分分式展开法(3)若F(s)分母中的二次式有一对共轭复根010120120122,31)()()3)(1(2)(4bbaasbsbsasasFtfssssF用待定系数法确定解：求、例应为一次式。其中或)(),(3)(1)()(212221sksksskssksFLOGO第五章第五章 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析信号与系统信号与系统62拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换v1 1、部分分式展开法、部分分式展开法(3)若F(s)分母中的二次式有一对共轭复根)()3sin313cos21sincos21()(33313211

35、112131211121)(12112)() 3()(12132)() 1()(22222232322121212222ttttttfsssssssssssFssssFsskssssFsskssss)()3)(1(2)(422tfssssF求、例LOGO第五章第五章 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析信号与系统信号与系统63拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换v1 1、部分分式展开法、部分分式展开法(3)若F(s)分母中的二次式有一对共轭复根2143313)(1145213)(52)(3)()()()52)(3(13)(504)1(05222204)1(2)1(0322122212222

36、222sssssksssssskssskssksFtfsssssFssssss解：求、例LOGO第五章第五章 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析信号与系统信号与系统64拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换v1 1、部分分式展开法、部分分式展开法(3)若F(s)分母中的二次式有一对共轭复根4) 1(2234) 1(222222ssssssssssssF)()2sin232cos3sin313(cos)(ttetetttftt)()52)(3(13)(5222tfsssssF求、例LOGO第五章第五章 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析信号与系统信号与

37、系统65拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换v1 1、部分分式展开法、部分分式展开法(4)若F(s) 有一个p阶极点s1, n-p个单极点sp+1，. sn为实数为正整数banmasasasbsbsbsbsDsNsFnnnmmmm,)()()(01110111nnppiippppnpppssKssKssKssKssKssKsssssssssNsDsNsF1111111111111211)()()()()()()()()()(LOGO第五章第五章 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析信号与系统信号与系统66拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换v1 1、部分分式展开法、部分分式展开法(4)若F(s)

38、有一个p阶极点s1, n-p个单极点sp+1，. sn为实数为正整数banmasasasbsbsbsbsDsNsFnnnmmmm,)()()(011101111 )()()!(111sspipipisFssdsdipK其中：)()!1()(L111111tetiKssKtsiiii而：npitsitsipiiteKtetiKtfi1111)()()!1()(1LOGO第五章第五章 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析信号与系统信号与系统67拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换v1 1、部分分式展开法、部分分式展开法(4)若F(s) 有一个p阶极点s1, n-p个单极点sp+1，. sn)(

39、) 1(2)(63tfssssF求、例1) 1() 1()()(1, 0)(21222323121sKsKsKsKsFsssF三阶有四个极点：解：32,2) 1(2123031ssssKssK222)!23(112122sssssdsdKLOGO第五章第五章 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析信号与系统信号与系统68拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换v1 1、部分分式展开法、部分分式展开法(4)若F(s) 有一个p阶极点s1, n-p个单极点sp+1，. sn24212212)!13(1131212221sssssdsdssdsdK12) 1(2) 1(32)(23sssssF)(2)

40、2223()()!11 (2)!12(2)!13(32)(202tetttettttftt)() 1(2)(63tfssssF求、例LOGO第五章第五章 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析信号与系统信号与系统69拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换v2 2、围线积分法、围线积分法 复变函数中的围线积分 复变函数g(s)沿s平面中不经过极点的闭合路径c的积分(积分方向为反时针方向)可由g(s)在围线内极点上的留数来确定。 对照拉普拉斯反变换公式： niicsjdssg1Re2)(jjstdsesFjtf)(21)(LOGO第五章第五章 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析信号与

41、系统信号与系统70拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换v2 2、围线积分法、围线积分法 对照拉普拉斯反变换公式： 一个复变函数积分问题 被积函数F(s)est, 积分路径-j +j 不是围线. 补充一个半径为无穷大的半圆使它成为一个闭合路径，同时可以保证被积函数的所有极点在围线内。jjstdsesFjtf)(21)(LOGO第五章第五章 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析信号与系统信号与系统71拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换v2 2、围线积分法、围线积分法niiACBstBAstcstsdsesFjdsesFjdsesFj1Re)(21)(21)(21BAstjjstdsesFjdsesF

42、jtf)(21)(21)(显然niiACBststfdsesFj1Re)(0)(21那么若能证明复变函数的积分问题转化成求被积函数极点上留数的问题。LOGO第五章第五章 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析信号与系统信号与系统72拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换v2 2、围线积分法、围线积分法 复变函数中的约当引理已经解决了这个问题，但要满足两个条件: 1、当 s =R时， F(s) 0 2、因子est中指数st的实部t应满足t 0 t， 0为某一常数。 必须有 1、 F(s)为真分式 2、 t 0 则 0 应取左半圆弧 （2）t0 应取右半圆弧单边拉普拉斯变换t总是大于0LOGO第五章第五章 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析信号与系统信号与系统73拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换v2 2、围线积分法、围线积分法总结 拉普拉斯变换中的被积函数为F(s)est，显然F(s)的极点就是F