八下相似三角形判定讲义

1、个性化教学辅导教案学科： 数学 任课教师： 授课时间：（本课题两课时）姓名 年级八性别 教学课题 相似三角形判定教学目标探究并掌握相似三角形的判定方法；运用相似三角形的判定定理及性质定理解决相关问题；培养学生逻辑思维能力；培养良好的学习习惯。重点难点重点：相似三角形的判定方法难点：相似三角形判定和性质的应用。课前检查作业完成情况：优 良 中 差 建议_课堂教学过程 1、 探究相似三角形的证明方法：1、在和中，如果，我们就说和相似，记作，就是它们的相似比(注意：要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上).思考：在中,点是边的中点,，交于点，与有什么关系？2、 相似三角形其他判定方法探究：（1）定理

2、：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.小结：判定三角形相似的方法：(1)相似三角形的定义；(2)由平行线得相似.（2）两角对应相等的三角形相似。思考：对比三角形全等判定的简单方法()，看是否也有简便的方法？(3）相似三角形的判定定理：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.可简单说成：三边对应成比例，两三角形相似.(4）相似三角形的判定定理：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似 可简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.进一步引申：若，与是否相似呢？ 不一定问：全等中的边边角不能用，那么边边角也

3、不能证相似，反例同全等.例1.根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由：(1)，； ，.(2)，； ，.例2.要做两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边的长分别为4、5、6，另一个三角形的一边长为2，怎样选料可使这两个三角形相似？注：当两三角形相似而边不确定时，要注意分类讨论.二、三角形相似的判定的应用例3、已知：如图，在中，于点.(1)求证：；(2)求证：；(此结论称之为射影定理)(3)若，求 .(4)若 ，求 .例4、已知：，分别是两个三角形的角平分线.求证：.（总结：相似三角形的相关性质）三、经典例题：例5：（广东）如图，四边形ABCD是平行四边形，点F在BA的延长线上，连接

4、CF交AD于点E（1）求证：CDEFAE（2）当E是AD的中点且BC=2CD时，求证：F=BCF例6、如图，等腰直角三角形ABC中，顶点为C，MCN=45°，试说明BCMANC例7、在ABCD中，M，N为对角线BD的三等分点，连接AM交BC于E，连接EN并延长交AD于F（1）试说明AMDEMB；（2）求的值例8、如图，已知中，点在上，(与点不重合)，点在上.(1) 当的面积与四边形的面积相等时，求的长.(2)当的周长与四边形的周长相等时，求的长.(3)在上是否存在点，使得为等腰直角三角形？要不存在，请说明理由；若存在，请求出的长.强化训练，提高技能：一、填空题1、下列说法：所有的等腰

5、三角形都相似；所有的等边三角形都相似；所有等腰直角三角形都相似；所有的直角三角形都相似其中正确的是 (把你认为正确的说法的序号都填上)2、在ABC中，AB8，AC6，点D在AC上，且AD2，若要在AB上找一点E，使ADE与原三角形相似，那么AE 3、如图，在ABC中，点D在AB上，请再添一个适当的条件，使ADCACB，那么可添加的条件是 4题图5题图3题图4、在长 8cm，宽 4cm 的矩形上剪去一个矩形(阴影部分)使留下的矩形与矩形相似，那么留下的矩形的面积为cm25、如图，在直角坐标系中有两点A(4，0)、B(0，2)，如果点C在x轴上(C与A不重合)，当点C的坐标为 或 时，使得由点B、

6、O、C组成的三角形与AOB相似(至少写出两个满足条件的点的坐标)6、在平面直角坐标系xoy中，已知A(2，2)，B(0，2)，在坐标平面中确定点P，使AOP与AOB相似，则符合条件的点P共有 个7、如图，ABC中，DEFGBC，ADDFFB123，则S四边形DFGES四边形FBCG_7题图8题图9题图8、如图，在中，过AC上一点D作直线DE，交AB于E，使和相似，这样的直线可作_条 9、如图，电影胶片上每一个图片的规格为3.5 cm×3.5 cm，放映屏幕的规格为2 m×2 m，若放映机的光源S距胶片2 0 cm，那么光源S距屏幕 米时，放映的图象刚好布满整个屏幕11题图1

7、0、小伟在打网球时，击球点距离球网的水平距离是8米，已知网高是0.8米，要使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置，则球拍击球的高度h为 米11、(06湖州)为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据科学中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底(B)8.4米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE2.4米，观察者目高CD1.6米，则树(AB)的高度约为_米(精确到0.1米)14题图12题图AEBCFDM13题图12、已知ABC周长为1，连结ABC三边中点构成第

8、二个三角形，再连结第二个三角形三边中点构成第三个三角形，以此类推，第2006个三角形的周长为 13、如图在四边形ABCD中，AC90°，M为 BD上任一点，MEAB于E，MFCD于F，那么 14、如图，梯形ABCD中，且， ，则_，_ 15、雨后初晴，一学生在运动场上玩耍，从他前面远一块小积水处，他看到了旗杆顶端的倒影 如果旗杆底端到积水处的距离为，该生的眼部高度是，那么旗杆的高度是_m 16、(2006潍坊市)晚上，小亮走在大街上他发现：当他站在大街两边的路灯之间，并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时，自己右边的影子长为3米，左边的影子长为1.5米，又知自己身高1.80米

9、，两盏路灯的高相同，两盏路灯之间的距离为12米，则路灯的高为 二、选择题1(威海市，2001)如图，在正方形网络上有6个斜三角形：， 其中，中，与三角形相似的是( )A B C D2、如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是( ) A和 B和 C和 D和3、等腰三角形ABC和DEF相似，其相似比为3：4，则它们底边上对应高线的比为( )A、3：4 B、4：3 C、1：2 D、2：14已知两个相似多边形的一组对应边分别是15cm和23cm，它们的周长差40cm，则这两个三角形的周长分别是 ( )A75cm， 115cm B60cm， 100cm C85cm， 125cm D

10、45cm， 85cm5、用位似图形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心的位置可以选在( ) A 原图形的外部B 原图形的内部C 原图形的边上 D 任意位置6如图，ACBADC90°，BCa，ACb，ABc，要使ABCCAD， 只要CD等于 ( )9题A B C D8题7题6题7、在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点，若AEF90°，则一定有( )A ADEAEF B ECFAEF C ADEECF D AEFABF8、如图，E是平行四边形ABCD的边BC的延长线上的一点，连结AE交CD于F，则图中共有相似三角形( )A 1对 B 2对 C 3对 D 4对9、

11、如图，大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是S1、S2 ，那么S1、S2的大小关系是 (A) S1 > S2 (B) S1 S2 (C) S1<S2 (D) S1、S2 的大小关系不确定10、如图，P是RtABC的斜边BC上异于B、C的一点，过点P做直线截ABC，使截得的三角形与ABC相似，满足这样条件的直线共有( )A、 1条 B、 2条 C、 3条 D、 4条13题EBGCFDHA11题10题12题11、如图，这是圆桌正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射到桌面后在地面上形成(圆形)的示意图 已知桌面直径为1.2米，桌面离地面1米 若灯泡离地面3米，则地面上阴影部分的

12、面积为( )A、0.36米2 B、0.81米2 C、2米2 D、3.24米212、如图，ABCD中，EFAB，DEEA 23，EF 4，则CD的长( )A B8 C10 D16 13如图，E，G，F，H分别是矩形ABCD四条边上的点，EFGH，若AB2，BC3，则EFGH ( )A23 B32 C49 D无法确定14如图，H为ABCD中AD边上一点，且，AC和BH交于点K， 则( )A B C D15一个钢筋三角架三 长分别为20cm，50cm，60cm，现要再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为30cm和50cm的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根截下两段(允许有余料)作为另两边，

13、则不同的截法有( )A一种 B两种 C三种 D四种三、解答题1、在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点以格点连线为边的三角形叫做格点三角形如图，请你在4×4的方格纸中，画一个格点三角形A1B1C1，使A1B1C1与格点三角形ABC相似(相似比不为1) D C P A B2、如图，在直角梯形ABCD中，AB/CD，在AD上能否找到一点P，使三角形PAB和三角形PCD相似？若能，共有几个符合条件的点P？并求相应PD的长若不能，说明理由3如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DFAE于F (1)ABE与ADF相似吗？请说明理由(2)若AB6，AD12，BE8，求DF的长 4、(06苏州)如图，

14、梯形ABCD中ABCD且AB2CD， E，F分别是AB，BC的中点EF与BD相交于点M (1)求证：EDMFBM； (2)若DB9，求BM5、已知:如图，CE是RtABC的斜边AB上的高，BGAP 求证:CE2ED·EP6如图，在中，已知，于D，E为直角边AC的中点，过D，E作直线交AB的延长线于F 求证： DFBCEG7、如图，有一路灯杆AB(底部B不能直接到达)，在灯光下，小明在点D处测得自己的影长DF3m，沿BD方向到达点F处再测得自己得影长FG4m，如果小明得身高为1.6m，求路灯杆AB的高度ABCD8、如图:学校旗杆附近有一斜坡小明准备测量学校旗杆AB的高度，他发现当斜坡正

15、对着太阳时，旗杆AB的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，此时小明测得水平地面上的影长BC20米，斜坡坡面上的影长CD8米，太阳光线AD与水平地面成30°角，斜坡CD与水平地面BC成30°的角，求旗杆AB的高度(精确到1米)9在边长为2的菱形ABCD中，B45°，AE为BC边上的高，将ABE沿AE所在直线翻折得ABE，求ABE与四边形AECD重叠(阴影)部分的面积 10(北京市宣武区)如图，AB是等腰直角三角形ABC的斜边若点M在边AC上，点N在边BC上，沿直线MN将翻折，使点C落在AB上，设其落点为点P(1)当点P是边AB的中点时，求证：(2)当点P不是边AB的

16、中点时，是否仍然成立？请证明你的结论11、如图，ABC是一块锐角三角形余料，边BC120毫米，高AD80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？ABCQMDNPE12、如图，ABC是一块锐角三角形余料，边BC120mm， 高AD80mm， 要把它加工成矩形零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上，(1)若这个矩形是正方形，那么边长是多少？(2)若这个矩形的长是宽的2倍，则边长是多少？13、一块直角三角形木板的一条直角边AB长为米，面积为平方米，要把它加工成一个面积最大的正方形桌面 甲、乙两位同学的加工方法分

17、别如图(左)，图(右)所示 请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法符合要求 (加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留) 14、已知：如图1，ABBD，CDBD，垂足分别为B、D，AD和BC相交于点E，EFBD，垂足为F，我们可以证明成立(不要求考生证明)若将图1中的垂线改为斜交，如图2，ABCD，AD，BC相交于点E，过点E作EFAB，交BD于点F，则：1 还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；2 请找出SABD，SBED和SBDC间的关系式，并给出证明图222图115两根电线杆相距，分别在高的A处和的C处用钢索将两杆固定(下图)，求钢索AD与钢索BC的交点M处离地面的高度

18、MH ABCD16、有人猜想三角形内角平分线有这样一个性质:如图，在ABC中，AD平分BAC，则如果你认为这个猜想是正确的，请写出一个完整的推理过程说明这个猜想的正确性； 如果你认为这个猜想不正确，也请说明理由 17、已知：如图，中，AD是角平分线，求：BD的长18、如图，梯形ABCD中，ADBC，E、F分别在AB、CD上，且EFBC，EF分别交BD、AC于M、N(1)求证：MENF；(2)当EF向上平移至各个位置时，其他条件不变，(1)的结论是否还成立？请分别证明你的判断MMNEMBCFDANEBCFDANEBCFDA(N)MEBCFDA19已知：如图，在矩形中，为的中点，交于，连结()(1

19、)与是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由。(2)设，是否存在这样的值，使得与相似？若存在，证明你的结论并求出 值；若不存在，说明理由20、如图，在ABC中，BABC20cm，AC30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x(1)当x为何值时，PQBC？(2)当，求的值；21、如图，在ABC中，DEFGBC，GIEFAB，若ADE、EFG、GIC的面积分别为20cm2、45cm2、80cm2，求ABC的面积22如图，在矩形中，厘米，厘米，点沿边从点开始向点以2厘米/秒的速度移动；点沿边向点A

20、以1厘米/秒的速度移动，如果，同时出发，用(秒)表示移动的时间()，那么：(1)当为何值时，为等腰直角三角形？(2)试说明四边形的面积始终保持不变(3)当为何值时，以点，为顶点的三角形与相似？23如图，已知中， 求证： 24、如图，中，点D、E分别在AB、AC上，求的值 25如图，AB是等腰直角的斜边，P是AB上不与A，B重合的一个动点，S是线段CP上的一个点，MN过S且，MN分别与AC，BC相交于点M，N (1)观察与填空：如图(2)，当P点运动到AB的中点位置时，AP与BP的大小关系是_；CP与AB的位置关系是_；MN与AB的位置关系是_；CM与CN的大小关系是_于是，当P是AB的中点时，

21、(2)探索证明：如图(1)、(3)所示，当P不是AB的中点时，是否仍然成立？请加以证明26、如图，平面直角坐标系中，直线AB与轴，轴分别交于A(3，0)，B(0，)两点， ，点C为线段AB上的一动点，过点C作CD轴于点D(1)求直线AB的解析式；(2)若S梯形OBCD，求点C的坐标；(3)在第一象限内是否存在点P，使得以P，O，B为顶点的三角形与OBA相似若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由27(2007长沙)如图，中，为上一动点(不与重合)，作于，的延长线交于点，设，的面积为(1)求证：；(2)求用表示的函数表达式，并写出的取值范围；(3)当运动到何处时，有最大值，最

22、大值为多少？图1428、(2007德州)已知：如图14，在中，为边上一点，(1)试说明：和都是等腰三角形；(2)若，求的值；(3)请你构造一个等腰梯形，使得该梯形连同它的两条对角线得到8个等腰三角形(标明各角的度数)29、(2007岳阳)已知：等腰RtABC中，A90°，如图81，E为AB上任意一点，以CE为斜边作等腰RtCDE，连结AD，则有ADBC，(1)若将等腰RtABC改为正ABC，如图82所示，E为AB边上任一点，CDE为正三角形，连结AD，上述结论还成立吗？答 (成立 或者AD/BC)(2)若ABC为任意等腰三角形，ABAC，如图83，E为AB上任一点，DECABC，连结AD，请问AD与BC的位置关系怎样？答： (3)请你在上述3个结论中，任选一个结论进行证明30、(2007黄冈)已知：如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是菱形，且AOC60°，点B的坐标是，点P从点C开始以每秒1个单位长度的速度在线段CB上向点B移动，设秒后，直线PQ交OBBACDPOQxy于点D(1)求AOB的度数及线段OA的长；(2)求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；(3)当时，求t的值