数值分析：8-3Runge-Kutta方法

1、 8.3 Runge-Kutta法法第八章第八章 常微分方程数值解常微分方程数值解 8.3 Runge-Kutta法法1(,)kkkkyyhf xy111 (,)(,)2kkkkkkhyyf xyf xy考虑改进Euler法如果将其改成1(,)kkKf xy211(,)kkKf xyhK112()2kkhyyKK-(1)改进Euler法是由梯形公式和Euler公式复合而成梯形公式具有2阶精度形如(1)式的求解公式称为二阶二阶Runge-Kutta法法同样可以证明,改进Euler法也具有2阶精度011( , ),( )kkkkyf x yaxby ayyyxxh 对于微分方程初值问题如已知需要求

2、，1101()()(),()(), ()kkkkkkky xy xy xhhy xy xhf xh y xh则由微分中值定理 可得1, (),(,)kkkkkkkkfxh y xhxxf xxxyyyy其中为在区间上的平均斜率。为在 点上的斜率的近似( )基本思路基本思路0121( )(,)(,)(,),()kkkkkkkkkkkyy ayyhf xyxyyf xyxxO h 在欧拉公式中仅用一个点处的斜率来近似代替区间上的平均斜率，局部截断误差为。1211112(,)(,)()2kkkkkkKf xyKf xyhKhyyKK改进的欧拉公式 在 中1111131(,)(,)(,)(,),()k

3、kkkkkkkkkkkxyyf xyxyhKyf xyhKxxO h 则是用点处的斜率和由此点处信息预估的点处的斜率的算术平均值来近似代替区间上的平均斜率，局部截断误差为。 所以如果在区间上多预估几个点的斜率值，再将它们的线性组合作为平均斜率的近似值，则就有可能构造出精度更高的计算格式。推广1(, )kkkkyyhxy h( , )f x y其中 是用在一些点上值的线性组合来构成这种单步法称为Runge-Kutta方法,简记为简记为R-K公式公式.,Runge-Kutta.RRf若 是由 个 值线性组合构成 则称线性方法级以2级二阶Runge-Kutta方法（8.3.2）为例加以说明二阶二阶R

4、unge-Kutta公式公式12111122(,)(+,)()kkkkkkKf xyKf xph yphKyyhKK二元Taylor展开-P5使用工具：Taylor展开三阶三阶Runge-KuttaRunge-Kutta公式公式14,()kkhxxO若在区间上再增加一个新点，即用三个点上的斜率进行加权平均作为平均斜率，则可望得到截断误差为的计算公式，1123123121321112233,(,)(,)(,)()1,1kkkkkkkkkkkkkxxph xqhxxKKKKf xyKf xph yphKKf xqh yqhKyyhKKKpq 预估预估其中为区间上的三个点；00； 是三个斜率的线性组

5、合系数。即三阶龙格三阶龙格- -库塔公式库塔公式4112-()pqhO如果取中点和终点的斜率，则可得到一三阶种局部截断误差为龙格的库塔公式121321123123(,)(,)22(,)(4)6141,666kkkkkkkkKf xyhhKf xyKKf xh yhKhyyKKK即三阶龙格三阶龙格- -库塔公式库塔公式12132113123(,)(,)3322(,)33(3)413,0,44kkkkkkkkKf xyhhKf xyKKf xh yhKhyyKK即4-1233()pqO h如果取任意两点，如和终点的斜率，则可得到另一种局部截断误差为的三阶龙格 库塔公式四阶龙格四阶龙格- -库塔公式

6、库塔公式151,12-()kkpOqhxx:若在区间上仍取三个点 （，），但在中点处又校正，则可望得到局部截断四阶经典龙格 库塔公误差为的计式算公式，121324311234/(,)(,)22(,)22(,)(22)6kkkkkkkkkkKf xyhhKf xyKhhKf xyKKf xh yhKhyyKKKK即(RK4)多校正一次构造一般的R级Runge-Kutta方法12221111,1111122(,)(,)()(,)()kkkkRkRkRR RRkkRRKf xyKf xp h yq hKRKKf xp h yq hKqhKyyhKKK,Tayloriiisp q其中等均为待定的参数,

7、 根据展开并由期望的阶数确定, 且一般不唯一.Runge-kutta方法的阶与级的关系方法的阶与级的关系 在Runge-kutta计算格式(RK)中.计算函数值 f 的次数 R 称为级级, 级数与阶数是不同的, 可以证明R级Runge-kutta公式的最高阶数是 R . 通常所说的 R 级 m 阶Runge-kutta公式指要计算 R个f(x,y)的函数值, 且对应的计算公式是 m 阶的.Butcher得出如下Runge-kutta方法的级数级数R与阶数阶数m的对应关系:因此, 通常使用4级4阶Runge-kutta公式(RK4).()fR每步计算 的个数级数 2 3 4 5 6 7 R8 2 3 4 4 5 6 R-2 可达到的最高精度阶数 应当注意，高阶应当注意，高阶R-K公式的推导是基于初公式的推导是基于初值问题的解值问题的解y(x)的的Taylor展开，因而要求展开，因而要求y(x)具具有较好的光滑性。有较好的