第一章行列式与矩阵

1、 苏州市职业大学教师备课纸 第38 页工程数学教案第一章 行列式与矩阵一、教学目标与基本要求：1 掌握n阶行列式的定义和行列式的性质。2 掌握n阶行列式按行或列展开定理。3 利用行列式的性质和展开定理计算n阶行列式。4 掌握矩阵的定义及矩阵的加减、数乘及矩阵的乘法。5 掌握矩阵转置、对称及反对称矩阵、矩阵的行列式。6 了解分块矩阵的定义及其运算规律。7 掌握逆阵的定义及求法。8 了解初等变换和初等矩阵的概念，会利用初等变换求矩阵的逆矩阵。二、教学内容及学时分配： 1、教学内容11 行列式 12 矩阵 13 矩阵的运算 14 几类特殊的矩阵15 矩阵的初等变换16 逆矩阵 2、学时分配：22学时

2、三、本章教学内容的重点和难点：1、本章重点：（1）、n阶行列式的概念和性质。（2）、利用行列式的性质和按行（列）展开定理计算行列式。（3）、矩阵的概念及其运算。（4）、矩阵的初等变换与矩阵的标准型。（5）、矩阵秩的概念及其求法。（6）、逆矩阵的概念及其求法。（7）、矩阵方程的求解。2、本章难点：1n阶行列式的计算方法的掌握。2逆矩阵的性质及相关问题的证明。四、本章教学内容的深化和拓宽1n阶行列式的计算方法。2方阵的高次幂运算五、教学过程中应注意的问题1、 行列式中某一项的正负号的确定。2、 代数余子式的重要性质的应用。3、 一般情况下ABBA，即矩阵乘法不满足交换律。4、 特殊矩阵的性质与初等

3、方程的作用。5、 分块矩阵的运算性质须满足相应的分块原则。六、本章的习题和思考题1、 习题：1（1）（2）（3）（4）（5）（7）（8），2，3（1）（2），4，5（1）（3）（4），6，7，8，9（1），（3），（5），（7），10，11，12，17，18，19，20（1），（3），（5），（7），21，22，23，24，272、 思考题：1（6），3（3），5（2），9（2），（4），（6），（8），13，14，25，26，28，29。习题课一：1、 讲评第一章的作业。2、 讲评第一章的部分思考题。§1 行列式与矩阵1.1 行列式与矩阵1.1.1 行列式的概念1）二阶与三阶行列式

4、设二元线性方程组 用消元法解得 令 称为二阶行列式 则 上述二阶行列式的定义，可用对角线法则来记忆（图1.1）。把到的实连线称为主对角线，到的虚连线称为副对角线，那么，二阶行列式的值便是主对角线上的两元素之积减去副对角线上两元素之积所得的差。 图1.1例如：。设三元线性方程组用消元法解得 令 称为三阶行列式 则 三阶行列式的计算式共有六项，其中三项带“”号，三项带“”号，每项都是位于不同行、不同列的三个元素的乘积。同样用对角线法则来记忆，把构成每一项的三个元素分别用实线和虚线按图1.2所示的方式连接起来，称到再到的实连线为主对角线，到再到的虚连线称为副对角线，用实线连接的三个元素之积带“”号，

5、用虚线连接的三个元素之积带“”号。例如：。我们把三阶行列式记作，并将其计算式整理为： 图1.2 根据二阶行列式的定义，这里，分别与、相乘的三个二阶行列式是在中分别划去、所在的行和列后剩下的元素保持原有相对位置所组成的。例 计算三阶行列式。解 。2） 阶行列式n 阶行列式的定义 设有个数排成行列的数表，称 为阶行列式，简记作。阶行列式代表的是一个数值。特别地，我们规定一阶行列式：。为了探讨阶行列式代表的数值如何计算得到，参照三阶行列式的计算式，先给出如下定义：定义 在阶行列式中，把元素所在的第行和第列划去后，剩下的个元素保持原有相对位置所组成的阶行列式叫做元素的余子式，记作,而把叫做元素的代数余

6、子式，记作，即，这里的幂指数是元素的两个下标之和。例如：四阶行列式中元素的余子式为，代数余子式为.阶行列式等于任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即；或。若行列式等于它的第行（或第列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，我们就称行列式按第行（或第列）展开。 例如： 有4阶行列式=，将其按第行展开，可得=；将其按第列展开，可得= 。1.1.2 行列式的性质转置行列式的定义 设 称 为 的转置矩阵。 性质 1  行列式与它的转置行列式相等。 性质 2  行列式互换两行（列），行列式变号。      

7、0; 推论   行列式有两行（列）相同，则此行列式为零。 性质 3  行列式的某一行（列）的所有元素乘以数 ，等于用数 乘以该行列式。        推论   行列式的某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号外。 性质 4  行列式中有两行（列）的元素对应成比例，则此行列式为零。 性质 5  若行列式中某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和。 即若 则 性质 6  把行列式某一行（列）的元素乘以数 再加到另一行（列）上，则该行列式不变。 性质 7

8、行列式某行（列）各元素与另一行（列）相应元素的代数余子式乘积之和为零，即（或）。例   计算 解：  。 例   计算 解：   1.1.3 行列式的计算行列式的计算有多种方法，下面我们举例加以说明。例 计算4阶行列式：=。解一 利用行列式的性质将它化为上三角形行列式，然后求解。把行列式化为上三角形行列式的一般步骤：把变为，这可以通过行或列的交换，也可以将第行乘以来实现，但要注意的是尽量避免出现分数，以免给后面的计算增加麻烦；把第行的元素分别乘以加到第 行对应元素上去，这样就把第列中以下的元素化为零了；用类似的方法依次把主对角线元素以下的元素全部化为零。

9、这样行列式就化成上三角形行列式了。解二 将行列式按某行（列）展开。，这里第列只有一个不为零的元素，将行列式按此列展开，易得，将此三阶行列式按第行展开，得 。利用行列式的展开计算行列式的值时，通常先选择比较简单的一行（列）（元素中和较多或元素之间成倍数关系即可考虑为较简单），用行列式的性质5尽量多地将这一行（列）中的元素化为零，然后，按这一行（列）展开。由于选择的多样性，一个行列式往往有几种解法。例 计算4阶行列式：=。解一 在这个行列式中，各行（列）的元素之和相等，若把后面三列（行）的元素都加到第列（行）上，则第列（行）上的元素是相等的，这样再把它化为上三角形行列式就比较简单了。解二 行列式中

10、的元素不是就是，如果，那么行列式的值就是零了，不过一般来讲，但。于是根据性质4，此行列式应等于个行列式的和，但由于这些行列式中若有两列元素都是，该行列式就等于零，于是，个行列式中只有个不等于零，所以1.1.4 克拉默法则定理（克拉默法则） 设线性方程组 的系数行列式 则上述线性方程组有唯一解： ，其中 证明略当 全为零时，即 称之为齐次线性方程组。显然，齐次线性方程组必定有解（ ）。 根据克拉默法则，有 1   齐次线性方程组的系数行列式 时，则它只有零解（没有非零解） 2 反之，齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式 例 解线性方程组。解 注意方程中缺少的未知数其系数为零，有系数

11、行列又 ， ， ，所以，根据克莱姆法则，方程组的解为，。 例 已知 有非零解, 求. 解 , 故或.1.2 矩阵称 行、 列的数表 为 矩阵 ，或简称为矩阵；表示为 或简记为 或 或 ；其中 表示 中第 行，第 列的元素。 注： 第一章中行列式 为按行列式的运算规则所得到的一个数，而 矩阵是 个数的整体，不对这些数作运算。 例如，公司的统计报表，学生成绩登记表等，都可写出相应的矩阵。 设 都是 矩阵，当             则称矩阵 与 相等，记成 。 阶方阵 ： 矩阵 行矩阵 ： 矩阵（以

12、后又可叫做行向量），记为 列矩阵 ： 矩阵（以后又可叫做列向量），记为 零矩阵 ：所有元素为 0 的矩阵，记为 1.3 矩阵的运算1.3.1 矩阵的加法 设 ， 都是 矩阵，则 加法 定义为 显然， ， 1.3.2 数与矩阵的乘法       设 是数， 是 矩阵，则 数乘 定义为       显然 ， ， 把数和矩阵的乘积叫做矩阵的负矩阵，记作。于是有，称矩阵与矩阵的负矩阵的和为与的差，记作，即。矩阵的加法和数乘统称为矩阵的线性运算。例 设，求。解 +。例 已知矩阵，若矩阵满足关系式

13、，求。解 由于，所以。1.3.3 矩阵与矩阵相乘乘法运算比较复杂，首先看一个例子 例 假如有一、二两个工厂某年生产甲、乙、丙三种产品的数量（单位：万件）分别为和。它们可表示为矩阵。上述三种产品的单价分别为每万件万元，纯利润分别为每万件万元，表示为矩阵。假设生产的产品全部售出，那么全年这两个工厂的总收入可由下列算式给出：一厂为（万元）；二厂为（万元）。其总的纯利润可用下列算式给出：一厂为（万元）；二厂为（万元）。若总收入、纯利润用矩阵（第一列为总收入，第二列为纯利润）表示，则。考察和、可以看出，矩阵的第行第列元素恰是矩阵的第行元素与矩阵的第列对应元素乘积之和，譬如，的第行第列元素是矩阵的第行元素

14、与矩阵的第列对应元素的乘积之和。下面根据这个规律，给出矩阵与矩阵相乘的定义，它不同于矩阵加法的对对应元素作相应加法运算的规则。       设 ， ，则乘法定义为 其中 ，   注 ：两个矩阵相乘要求前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数；乘积矩阵的行数为前一个矩阵的行数，列数为后一个矩阵的列数；乘积矩阵的第 行，第 列元素为前一个矩阵的第 行元素与后一个矩阵的第 行元素对应相乘再相加。 例 ：设 ， ，则 一个必须注意的问题 ： 1   若 ， ，则 成立，当 时， 不成立； 2   即使 ，

15、，则 是 阶方阵，而 是 阶方阵； 3   如果 ， 都是 阶方阵，例如 ， ，则 ，而 ； 综上所述，一般 （即矩阵乘法不满足交换率）。 但是下列性质显然成立： ， ， ， 几个运算结果： 1 2 3 若 为 矩阵， 是 阶单位阵，则 ；若 是 阶单位阵，则 。 4   线性方程组的矩阵表示： ， ， ， 则 1.3.4 矩阵的转置设 ，记 则称 是 的转置矩阵。 显然， ， ， ， 对称矩阵的定义：若矩阵 满足 （即 ），则称 是对称阵 例 已知，求。解一 由例15, ，所以。解二 。根据矩阵乘法的定义，我们规定阶方阵的正整数次幂如下：，其中为正整数由矩阵乘法的运算规律

16、，方阵的幂满足：； (为正整数)但 例 设矩阵，求。解 。1.4 几 类 特 殊 的 矩 阵 1.4.1 对角矩阵除主对角线之外其他元素都是零的方阵称为对角矩阵。例如：为阶对角矩阵。同阶对角矩阵是可交换的，其和、差、数乘、积仍然是对角矩阵。例 已知，求，。解 ，。主对角线上的元素都是相同常数的对角矩阵称为数量矩阵。例如：为阶数量矩阵。1.4.4 三角形矩阵每一列中位于主角线元素下方（或上方）的元素都为零的方阵称为上（或下）三角矩阵。例如：为上三角矩阵。上（下）三角矩阵的和、差、数乘、积仍是上（下）三角矩阵。例 已知，求。解 。1.4.5 对称矩阵若阶方阵与它的转置矩阵相等，即，则称为对称矩阵。

17、例如：。显然，对称矩阵一定是方阵且对任意有。对称矩阵的特点是，它的元素关于主对角线是对称的。对角矩阵、数量矩阵和单位矩阵都是对称矩阵。若阶方阵与它的转置矩阵相反，即，则称为反对称矩阵。例如：。显然，对称矩阵一定是方阵且对任意有。1.4.6 分块矩阵例   设 可按以下方式分块，每块均为小矩阵： ， ， ， 则 矩阵分块法是用若干条横线和若干条竖线将矩阵分割成几个小矩阵。 矩阵分块法的运算性质： 1   加法： 设 ， ， 则 。 2   数乘： 设 ， 是数，则 。 3   乘法： 设 ， ，则 其中 ， ， ， 。 4   转置： 设 ，则

18、。 5 对角分块的性质：        设 ，其中 均为方阵，则 。        若 可逆，则 。 例   。求 。 解   设 ， ，则        ， ，则 。 例   设 ， 为可逆方阵，求 解   设 ，则由 得 ，其中 ， 按乘法规则，得 解得： ， ， ， 故 。 几个矩阵分块的应用： 1   矩阵按行分块： 设 ，记 ， 则 矩阵按列分块： 记 ，

19、则 。 2   线性方程组的表示： 设 若记 ， ， 则线性方程组可表示为 。 若记 ，则线性方程组可表示为 或 。 若记 ，则线性方程组可表示为 或 。 3   矩阵相乘的表示： 设 ， ，则 。 设 ， ，则 ，其中 是 矩阵， 是 ， 是 。 4   对角阵与矩阵相乘： ， 1.5 矩阵的初等变换1.5.1 矩阵的初等变换 定义   下面三种变换称为矩阵的初等行变换： 1   互换两行（记 ）； 2   以数 乘以某一行（记 ）； 3   把某一行的 倍加到另一行上（记 ）。 若将定义中的“行”换成“列”，则称之为初等

20、列变换，初等行变换和初等列变换统称为初等变换。 对 矩阵 ，总能经若干次初等行变换和初等列变换变成如下形式     ，  （称之为标准形）1.5.2 初等矩阵 定义   单位阵 经一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵，有如下形式： 1 2 3 上述 就是三种初等矩阵。 定理 设 为 矩阵，对 作一次初等行变换，相当于 左乘以一个相应的初等矩阵，对 作一次初等列变换，相当于 右乘以一个相应的初等矩阵，即       1 ， ；      &

21、#160;     2 ， ；            3 ， 。 所有初等矩阵均为可逆矩阵，并且其逆阵也是初等矩阵： ， ， 定理 设 是可逆方阵，则存在有限个初等矩阵 ，使得 证： 可逆，则 经有限次初等变换可变成单位阵 ，即 ，同样 ，即单位阵 经有限次初等变换也可变成 ，所以存在有限个初等矩阵 和 ，使得 即 推论 矩阵 存在 阶可逆阵 和 阶可逆阵 ，使得 。 1.5.3 矩阵的秩定义  在 矩阵 中，任取 行 列的元素，按原排列组成的

22、阶行列式，称之为 的 阶子式。       若 矩阵 中有一个 阶子式 ，并且所有的 阶子式全为零，则称 为 的最高阶非零子式， 称为 的秩，记 。 例  在 中，一个2 阶子式 ，所有3 阶子式均为零： ， ， ， 故 。 特别，当 阶方阵 的行列式 ，则 ；反之，当 阶方阵 的秩 ，则 。因此 阶方阵可逆的充分必要条件是 （满秩）。 利用定义求矩阵的秩需检查多个子式的值，十分不便，下面，我们利用矩阵的初等行变换来求矩阵的秩。定理 行阶梯形矩阵的秩就是它的非零行的行数。定理 矩阵的初等行变换不改变矩阵的秩。由上述定理可知，要求矩阵的

23、秩，只要先把该矩阵用初等行变换化为行阶梯形矩阵，那么，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是所求矩阵的秩。例 设矩阵，求。解 ，所以，。例  求 的秩，以及一个最高阶非零子式。 解  用初等行变换化 为行阶梯形矩阵：所以， ， 是 的一个最高阶非零子式1.6 逆矩阵1.6.1 方阵的行列式 为 阶方阵，其元素构成的 阶行列式称为方阵的行列式，记为 或 。 显然， ， ， 。 例 若，求、和。解 ，又，所以，。1.6.2 逆矩阵的定义设 为 阶方阵，若有同阶方阵 使得 则称 是可逆的， 为 的逆阵， 可以证明，如果 是可逆的，则 的逆阵是唯一的，并记 的逆阵为 ，从而上式可写成 例： ，