电磁场与电磁波理论第7章

1、7-1第第7章章 均匀波导中的导行电磁波均匀波导中的导行电磁波I基本要求基本要求I传输线的基本概念传输线的基本概念I7.1 导行电磁波的一般分析方法导行电磁波的一般分析方法I7.2 矩形波导中的导行电磁波矩形波导中的导行电磁波I7.3 圆形波导中的导行电磁波圆形波导中的导行电磁波I7.4 传输功率与传输损耗传输功率与传输损耗I7.5 同轴线中的导行电磁波同轴线中的导行电磁波I7.6 光导纤维中的导行电磁波光导纤维中的导行电磁波I主要内容主要内容7-2主要内容主要内容7-37-4 常见的传输线的常见的传输线的平行双线、同轴线、微带线、波导管、平行双线、同轴线、微带线、波导管、介质棒等等。介质棒等

2、等。传输线的基本概念传输线的基本概念7-5 传输线（波导）传输线（波导）用来引导电磁波做定向传播的一种导用来引导电磁波做定向传播的一种导波结构。波结构。 导行电磁波（导波）导行电磁波（导波）在传输线引导下做定向传播的电在传输线引导下做定向传播的电磁波。磁波。 均匀波导（规则波导）均匀波导（规则波导）横截面的形状和尺寸以及所用横截面的形状和尺寸以及所用导体和介质的特性沿纵向都是不变的无限长的直波导。导体和介质的特性沿纵向都是不变的无限长的直波导。 研究导行电磁波在波导中的传播，就是求解电磁波在波导研究导行电磁波在波导中的传播，就是求解电磁波在波导横截面上的分布规律及其沿轴向的传播特性。横截面上的

3、分布规律及其沿轴向的传播特性。 导行电磁波的一般分析方法导行电磁波的一般分析方法纵向场法。纵向场法。传输线的基本概念传输线的基本概念7-67.1 导行电磁波的一般分析方法导行电磁波的一般分析方法I7.1.1 横向场和纵向场的亥姆霍兹方程横向场和纵向场的亥姆霍兹方程I7.1.2 用纵向场表示的横向场用纵向场表示的横向场I7.1.3 传播模式及其传播特性传播模式及其传播特性 纵向场法纵向场法先求解其导行电磁波的纵向场分量所满足的先求解其导行电磁波的纵向场分量所满足的亥姆霍兹方程得到纵向场分量，然后利用麦克斯韦方程直亥姆霍兹方程得到纵向场分量，然后利用麦克斯韦方程直接由纵向场导出其它的横向场分量。接

4、由纵向场导出其它的横向场分量。7-77.1.1 横向场和纵向场的亥姆霍兹方程横向场和纵向场的亥姆霍兹方程I广义柱坐标系广义柱坐标系I四点假设四点假设I纵向场和横向场的导波方程纵向场和横向场的导波方程7-8广义柱坐标系广义柱坐标系 广义柱坐标系广义柱坐标系 只有只有 轴是直线，而轴是直线，而 是垂直是垂直于于 轴的两组相互正交的曲线。例如：圆柱坐标系，抛物柱轴的两组相互正交的曲线。例如：圆柱坐标系，抛物柱坐标系，椭圆柱坐标系，直角坐标系是一种特殊的柱坐标系。坐标系，椭圆柱坐标系，直角坐标系是一种特殊的柱坐标系。7-9 广义柱坐标系中的哈密顿算子和拉普拉斯算子广义柱坐标系中的哈密顿算子和拉普拉斯算

5、子 哈密顿算子哈密顿算子 拉普拉斯算子拉普拉斯算子 在直角坐标系中在直角坐标系中 在圆柱坐标系中在圆柱坐标系中横向（二维）横向（二维） 哈密顿算子哈密顿算子横向（二维）横向（二维） 拉普拉斯算子拉普拉斯算子广义柱坐标系广义柱坐标系 7-10（1）波导内填充线性各向同性的理想介质，即波导内填充线性各向同性的理想介质，即（2）波导壁是理想导体，即波导壁是理想导体，即（3）远离波源的时谐场，即无源区的电磁场，电场和磁场均远离波源的时谐场，即无源区的电磁场，电场和磁场均满足亥姆霍兹方程，即满足亥姆霍兹方程，即（7.1.2）四点假设四点假设（7.1.1）7-11（4）波沿波沿 方向传播，即方向传播，即

6、其中其中 和和 分别表示电场和磁场在波导横截面上分别表示电场和磁场在波导横截面上的分布，而传播常数的分布，而传播常数（7.1.4）（7.1.3）四点假设四点假设7-12 导行电磁波沿着广义柱坐标系的导行电磁波沿着广义柱坐标系的 方向（纵向）传播时方向（纵向）传播时的哈密顿算子和拉普拉斯算子的哈密顿算子和拉普拉斯算子纵向场和横向场的导波方程纵向场和横向场的导波方程7-13（7.1.11） 导行电磁波的纵向场和横向场导行电磁波的纵向场和横向场（7.1.12）导行电磁波的纵向场导行电磁波的纵向场导行电磁波的横向场导行电磁波的横向场 将（将（7.1.11）式和（）式和（7.1.12）式代入两个亥姆霍兹

7、方程，结合）式代入两个亥姆霍兹方程，结合广义柱坐标系的哈密顿算子和拉普拉斯算子就可以直接得到广义柱坐标系的哈密顿算子和拉普拉斯算子就可以直接得到纵向场和横向场所满足偏微分方程纵向场和横向场所满足偏微分方程导波方程。导波方程。纵向场和横向场的导波方程纵向场和横向场的导波方程7-14（7.1.13-14） 纵向场导波方程纵向场导波方程二阶标量偏微分方程二阶标量偏微分方程（7.1.15-16） 横向场导波方程横向场导波方程二阶矢量偏微分方程二阶矢量偏微分方程 其中其中 一旦给定波导横截面的形状和尺寸，求解（一旦给定波导横截面的形状和尺寸，求解（7.1.13）式和）式和（7.1.14）式就可以得到导行

8、电磁波的两个纵向场以及）式就可以得到导行电磁波的两个纵向场以及 。 横向场可以直接由纵向场推出，而不要求解矢量偏微分方程。横向场可以直接由纵向场推出，而不要求解矢量偏微分方程。纵向场和横向场的导波方程纵向场和横向场的导波方程7-157.1.2 用纵向场表示的横向场用纵向场表示的横向场 当波导中的纵向场不为零时，其横向场可以利用两个麦克斯当波导中的纵向场不为零时，其横向场可以利用两个麦克斯韦旋度方程以及矢量恒等式直接由纵向场推出，而不必求解韦旋度方程以及矢量恒等式直接由纵向场推出，而不必求解横向场的矢量导波方程。横向场的矢量导波方程。 横向场与纵向场的关系为横向场与纵向场的关系为（7.1.25）

9、（7.1.26） 若解出纵向场若解出纵向场 以及以及 后，就可以由后，就可以由（7.1.25）式和（）式和（7.1.26）式直接求出其余的横向场分量了。）式直接求出其余的横向场分量了。7-167.1.3 传播模式及其传播特性传播模式及其传播特性I传播模式以及传播模式的分类传播模式以及传播模式的分类I1. TEM模及其存在条件模及其存在条件I2. TE模和模和TM模的传播条件和传播特性模的传播条件和传播特性7-17传播模式以及传播模式的分类传播模式以及传播模式的分类 模式（模、波、波型）模式（模、波、波型）能够在波导中单独存在（满足波能够在波导中单独存在（满足波导内的场方程和所有的边界条件）的电

10、磁场分布或结构。导内的场方程和所有的边界条件）的电磁场分布或结构。 传播模式的分类传播模式的分类7-18 TEM模模纵向场分量纵向场分量 和和 都为零的波型。都为零的波型。1. TEM模及其存在条件模及其存在条件（7.1.27） 纵向场为零的纵向场为零的TEM模的横向分量均不为零，必须模的横向分量均不为零，必须 7-19 TEM模模纵向场分量纵向场分量 和和 都为零的波型。都为零的波型。1. TEM模及其存在条件模及其存在条件（7.1.29） TEM模的横向场所满足的方程模的横向场所满足的方程 （7.1.28） 这是二维拉普拉斯方程。它们与无源区内二维的静电场和恒这是二维拉普拉斯方程。它们与无

11、源区内二维的静电场和恒定磁场（统称为静态场）所满足的方程是同样的。定磁场（统称为静态场）所满足的方程是同样的。7-20 TEM模存在的条件模存在的条件任何一个波导系统内任何一个波导系统内TEM模的存在模的存在条件就是在该波导内必须能够维持二维静态场。条件就是在该波导内必须能够维持二维静态场。 能够维持二维静态场的波导的基本结构就是由双导体或多能够维持二维静态场的波导的基本结构就是由双导体或多导体组成的传输线。导体组成的传输线。 平行双线、同轴线等双导体系统内都能传播平行双线、同轴线等双导体系统内都能传播TEM模。模。 空心的金属波导内，由于不可能存在二维静态场，故不能空心的金属波导内，由于不可

12、能存在二维静态场，故不能传播传播TEM模。模。 1. TEM模及其存在条件模及其存在条件7-21 TEM模的传播特性模的传播特性均匀波导中所传播的均匀波导中所传播的TEM模是一种模是一种非均匀的平面波。它与无界的均匀理想介质中所传播的均非均匀的平面波。它与无界的均匀理想介质中所传播的均匀平面波具有相同的传播特性，即匀平面波具有相同的传播特性，即（7.1.30）（7.1.31）（7.1.32）（7.1.33）1. TEM模及其存在条件模及其存在条件7-22ITE模和模和TM模的传播条件模的传播条件ITE模和模和TM模的传播特性模的传播特性I两个重要的结论两个重要的结论ITE模和模和TM模截止模式

13、的传播特性模截止模式的传播特性ITE模和模和TM模的其它传播特性模的其它传播特性2. TE模和模和TM模的传播条件和传播特性模的传播条件和传播特性7-23 TE模模 纵向场纵向场 为零的模式（波型）。为零的模式（波型）。 TM模模 纵向场纵向场 为零的模式（波型）。为零的模式（波型）。 TE模和模和TM模的传播条件模的传播条件 在理想媒质中，在理想媒质中， 为实数。为实数。TE模和模和TM模的传播条件模的传播条件（7.1.34）（7.1.35） 当当 时，波将沿着时，波将沿着 方向传播，对应的模式称为传播模方向传播，对应的模式称为传播模式式 ， 称为相位常数或相移常数；称为相位常数或相移常数；

14、 当当 时时 ，波沿着，波沿着 方向呈指数衰减，不能传播，对方向呈指数衰减，不能传播，对应的模式是截止模式，应的模式是截止模式， 称为衰减常数。称为衰减常数。7-24 TE模和模和TM模的截止波数、截止波长和截止频率模的截止波数、截止波长和截止频率 仿照仿照 截止波数截止波数 截止波长截止波长 截止频率截止频率（7.1.36）（7.1.37） TE模和模和TM模的传播条件模的传播条件高通高通（7.1.38）TE模和模和TM模的传播条件模的传播条件7-25 几点说明：几点说明： 与场分量一样，均匀波导中不同模式的截止参数与场分量一样，均匀波导中不同模式的截止参数 也由导波方程和边界条件所决定，所

15、以，它们与波导的类也由导波方程和边界条件所决定，所以，它们与波导的类型及其尺寸有关。型及其尺寸有关。 如果给定波导的类型和尺寸，只有满足传播条件的电磁波如果给定波导的类型和尺寸，只有满足传播条件的电磁波才能在波导内以才能在波导内以TE模或模或TM模的形式传播；反之，如果给模的形式传播；反之，如果给定波导的类型和尺寸以及电磁波的工作参数定波导的类型和尺寸以及电磁波的工作参数 ，也只，也只有满足传播条件的有满足传播条件的TE模和模和TM模才能在波导内传播，其余模才能在波导内传播，其余的都将截止。的都将截止。 由于由于TEM模的模的 ，任何频率或波长的电磁波都能以，任何频率或波长的电磁波都能以TEM

16、模的形式传播，只要该波导满足模的形式传播，只要该波导满足TEM模的存在条件。模的存在条件。 只要条件合适，双导体系统中可以同时传播只要条件合适，双导体系统中可以同时传播TEM模、模、TE模和模和TM模。模。TE模和模和TM模的传播条件模的传播条件7-26 TE模和模和TM模传播模式的相同的传播参数模传播模式的相同的传播参数相位常数相位常数 波导波长波导波长 相速度相速度 群速度群速度（7.1.39）（7.1.40）（7.1.42）（7.1.52）电磁波的传播速度电磁波的传播速度TE模和模和TM模的传播特性模的传播特性7-27 TE模和模和TM模传播模式的不同的传播参数模传播模式的不同的传播参数

17、波型阻抗波型阻抗 TEM模的波阻抗模的波阻抗（7.1.54）（7.1.55）TE模和模和TM模的传播特性模的传播特性7-28两个重要的结论两个重要的结论（7.1.41）（7.1.53） 由于代表能量或信号的传递速度的是群速而不是相速，这由于代表能量或信号的传递速度的是群速而不是相速，这与一切能量传播速度不可能大于光速的结论并不矛盾。与一切能量传播速度不可能大于光速的结论并不矛盾。（1）TE模和模和TM模的波导波长模的波导波长 、工作波长、工作波长 和截止波长和截止波长 满足关系式满足关系式 波导波长波导波长 总是大于无界空间中电磁波的波长总是大于无界空间中电磁波的波长 。（2）相速相速 和群速

18、和群速 满足关系式满足关系式 相速大于电磁波在无界空间中的传播速度（光速），而群相速大于电磁波在无界空间中的传播速度（光速），而群速小于光速。速小于光速。7-29TE模和模和TM模截止模式的传播特性模截止模式的传播特性 截止模式只能定义衰减常数和波型阻抗截止模式只能定义衰减常数和波型阻抗 衰减常数衰减常数 波型阻抗波型阻抗 （7.1.56）（7.1.57） 截止模式的波阻抗是虚数，其横向电场与横向磁场有截止模式的波阻抗是虚数，其横向电场与横向磁场有 的相位差。根据坡印廷定理，电磁波沿的相位差。根据坡印廷定理，电磁波沿 方向没有能量方向没有能量传播。传播。7-30 TE模和模和TM模的色散模的色

19、散与与TEM模不同，模不同，TE模和模和TM模的模的传播参数均是频率的函数，这种波称为色散波。但是，这传播参数均是频率的函数，这种波称为色散波。但是，这种波的色散不同于导电媒质引起的色散。波导中的色散是种波的色散不同于导电媒质引起的色散。波导中的色散是由波导的边界条件所引起的，故称之为几何色散。由波导的边界条件所引起的，故称之为几何色散。 混合波型混合波型当单独的当单独的TE模和模和TM模不能满足波导的边界模不能满足波导的边界条件时，波导中传播的是纵向场均不为零的混合波型。例条件时，波导中传播的是纵向场均不为零的混合波型。例如，在圆形介质波导和部分填充介质的矩形波导等系统中，如，在圆形介质波导

20、和部分填充介质的矩形波导等系统中，将出现混合波型。混合波型同将出现混合波型。混合波型同TE模和模和TM模一样，必须满模一样，必须满足传播条件才能传播。足传播条件才能传播。 TE模和模和TM模的其它传播特性（衰减和损耗），将在后面模的其它传播特性（衰减和损耗），将在后面的章节中讨论。的章节中讨论。TE模和模和TM模的其它传播特性模的其它传播特性7-317.2 矩形波导中的导行电磁波矩形波导中的导行电磁波 当均匀波导的边界及其中的媒质分界面为平面时，必须采当均匀波导的边界及其中的媒质分界面为平面时，必须采用直角坐标系进行分析。例如，矩形金属波导、平板金属用直角坐标系进行分析。例如，矩形金属波导、平

21、板金属波导、矩形介质波导、平板介质波导以及它们的一些变形，波导、矩形介质波导、平板介质波导以及它们的一些变形，都可利用直角坐标系求解。都可利用直角坐标系求解。I7.2.1 直角坐标系中标量亥姆霍兹方程的通解直角坐标系中标量亥姆霍兹方程的通解I7.2.2 矩形波导中导行电磁波的传播模式矩形波导中导行电磁波的传播模式I7.2.3 矩形波导中导行电磁波的传播特性矩形波导中导行电磁波的传播特性I7.2.4 矩形波导中若干常用传播模式的场结构矩形波导中若干常用传播模式的场结构7-32I直角坐标系中横向场与纵向场的关系直角坐标系中横向场与纵向场的关系I直角坐标系中纵向场所满足的导波方程直角坐标系中纵向场所

22、满足的导波方程I直角坐标系中纵向场导波方程的解直角坐标系中纵向场导波方程的解I关于通解的几点说明关于通解的几点说明7.2.1 直角坐标系中标量亥姆霍兹方程的通解直角坐标系中标量亥姆霍兹方程的通解7-33 直角坐标系中横向哈密顿算子直角坐标系中横向哈密顿算子直角坐标系中横向场与纵向场的关系直角坐标系中横向场与纵向场的关系 横向场分量与纵向场分量的关系式横向场分量与纵向场分量的关系式式（式（7.2.14）7-34 事实上，只要事实上，只要求出任何两个场分量，其余的场分量均可由求出任何两个场分量，其余的场分量均可由麦克斯韦旋度方程导出，不一定是要先求出纵向场分量。麦克斯韦旋度方程导出，不一定是要先求

23、出纵向场分量。 纵向场分量所满足的标量亥姆霍兹方程纵向场分量所满足的标量亥姆霍兹方程式（式（7.2.56）其中其中直角坐标系中纵向场所满足的导波方程直角坐标系中纵向场所满足的导波方程 直角坐标系中横向拉普拉斯算子直角坐标系中横向拉普拉斯算子7-35直角坐标系中纵向场导波方程的解直角坐标系中纵向场导波方程的解令令 ，代入纵向场导波方程，得，代入纵向场导波方程，得（7.2.7）由于由于 和和 是相互独立的，要使上式成立，可以令是相互独立的，要使上式成立，可以令其中的分离常数其中的分离常数 和和 满足分离方程满足分离方程（7.2.10） 直角坐标系中纵向场导波方程的分离变量直角坐标系中纵向场导波方程

24、的分离变量7-36 的通解：的通解：（7.2.11） 的通解：的通解：（7.2.12）直角坐标系中纵向场导波方程的解直角坐标系中纵向场导波方程的解7-37 纵向场纵向场 的导波方程的解：的导波方程的解：（7.2.13） 纵向场纵向场 的导波方程的解：的导波方程的解：（7.2.14）直角坐标系中纵向场导波方程的解直角坐标系中纵向场导波方程的解7-38 指数函数的解也可以表示成双曲函数的形式；指数函数的解也可以表示成双曲函数的形式； 一般地，当场域为有限时，场应该呈驻波分布，解为三角一般地，当场域为有限时，场应该呈驻波分布，解为三角函数；当场域为无限时，场应该呈衰减分布，以保证无穷函数；当场域为无

25、限时，场应该呈衰减分布，以保证无穷远处的场为零，解为指数函数或双曲函数；远处的场为零，解为指数函数或双曲函数； 分离常数分离常数 和和 可以是异号的，也可以是同号的。但两可以是异号的，也可以是同号的。但两者一般不能同时为零。因此，标量亥姆霍兹方程的分离变者一般不能同时为零。因此，标量亥姆霍兹方程的分离变量解中横向场分布可以同为三角函数，也可以同为指数函量解中横向场分布可以同为三角函数，也可以同为指数函数；数； 解的形式以及待定常数的大小完全由边界条件和激励源决解的形式以及待定常数的大小完全由边界条件和激励源决定；定； 一旦确定了两个纵向场分量，将它们代入（一旦确定了两个纵向场分量，将它们代入（

26、7.2.1）（7.2.4）式就得到其余的横向场分量了。式就得到其余的横向场分量了。关于通解的几点说明关于通解的几点说明7-397.2.2 矩形波导中导行电磁波的传播模式矩形波导中导行电磁波的传播模式I矩形波导的结构矩形波导的结构I矩形波导中的纵向场矩形波导中的纵向场I1. 矩形波导中的矩形波导中的TE模模I2. 矩形波导中的矩形波导中的TM模模I波导的正规模及其重要特性波导的正规模及其重要特性7-40矩形波导的结构矩形波导的结构 矩形波导的结构（图矩形波导的结构（图7.2.1） 宽边为宽边为 ，窄边为，窄边为 矩形波导的边界条件矩形波导的边界条件内壁为理想导体内壁为理想导体（7.2.15）（7

27、.2.16） 矩形金属波导简称矩形波导，是最矩形金属波导简称矩形波导，是最常见的波导，许多波导元件都是由常见的波导，许多波导元件都是由矩形波导构成的。矩形波导构成的。7-41 矩形波导中纵向场的解矩形波导中纵向场的解由于纵向场在由于纵向场在 方向和方向和 方向方向都具有重复的零点，所以解均应选为三角函数，即都具有重复的零点，所以解均应选为三角函数，即（7.2.17）（7.2.18） 由于在介质均匀填充的矩形波导中，两个纵向场可以单独由于在介质均匀填充的矩形波导中，两个纵向场可以单独满足波导的边界条件，所以在矩形波导内传播的电磁波可满足波导的边界条件，所以在矩形波导内传播的电磁波可分为分为TE模

28、和模和TM模。模。矩形波导中的纵向场矩形波导中的纵向场7-42 TE模模 矩形波导中的矩形波导中的TE模的纵向场的解模的纵向场的解 1. 矩形波导中的矩形波导中的TE模模7-43 矩形波导中的矩形波导中的 模的所有场分量模的所有场分量 1. 矩形波导中的矩形波导中的TE模模7-44 由于有无穷多组解，所以有无穷多个由于有无穷多组解，所以有无穷多个TE模；模； 每一对每一对 值都对应着一种波型，故称之为值都对应着一种波型，故称之为 模；模； 被称为波型指数或模指数；被称为波型指数或模指数； 式中的式中的 是与激励源有关的待定常数；是与激励源有关的待定常数； 对于对于 模，模， 不能同时为零，否则

29、全部场分量为零。不能同时为零，否则全部场分量为零。 最简单的最简单的TE模是模是 模和模和 模。模。 矩形波导中的矩形波导中的TE模的纵向场的解的特点模的纵向场的解的特点 1. 矩形波导中的矩形波导中的TE模模7-45 TM模模 矩形波导中的矩形波导中的TM模的纵向场的解模的纵向场的解 2. 矩形波导中的矩形波导中的TM模模7-46 矩形波导中的矩形波导中的 模的所有场分量模的所有场分量2. 矩形波导中的矩形波导中的TM模模7-47 由于有无穷多组解，所以有无穷多个由于有无穷多组解，所以有无穷多个TM模；模； 每一对每一对 值都对应着一种波型，故称之为值都对应着一种波型，故称之为 模；模； 被

30、称为波型指数或模指数；被称为波型指数或模指数； 式中的式中的 是与激励源有关的待定常数；是与激励源有关的待定常数； 对于对于 模，模， 均不能为零，否则全部场分量为零；均不能为零，否则全部场分量为零； 最简单的最简单的TM模是模是 模。模。 矩形波导中的矩形波导中的TM模的纵向场的解的特点模的纵向场的解的特点 2. 矩形波导中的矩形波导中的TM模模7-48 正规模正规模各种不同金属波导中所有的各种不同金属波导中所有的 模和模和 模。模。它们是满足麦克斯韦方程的两套独立的解，可以认为它们它们是满足麦克斯韦方程的两套独立的解，可以认为它们是金属波导中的基本模式，具有很重要的特性的。是金属波导中的基

31、本模式，具有很重要的特性的。 正规模的完备性正规模的完备性金属波导内传输的任意的电磁波可以金属波导内传输的任意的电磁波可以表示为正规模的线性叠加。尤其是在激励源附近，都会存表示为正规模的线性叠加。尤其是在激励源附近，都会存在许多的模式，但是远离激励源后，通常只有一种模式可在许多的模式，但是远离激励源后，通常只有一种模式可以传播。以传播。 正规模的正交性正规模的正交性所有的正规模之间是相互正交的，它所有的正规模之间是相互正交的，它们各自携带着能量在波导内传播。们各自携带着能量在波导内传播。波导的波导的正规正规模及其重要特性模及其重要特性7-497.2.3 矩形波导中导行电磁波的传播特性矩形波导中

32、导行电磁波的传播特性I矩形波导的截止波数、截止波长和截止频率矩形波导的截止波数、截止波长和截止频率I矩形波导的矩形波导的TE模和模和TM模的传播条件模的传播条件I矩形波导截止波长分布图矩形波导截止波长分布图I矩形波导截止波长的特点矩形波导截止波长的特点I矩形波导的传播模式的传播参数矩形波导的传播模式的传播参数7-50矩形波导的截止波数、截止波长和截止频率矩形波导的截止波数、截止波长和截止频率 矩形波导中矩形波导中 模和模和 模的截止波数、截止波长和截止模的截止波数、截止波长和截止频率具有相同的公式，但是模指数的选择有所不同。频率具有相同的公式，但是模指数的选择有所不同。（7.2.32）（7.2

33、.33）（7.2.34）截止波数截止波数截止波长截止波长截止频率截止频率7-51 对于给定频率的激励源，有可能产生许多的模式，但是只对于给定频率的激励源，有可能产生许多的模式，但是只有满足传播条件的模式才能在波导中传播。反之，要使某有满足传播条件的模式才能在波导中传播。反之，要使某一种模式能在波导中传播，其工作频率必须满足传播条件。一种模式能在波导中传播，其工作频率必须满足传播条件。 矩形波导的截止频率不仅与波导的尺寸有关，还与模指数矩形波导的截止频率不仅与波导的尺寸有关，还与模指数有关。因此，当波导的尺寸一定时，随着工作频率的的改有关。因此，当波导的尺寸一定时，随着工作频率的的改变，矩形波导

34、可以多模传播，也可以单模传播，甚至也可变，矩形波导可以多模传播，也可以单模传播，甚至也可以处于截止状态（没有模式可以传播）。以处于截止状态（没有模式可以传播）。 大多数情况下，波导是工作在单模传播的状态。据此，生大多数情况下，波导是工作在单模传播的状态。据此，生产厂家设计出适用于不同频段的波导，供人们选用。产厂家设计出适用于不同频段的波导，供人们选用。矩形波导的矩形波导的TE模和模和TM模的传播条件模的传播条件（7.1.38） 矩形波导中传播的模式必须满足的条件是矩形波导中传播的模式必须满足的条件是7-52 WJB100型型矩形波导截止波长分布图矩形波导截止波长分布图7-53 矩形波导的截止波

35、长与尺寸成正比。为了传播同一种模式，矩形波导的截止波长与尺寸成正比。为了传播同一种模式，波导的尺寸越大，其工作波长越大，工作频率越低。波导的尺寸越大，其工作波长越大，工作频率越低。 矩形波导的截止波长与模指数成反比。对于同样尺寸的波矩形波导的截止波长与模指数成反比。对于同样尺寸的波导，工作波长越小，工作频率越高，在波导内传播的模式导，工作波长越小，工作频率越高，在波导内传播的模式越多。越多。 当当 时，矩形波导的主模（截止波长最大的模）是时，矩形波导的主模（截止波长最大的模）是 模式模式 ，且，且 （7.2.35）矩形波导截止波长的特点矩形波导截止波长的特点7-54 除主模以外的模式称为高次模

36、，其中截止波长最大的高次除主模以外的模式称为高次模，其中截止波长最大的高次模或截止波长第二大的模式称为最低型高次模。模或截止波长第二大的模式称为最低型高次模。 矩形波导的最低型高次模有两个。矩形波导的最低型高次模有两个。 时，最低型高次模是时，最低型高次模是 模式，模式， 时，最低型高次模是时，最低型高次模是 模式，模式， 矩形波导的截止区（没有模式可以传播的波长范围）为矩形波导的截止区（没有模式可以传播的波长范围）为 矩形波导的主模的单模工作条件矩形波导的主模的单模工作条件（7.2.36）（7.2.37）矩形波导截止波长的特点矩形波导截止波长的特点 当当 时，时， 模和模和 模是简并的模是简

37、并的7-55 模式简并模式简并截止波长相同，场结构完全不同的两种模式截止波长相同，场结构完全不同的两种模式 模指数相同的模指数相同的 模和模和 模都是简并的模都是简并的矩形波导截止波长的特点矩形波导截止波长的特点7-56矩形波导的传播模式的传播参数矩形波导的传播模式的传播参数所有波导中传播模式的传播常数的公式都是一样的所有波导中传播模式的传播常数的公式都是一样的相位常数相位常数波导波长波导波长相速度相速度群速度群速度7-57矩形波导的传播模式的传播参数矩形波导的传播模式的传播参数波型阻抗波型阻抗 波导的传播常数中只有波型阻抗与传播的波型有关波导的传播常数中只有波型阻抗与传播的波型有关 截止模式

38、的波型阻抗是虚数。截止模式的波型阻抗是虚数。7-58例例7.2.1 空气填充的矩形金属波导空气填充的矩形金属波导 内传播内传播 模。模。测得波导内的最大电场测得波导内的最大电场 ，相邻的电场最小点之间，相邻的电场最小点之间的距离的距离 。试求其工作频率、相位常数、相速、群速和。试求其工作频率、相位常数、相速、群速和波阻抗，并写出该模式的各个场分量。波阻抗，并写出该模式的各个场分量。解：由于传播的是解：由于传播的是 模，其截止波长模，其截止波长而波导波长而波导波长 代入代入 解得解得 7-59由此得到由此得到7-60由于矩形波导由于矩形波导 模只有一个电场分量，即模只有一个电场分量，即 其最大值

39、为其最大值为 由已知得到由已知得到 若设若设 的相位为零，则的相位为零，则 模的三个场分量为模的三个场分量为 式中式中 和和 的单位都是厘米。的单位都是厘米。7-617.2.4 矩形波导中若干常用传播模式的场结构矩形波导中若干常用传播模式的场结构I场结构的基本概念场结构的基本概念I电磁力线的规律电磁力线的规律I矩形波导内传播模式的场结构的特点矩形波导内传播模式的场结构的特点I基本模式的场结构基本模式的场结构I矩形波导中场结构的规律矩形波导中场结构的规律7-62场结构的基本概念场结构的基本概念 电磁力线的微分方程电磁力线的微分方程 场结构场结构在任一时刻，波导中电磁场的空间分布图（电在任一时刻，

40、波导中电磁场的空间分布图（电磁力线图或场强的幅值图）。通过分析不同模式的场结构，磁力线图或场强的幅值图）。通过分析不同模式的场结构，可以更形象和直观地了解波导内场的分布，从而有助于波可以更形象和直观地了解波导内场的分布，从而有助于波导以及波导元件的设计与使用。这里，仅分析波导中满足导以及波导元件的设计与使用。这里，仅分析波导中满足传播条件的传播模式的场结构。传播条件的传播模式的场结构。（7.2.38）（7.2.39） 严格地画出场结构非常麻烦，通常是根据电力线和磁力线严格地画出场结构非常麻烦，通常是根据电力线和磁力线的规律，由场分量的表示式画出场结构的示意图。的规律，由场分量的表示式画出场结构

41、的示意图。7-63 电磁力线的分布应遵循如下规律：电磁力线的分布应遵循如下规律：（1）电力线可以发自正电荷，止于负电荷，也可以是环绕电力线可以发自正电荷，止于负电荷，也可以是环绕 交变磁场形成闭合曲线；交变磁场形成闭合曲线；（2）磁力线总是闭合曲线，它们围绕电流或电力线；磁力线总是闭合曲线，它们围绕电流或电力线；（3）电力线和磁力线处处相互正交；电力线和磁力线处处相互正交；（4）电力线垂直于理想导体表面，磁力线平行于理想导体电力线垂直于理想导体表面，磁力线平行于理想导体表面。表面。电磁力线的规律电磁力线的规律7-64 矩形波导内传播模式的场分量的时空关系式：矩形波导内传播模式的场分量的时空关系

42、式：（1）场沿场沿 方向呈行波分布（随时间向方向呈行波分布（随时间向 方向传播的正弦方向传播的正弦波）。因此，只要画出某一时刻的场结构，随着时间波）。因此，只要画出某一时刻的场结构，随着时间 的增的增加，整个场结构向加，整个场结构向 方向平移；方向平移；（2）场在横截面上呈驻波分布（随时间原地振荡的正弦波），场在横截面上呈驻波分布（随时间原地振荡的正弦波），模指数模指数 分别表示场在宽壁和窄壁上的半驻波数（或半分别表示场在宽壁和窄壁上的半驻波数（或半周期数）；周期数）；（3）纵向场分量与横向场分量在相位上都相差了纵向场分量与横向场分量在相位上都相差了 。体现在。体现在场结构上，就是沿场结构上，

43、就是沿 方向，纵向场分量与横向场分量的极方向，纵向场分量与横向场分量的极值位置相差了四分之一波导波长。值位置相差了四分之一波导波长。矩形波导内传播模式的场结构的特点矩形波导内传播模式的场结构的特点7-65 基本模式（基本模式（“巢巢”或或“单元单元”）构成波导内所有模式场构成波导内所有模式场结构的最简模式。结构的最简模式。基本模式的场结构基本模式的场结构 的模的场结构：的模的场结构： 主模主模 场分量场分量7-66 模、模、 模、模、 模的场结构：模的场结构：基本模式的场结构基本模式的场结构7-67 矩形波导中几个传播模式的场结构的横截面分布图：矩形波导中几个传播模式的场结构的横截面分布图：矩

44、形波导中场结构的规律矩形波导中场结构的规律7-68（1）矩形波导的基本模式（巢）是矩形波导的基本模式（巢）是 模（模（ 模）、模）、 模和模和 模；模；（2） 模是模是 模绕模绕 轴旋转而成；轴旋转而成；（3） 模是模是 个个 模沿宽壁排列而成，相邻巢的力线方模沿宽壁排列而成，相邻巢的力线方向是相反的；向是相反的；（4） 模是模是 个个 模沿窄边排列而成，相邻巢的力线方模沿窄边排列而成，相邻巢的力线方向相反；向相反；（5） 模和模和 模分别是模分别是 个个 模或模或 模排列模排列而成，相邻巢的力线方向相反。而成，相邻巢的力线方向相反。矩形波导中场结构的规律矩形波导中场结构的规律7-697.3

45、圆形波导中的导行电磁波圆形波导中的导行电磁波 除矩形波导外，均匀波导横截面呈圆形或同心圆的情况在除矩形波导外，均匀波导横截面呈圆形或同心圆的情况在工程实际中也经常出现。例如，圆形金属波导、圆形介质工程实际中也经常出现。例如，圆形金属波导、圆形介质波导、同轴线以及光导纤维等等，它们都需要求解圆柱坐波导、同轴线以及光导纤维等等，它们都需要求解圆柱坐标系中的标量亥姆霍兹方程。标系中的标量亥姆霍兹方程。I7.3.1 圆柱坐标系中标量亥姆霍兹方程的通解圆柱坐标系中标量亥姆霍兹方程的通解I7.3.2 圆形波导中导行电磁波的传播模式圆形波导中导行电磁波的传播模式I7.3.3 圆形波导中导行电磁波的传播特性圆

46、形波导中导行电磁波的传播特性I7.3.4 圆形波导中若干常用传播模式的场结构圆形波导中若干常用传播模式的场结构7-707.3.1 圆柱坐标系中标量亥姆霍兹方程的通解圆柱坐标系中标量亥姆霍兹方程的通解I圆柱坐标系中横向场与纵向场的关系圆柱坐标系中横向场与纵向场的关系I圆柱坐标系中纵向场所满足的导波方程圆柱坐标系中纵向场所满足的导波方程I圆柱坐标系中纵向场导波方程的解圆柱坐标系中纵向场导波方程的解I关于通解的几点说明关于通解的几点说明7-71圆柱坐标系中横向场与纵向场的关系圆柱坐标系中横向场与纵向场的关系 圆柱坐标系中横向哈密顿算子圆柱坐标系中横向哈密顿算子 横向场分量与纵向场分量的关系式横向场分

47、量与纵向场分量的关系式式（式（7.3.36）7-72 圆柱坐标系中的圆柱坐标系中的其余场分量满足的方程不是独立的。其余场分量满足的方程不是独立的。 纵向场分量所满足的标量亥姆霍兹方程纵向场分量所满足的标量亥姆霍兹方程式（式（7.2.56）其中其中圆柱坐标系中纵向场所满足的导波方程圆柱坐标系中纵向场所满足的导波方程 圆柱坐标系中横向拉普拉斯算子圆柱坐标系中横向拉普拉斯算子7-73圆柱圆柱坐标系中纵向场导波方程的解坐标系中纵向场导波方程的解 圆柱坐标系中纵向场导波方程的分离变量圆柱坐标系中纵向场导波方程的分离变量令令 ，代入（，代入（7.2.1）式，通过分离变量可得）式，通过分离变量可得（7.3.

48、8）（7.3.7）7-74 分离函数分离函数 的解的解如果所分析波导的场域空间满足如果所分析波导的场域空间满足 ，则式，则式（7.3.8）的的解必须为周期性的三角函数，即解必须为周期性的三角函数，即通常，习惯上写成通常，习惯上写成（7.3.10）（7.3.9）圆柱圆柱坐标系中纵向场导波方程的解坐标系中纵向场导波方程的解7-75 分离函数分离函数 的解的解 的解与的解与 的取值有关。考虑到的取值有关。考虑到TE模和模和TM模的模的 ，于是有于是有（7.3.12）以以 为自变量的为自变量的 阶第一类贝塞尔函数阶第一类贝塞尔函数以以 为自变量的为自变量的 阶第二类贝塞尔函数阶第二类贝塞尔函数与与 相

49、对应的相对应的 阶第一类变形贝塞尔函数阶第一类变形贝塞尔函数与与 相对应的相对应的 阶第二类变形贝塞尔函数阶第二类变形贝塞尔函数（7.3.11）圆柱圆柱坐标系中纵向场导波方程的解坐标系中纵向场导波方程的解7-76 各类贝塞尔函数的曲线各类贝塞尔函数的曲线图图7.3.1 贝塞尔函数是振荡型的函数，有多个零点，可以看成是驻贝塞尔函数是振荡型的函数，有多个零点，可以看成是驻波。通常分布在半径有限的区域。波。通常分布在半径有限的区域。 变形贝塞尔函数是非振荡型的的函数，单调增加或减少。变形贝塞尔函数是非振荡型的的函数，单调增加或减少。通常分布在半径无限的区域上。通常分布在半径无限的区域上。圆柱圆柱坐标

50、系中纵向场导波方程的解坐标系中纵向场导波方程的解7-77 第一类贝塞尔函数的导函数第一类贝塞尔函数的导函数图图7.3.3 贝塞尔函数及其导函数都是振荡型的函数，均有多个零点；贝塞尔函数及其导函数都是振荡型的函数，均有多个零点； 零是除了零是除了 以外所有贝塞尔函数及其导函数的零点；以外所有贝塞尔函数及其导函数的零点； 零点的大小有表可查；零点的大小有表可查； 除了除了 以外，零点的大小随着阶数的增加而增加。以外，零点的大小随着阶数的增加而增加。圆柱圆柱坐标系中纵向场导波方程的解坐标系中纵向场导波方程的解7-78 纵向场纵向场 的导波方程的解：的导波方程的解： 纵向场纵向场 的导波方程的解：的导

51、波方程的解：（7.3.13）（7.3.14）圆柱圆柱坐标系中纵向场导波方程的解坐标系中纵向场导波方程的解7-79关于通解的几点说明关于通解的几点说明 三角函数的选取与激励源的分布有关，可以单独存在，也可三角函数的选取与激励源的分布有关，可以单独存在，也可以同时存在；以同时存在； 贝塞尔函数的选取视边界情况而定；贝塞尔函数的选取视边界情况而定； 截止参数与波导的边界条件及其尺寸有关；截止参数与波导的边界条件及其尺寸有关； 待定常数由边界条件和激励源的大小而定；待定常数由边界条件和激励源的大小而定； 将式（将式（7.3.13）和式（）和式（7.3.14）代入式（）代入式（7.3.3）式（）式（7.

52、3.6）就能得到其余的场分量。就能得到其余的场分量。7-807.3.2 圆形波导中导行电磁波的传播模式圆形波导中导行电磁波的传播模式I圆形波导的结构圆形波导的结构I圆形波导中的纵向场圆形波导中的纵向场I1. 圆形波导中的圆形波导中的TE模模I2. 圆形波导中的圆形波导中的TM模模I波导的正规模及其重要特性波导的正规模及其重要特性7-81圆形波导的结构圆形波导的结构 圆形波导的结构（图圆形波导的结构（图7.3.2） 半径为半径为 矩形波导的边界条件矩形波导的边界条件内壁为理想导体内壁为理想导体（7.3.15） 圆柱形金属波导简称圆形波导或圆圆柱形金属波导简称圆形波导或圆波导，它具有损耗小、双极化

53、等优波导，它具有损耗小、双极化等优点。点。7-82 只有振荡型的贝塞尔函数才能满足边界条件。此外，由于只有振荡型的贝塞尔函数才能满足边界条件。此外，由于场量轴线上必须为有限值，场量轴线上必须为有限值， 而第二类贝塞尔函数不能满足而第二类贝塞尔函数不能满足这一点。所以，圆形波导内的两个纵向场分量应为这一点。所以，圆形波导内的两个纵向场分量应为（7.3.16）（7.3.17） 同矩形波导一样，在介质均匀填充的圆形波导中，两个纵同矩形波导一样，在介质均匀填充的圆形波导中，两个纵向场可以单独满足波导的边界条件，所以在矩形波导内传向场可以单独满足波导的边界条件，所以在矩形波导内传播的电磁波可分为播的电磁

54、波可分为TE模和模和TM模。模。圆形波导中的纵向场圆形波导中的纵向场7-83 TE模模 圆形波导中的圆形波导中的TE模的纵向场的解模的纵向场的解 1. 圆形波导中的圆形波导中的TE模模由由 的边界条件可以解得的边界条件可以解得（7.3.18）（7.3.19） 阶第一类贝塞尔函数的导函数阶第一类贝塞尔函数的导函数 的的 第第 个不为零的零点值（表个不为零的零点值（表7.3.1） （7.3.21）7-84 圆形波导中的圆形波导中的 模的所有场分量模的所有场分量 1. 圆形波导中的圆形波导中的TE模模7-85 由于有无穷多组解，所以有无穷多个由于有无穷多组解，所以有无穷多个TE模；模； 每一对每一对

55、 值都对应着一种波型，故称之为值都对应着一种波型，故称之为 模；模； 被称为波型指数或模指数；被称为波型指数或模指数； 式中的式中的 是与激励源有关的待定常数；是与激励源有关的待定常数； 模指数模指数 可以为零，表示场沿圆周方向的周期数；可以为零，表示场沿圆周方向的周期数； 模指数模指数 不可以为零，表示场在半径上的零点或极值数；不可以为零，表示场在半径上的零点或极值数； 最简单的最简单的TE模是模是 模，但是主模是模，但是主模是 模。模。 圆形波导中的圆形波导中的TE模的纵向场的解的特点模的纵向场的解的特点 1. 圆形波导中的圆形波导中的TE模模7-86 TM模模 圆形波导中的圆形波导中的T

56、M模的纵向场的解模的纵向场的解 2. 圆形波导中的圆形波导中的TM模模由由 的边界条件可以解得的边界条件可以解得（7.3.29）（7.3.26）（7.3.27） 阶第一类贝塞尔函数阶第一类贝塞尔函数 的的 第第 个不为零的零点值（表个不为零的零点值（表7.3.2） 7-87 圆形波导中的圆形波导中的 模的所有场分量模的所有场分量 2. 圆形波导中的圆形波导中的TM模模7-88 由于有无穷多组解，所以有无穷多个由于有无穷多组解，所以有无穷多个TM模；模； 每一对每一对 值都对应着一种波型，故称之为值都对应着一种波型，故称之为 模；模； 被称为波型指数或模指数；被称为波型指数或模指数； 式中的式中

57、的 是与激励源有关的待定常数；是与激励源有关的待定常数； 模指数模指数 可以为零，表示场沿圆周方向的周期数；可以为零，表示场沿圆周方向的周期数； 模指数模指数 不可以为零，表示场在半径上的零点或极值数；不可以为零，表示场在半径上的零点或极值数； 最简单的最简单的TM模是模是 模，但是不是主模。模，但是不是主模。 圆形波导中的圆形波导中的TM模的纵向场的解的特点模的纵向场的解的特点 2. 圆形波导中的圆形波导中的TM模模7-89 正规模正规模各种不同金属波导中所有的各种不同金属波导中所有的 模和模和 模。模。它们是满足麦克斯韦方程的两套独立的解，可以认为它们它们是满足麦克斯韦方程的两套独立的解，

58、可以认为它们是金属波导中的基本模式，具有很重要的特性的。是金属波导中的基本模式，具有很重要的特性的。 正规模的完备性正规模的完备性金属波导内传输的任意的电磁波可以金属波导内传输的任意的电磁波可以表示为正规模的线性叠加。尤其是在激励源附近，都会存表示为正规模的线性叠加。尤其是在激励源附近，都会存在许多的模式，但是远离激励源后，通常只有一种模式可在许多的模式，但是远离激励源后，通常只有一种模式可以传播。以传播。 （与矩形波导一样）（与矩形波导一样） 正规模的正交性正规模的正交性所有的正规模之间是相互所有的正规模之间是相互正交的，正交的，它们各自携带着能量在波导内传播。它们各自携带着能量在波导内传播

59、。 （与矩形波导有区别）（与矩形波导有区别）波导的波导的正规正规模及其重要特性模及其重要特性7-907.3.3 圆形圆形波导中导行电磁波的传播特性波导中导行电磁波的传播特性I圆形波导的截止波数、截止波长和截止频率圆形波导的截止波数、截止波长和截止频率I圆形波导的圆形波导的TE模和模和TM模的传播条件模的传播条件I圆形波导截止波长分布图圆形波导截止波长分布图I圆形波导截止波长的特点圆形波导截止波长的特点I圆形波导的传播模式的传播参数圆形波导的传播模式的传播参数7-91圆圆形波导的截止波数、截止波长和截止频率形波导的截止波数、截止波长和截止频率 圆形波导中圆形波导中 模和模和 模的截止波数、截止波

60、长和截止模的截止波数、截止波长和截止频率公式因为贝塞尔函数和导函数的零点不同而有所区别。频率公式因为贝塞尔函数和导函数的零点不同而有所区别。（7.2.32）（7.2.33）（7.2.34）截止波数截止波数截止波长截止波长截止频率截止频率 圆形波导中圆形波导中 模和模和 模的模指数的选择是相同的。模的模指数的选择是相同的。7-92 对于给定频率的激励源，有可能产生许多的模式，但是只对于给定频率的激励源，有可能产生许多的模式，但是只有满足传播条件的模式才能在波导中传播。反之，要使某有满足传播条件的模式才能在波导中传播。反之，要使某一种模式能在波导中传播，其工作频率必须满足传播条件。一种模式能在波导