第5节 差分方程的一般概念

1、3/15/2022 11:05 AM7.5 差分方程的一般概念差分方程的一般概念1. 差分差分2. 差分方程的一般概念差分方程的一般概念3/15/2022 11:05 AM1. 差分差分第第7 7章章 微分方程与差分方程微分方程与差分方程在生活中，的变化速度是用刻画的，ydydt但有时，连续变化的时间范围内， 变量变量要按一定的离散时间取值， 这时需取规定的时间上的差商来刻画变化速度。yt 若取1,t (1)( )yy ty t 则可近似代表变量的变化速度。3/15/2022 11:05 AM第第7 7章章 微分方程与差分方程微分方程与差分方程 【定义定义7.4】设函数，( )yf x 当取遍

2、非负整数时函数值可排成一个数列：x01,xyyyxy记为，则差称为函数的差分差分，1xxyy xy也称一阶一阶差分差分， 记为，xy 即1xxxyyy 1()xxxyyy 211()xxxxyyyy212xxxyyy记为记为2xy 3/15/2022 11:05 AM第第7 7章章 微分方程与差分方程微分方程与差分方程即称为函数的二阶差分二阶差分；xy212xxxyyy2xy 四阶差分，同样定义三阶差分，32(),xxyy 43(),xxyy 二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分高阶差分。3/15/2022 11:05 AM第第7 7章章 微分方程与差分方程微分方程与差分方程差分的性质差分的性质

3、(1)()(xxcyc yc 为常数）例例1(2)()xxxxyzyz 22232(),(),()xxx求解解2()x 22(1)xx21x22()x (21)x 2(1)1(21)xx2 32()x (2) 220 3/15/2022 11:05 AM第第7 7章章 微分方程与差分方程微分方程与差分方程列出差分表x2()x 22()x 32()x 12345671491625364935791113222222x00003/15/2022 11:05 AM第第7 7章章 微分方程与差分方程微分方程与差分方程例例2( )(1)(2)(1),nxx xxxn设解解(0)1,x ( )nx 求(

4、)nx ( )( )(1)nnxx(1) (1)(2)(11)xx xxxn (1)(2)(1)x xxxn(1)(1) (1)(2)(2)xxnx xxxn(1)nnx 3/15/2022 11:05 AM2. 差分方程的一般概念差分方程的一般概念第第7 7章章 微分方程与差分方程微分方程与差分方程引例引例确定某种商品时期的供给量与需求ttS量都是这一时期价格的线性函数：tDtP( ,0),ttSabP a b ( ,0)ttDcdP c d设时期的价格由时期的价格ttP1t 1tP 与估计量及需求量之差按如下关系11ttSD 111()()ttttPPSD为常数3/15/2022 11:0

5、5 AM第第7 7章章 微分方程与差分方程微分方程与差分方程11()()ttPbd Pac 即这样的方程就是差分方程。x 【定义定义7.5】含有自变量和两个或两个以上的的函数方程称为差分方程差分方程。1,xxyy 阶差分方程的一般形式阶差分方程的一般形式n1( ,)0 xxx nF x yyy 其中是已知函数。F3/15/2022 11:05 AM第第7 7章章 微分方程与差分方程微分方程与差分方程 【定义定义7.6】（差分方程的另一个定义）2,xxyy阶差分方程的一般形式阶差分方程的一般形式n( ,)0nxxxF x yyy的函数方程称为差分方程差分方程。含有自变量，x未知函数及的差分xyx

6、y中未知函数差分的最高阶数，方程称为差分方程差分方程的阶的阶。其中为已知函数，Fnxy 且至少要出现。3/15/2022 11:05 AM第第7 7章章 微分方程与差分方程微分方程与差分方程2123xxxxyyy例例3表示的，是用定义7.5212xxxyyy211()()2xxxxxyyyyy12xxxyyy 22xxyy 差分方程的不同形式之间可以相互转化差分方程的不同形式之间可以相互转化将原方程左边写成故原方程可化为223xxxyy即转化为定义7.6的形式。3/15/2022 11:05 AM第第7 7章章 微分方程与差分方程微分方程与差分方程 【定义定义7.7】若一个函数满足差分方程，12xxyy 称其为差分方程的解。差分方程的解。例例4设有差分方程将代人此方程152xyx左边152(1)(152 )xx2 右边故是方程的解。152xyx3/15/2022 11:05 AM第第7 7章章 微分方程与差分方程微分方程与差分方程 上例中，均为此差分方程的解。有时会在初始时刻对差分方程附加一定的条件，为特解特解。常数的个数等于方程的阶数常数的个数等于方程的阶数，2()xyAx A为常数可以验证称其为初始条件初始条件。满足初始条件的解称若差分方程解中含有相互独立的任意任意解解。称其为方程