辅助函数在微分中值问题中的构造及应用

1、XX学院数学学院20XX届本科生毕业论文（设计）辅助函数在微分中值问题中的构造及应用学生姓名：XXX(XXX) 指导老师：XXX摘 要：构造辅助函数是解决微分中值问题的一种重要途径.快速而又准确的构造相应的辅助函数是解决当前微分中值问题的关键.本文给出了几种辅助函数的构造方法：积分法，常数值法，原函数法，微分方程法；并且举出具体例子加以说明.关键词：辅助函数；微分中值定理Construction and Application of the Auxiliary Function in Differential Mean Value ProblemsStudent：X XXInstructor：

2、X XXAbstract：The construction of auxiliary function is an important way to solve the differential median problem. The key to solve current differential median problem is construct the auxiliary function quickly and accurately. This paper presents several methods of constructing auxiliary function: I

3、ntegral method, The value of the constant K method, The original function method, The method of differential equation; And shows some specific examples to explain how to constructing.Key Word: Auxiliary function; Differential median theorem目 录1 引言12 数学分析中的三种微分中值定理13 构造辅助函数的四种方法3 3.1 积分法3 3.2 常数值法5 3

4、.3 原函数法6 3.4 微分方程法84 结论10参考文献12致谢121 引言微分中值定理是应用导数的局部性质研究函数在区间上的整体性质的基本工具，在高等数学课程中占有十分重要的地位，是微分学的理论基础.所谓中值命题是指涉及函数（包括函数的一阶导数，二阶导数等）定义区间中值一些命题，实际上，高等数学中的一些定理，如：罗尔定理，拉格朗日定理，柯西定理均可看做是中值命题.我们可以利用这些定理来证明其他的中值命题.这部分内容理论性强，抽象程度高，教学过程中又容易照本宣科, 导致学生学习兴趣不大, 难于理解和应用.究其主要原因是中值定理证明过程中要借用到的辅助函数, 学生对辅助函数的由来不知其然, 因

5、而辅助函数的引入一直是微分中值定理教学上的一个难点.辅助函数的构造有很大技巧性和灵活性，一般说来，应先分析命题的条件和结论，正确选择所应用的定理，然后将欲证的等式或不等式变形，将其视为对辅助函数应用定理后的结果，并作为构造辅助函数的主要依据，即: 分析条件或结论选择定理构造辅助函数得出结论.根据命题形式的变化选择合适的方法并加以解决.人们在探究辅助函数构造规律的教学实践中，总结出了很多有益的方法，比如常数K值法，原函数法，微分方程法等.下面我们就通过几个具体例子来寻求构造辅助函数的常用方法.2 数学分析中的三种微分中值定理罗尔定理 若函数满足下列条件:1) 在闭区间连续；2) 在开区间可导；3

6、) ,则在内至少存在一点,使.几何意义 在闭区间上有连续曲线,曲线上每一点都存在切线,在闭区间的两个端点与的函数值相等,即,则线上至少有一点,过该点的切线平行轴,如图1.图1拉格朗日定理 若函数满足下列条件:1) 在闭区间连续；2) 在开区间可导,则在开区间内至少存在一点,使.几何意义 在中，, 其中是割线AB与轴的交角，即是通过曲线上二点A与B的割线斜率.拉格朗日定理的几何意义是:若闭区间上有一条连续曲线,曲线上每一点都存在切线,则曲线上至少存在一点M,过点M的切线平行于割线AB.如图2.图2柯西中值定理 若函数与满足下列条件:1) 在闭区间连续；2) 在开区间可导,且，有，则在内至少存在一

7、点,使.几何意义 若令,，这个形式可理解为参数方程，而则是连接参数曲线的端点斜率，表示曲线上某点处的切线斜率，在定理的条件下，可理解如下：用参数方程表示的曲线上至少有一点，它的切线平行于两端点所在的弦.几个微分中值定理之间的关系 我们不难看出，当时，拉格朗日定理就成为罗尔定理，即罗尔定理是拉格朗日定理的特殊情况.拉格朗日定理是微分学最重要的定理之一,也称微分中值定理.它是沟通函数与其导数之间的桥梁,是应用导数的局部性研究函数整体性的重要数学工具.在柯西中值定理中，当时，那么柯西中值定理也就成为拉格朗日定理，即拉格朗日定理是柯西中值定理的特殊情况.正确把握中值定理之间的关系，才能更好的处理微分中

8、值问题. 3 构造辅助函数的四种方法3.1 积分法在一些问题中,要借助积分法来构造出符合题设要求且满足微分中值定理条件的辅助函数.具体方法是把欲证结论中的换成，将替换后的等式变形为易于积分的形式，再两边积分解出C，由此可构造出相应的辅助函数.例1 设函数在上二阶可导，且，证明存在，使得.分析：在结论中用替换，有，将其变形为易于积分的形式：，两边积分：，即,解得.证明：设辅助函数.因为在上二阶可导，所以在上连续，在内可导，且，故满足罗尔定理条件,所以存在使.又在内，,满足罗尔定理条件，所以存在，使，即.例2 设，在上二阶可导，且，证明存在，使得.分析：将要证的式子移项、通分，使右端为零，得，再将

9、换为得.令,积分（积分常数C取0）得辅助函数：.证明：令辅助函数为，则易知在上可导，且，由罗尔定理得，在内至少存在一点，使，即.3.2 常数值法在构造辅助函数时，若表达式关于端点处的函数值具有对称性，也就是说常数部分可以分离出来，那么通常采用常数K值法来寻求构造辅助函数.其具体方法是：将题设的结论变形，使其常数部分分离出来并令其为，而后通过恒等变形，使等式一端为及所构成的代数式，另一端及所构成的代数式，将所证等式中的端点值（或）改为变量，移项即为辅助函数，再用中值定理或待定系数法等方法确定.例1 设，。试证存在介于、之间，使得.分析：将结论变形为，左边为常数，因此可令,即，则有，令，可得辅助函

10、数.证明：设辅助函数为（），则，由罗尔定理，存在介于、之间，使得，即，从而得到.例2 设在连续，在内可导，试证存在一点，使等式成立.分析：将结论变形为，左边为常数，因此可令，则有，令，可得辅助函数.证明：设辅助函数为，则，有罗尔定理可知，存在介于、之间，使得，即可得到.3.3 原函数法微分中值定理是研究函数导数的中值特征的，因而有必要了解它原来的函数是什么？这就是以原函数构造辅助函数的思想.教科书上的证明方法正是通过此思想来实现的.所谓原函数法，就是利用要证的结论，从导函数的“逆”去想，经过恒等变换使一端变为0，求出另一端的原函数，使之作为辅助函数，再利用辅助函数来证明的方法.该法适用于结构简

11、单, 可化成变量分离或常数部分分离, 进而通过有限次积分求得原函数的命题.一般地，原函数法构造辅助函数，其基本步骤如下：1） 将要证结论中的换成；2） 通过恒等变形将结论化为易消除导数符号(或称为易积分)形式；3） 用观察法或积分法求出原函数(仅消掉一阶导数)，为简便起见,积分常数取作0；4） 移项,使等式一边为0,则另一边即为所构造的辅助函数.因为对结论式的不同变形可构造出不同形式的辅助函数，所以原函数并不唯一.例1 设，在上连续，在内可导，且，证明存在，使得.分析：将结论变形为，可知，易得到其原函数为.证明：设辅助函数为,则，由罗尔定理可知，存在介于、之间，使得，从而得到.例2 设在上连续

12、，在内可导，其中，且，证明，使得.分析：将结论中换为，得到，可将其变形为，两边积分可得到，即，故令辅助函数为.证明：设辅助函数为，在上连续，在内可导，且，故在上满足罗尔定理的全部条件.于是，使得，亦即.3.4 微分方程法当所要证明的结论中代数式比较复杂时,就不能很容易求出原函数,这时, 我们通过微分方程的方法解决,这种方法的具体步骤是：1） 先将结论中的值改为，从而得到关于的微分方程；2） 再求解该方程的通解，并解出常数；3） 将常数写成关于的函数，即就是所需要的辅助函数；4） 对辅助函数在给定区间内应用罗尔定理，就能得到所需的结论.此法适用于结构复杂,难以化成变量分离或常数部分分离,可通过求

13、解微分方程求得原函数的命题.需要说明的是,从理论上讲,任何微分中值问题都可以利用微分方程的通解构造辅助函数,对再用罗尔定理来解决.也就是说,任何一类微分中值问题与一类微分方程相对应,构造微分中值问题的辅助函数就化归为求微分方程的通解.所以可以说,利用微分方程的通解是构造辅助函数的一般的、通用的方法.接下来我们用两个例子来具体说明如何运用微分方程法来解决问题.例1 设在上连续，在内可导，且，求证：至少存在一点，使.分析：将结论中的变为，可得到要证明的方程为，此方程在内至少有一个根，应找到一个函数，使与相等或相差一个非零因式.故对微分方程用分离变量法有，可以得到，故取辅助函数为.证明：设辅助函数为

14、，则函数在上连续，在内可导，且，有罗尔定理可知，存在一点，使，即得.例2 设在上可导，且，则存在一点，使得.分析：将结论中的变为，可以得到，先求解齐次方程，得其通解为，又通过观察法可知原方程的一个特解为，所以原方程的通解为，反解得，故取辅助函数为.证明：设辅助函数为，显然在上可导，且，有罗尔定理可知，必存在一点，使，即，故有.4 结论以上我们介绍了构造辅助函数的几种方法，并且举出例子加以说明，由上面这些例子可以看出,与中值定理有关的证明问题灵活多样,并且很多有一定的难度，对于乍看起来根本不知从何入手的问题,一旦构造出适当的辅助函数,问题可一下子迎刃而解,所以在碰到具体问题时，如何选择正确的、恰

15、当的方法构造简洁而又准确的辅助函数就显得尤为重要.从上文中我们了解到，当欲证的结论比较简单，可以将变量、常数分离的命题，我们通常采用原函数法；而当结论比较复杂我们不能很快看出其原函数时，我们要想到解决微分中值问题的一般方法：微分方程法；当我们观察到欲证结论具有对称性时，我们要很快的将其定位到常数值法上.最后,需要强调的是:上述几种方法各有优点和适用范围,应用时要视具体情况而定,灵活选用恰当方法，不能生搬硬套.参考文献1 刘玉莲，傅沛仁.数学分析讲义（上册）M.北京：高等教育出版社，2003.2 刘西垣，李永乐，袁荫棠.数学复习全书【数学三】M.北京：国家行政学院出版社,2011.3 武忠祥.数学考研新干线 高等数学(2012版)M.西安：西安交通大学出版社，2011.4 吕书强，李秋红.用罗尔定理证明数学等式时辅助函数的构造方法J.平顶山工学院学报， 2002，11（3）：8587.5 唐帅，王志华.微分中值定理证明题中辅助函数的构造方法J.邵阳学院学报，2009，6（4）：2629.6 李兴东.微分中值问题辅助函数的构造方法J.兰州交通大学学报，2008，27（3）：151153.7 林小龙.微分中值问题中辅助函数的构造法及其应用J.福建商业高等专科学校学报，2004， 10(5)