第1章近世代数基本概念

1、2022-3-15 2022-3-15 2022-3-15 方法解二方法解二次方程次方程 2022-3-15(1811-(1811-1832)1832)2022-3-15加罗华加罗华 解决了困扰数学解决了困扰数学家们长达家们长达 2022-3-15 2022-3-152022-3-152022-3-15来表来表示。集合的元素一般用小写字母示。集合的元素一般用小写字母来表示。来表示。 aABA.BAAB.xxAxB，:,.A BABBA 且,A Baa Aa B并且BAABa aAaB或A =；2 .nA = nP A ，且且( ( ) )2022-3-15 121,niniAAAA121.ni

2、niAAAA1niixAnAAA,21nAAA,21nAAA,21nAAA,21nAAA,21nAAA,21,.iiA xA1niixA,.iiA xA2022-3-15|BxAxxBA但C ,| ),(BbAabaBA12121( ,)ninniiiAAAAa aaaA2022-3-152022-3-15,Xx Yy .:YXf).(xfy )(XfRfXxxf)(XYfxy2022-3-15 4 , 3 , 2 , 1 BA14 , 43 , 32 , 21:f:nfnm. . 1224, 1224ff但但是是 （ ）（ ） 2022-3-1512nnAAAD定义 设有 个集合 ， ， ，

3、和一个集合 。1212(,),nna aaAAA如果通过一个法则唯12ndDAAADn一的,则称 是到 的一个 元映射。1212(,); (,)nnda aaa aad叫做在之下的象叫做 在 下()的一个逆象 原象 . 用符号表示:1212(,)(,)nna aada aa: 12nAAADR设，定义： : ()()西,南西,南 =高222121212(,)(,)nnna aaa aaaaa: 12nAAAD则 是一个到 的映射.AB则不是一个到D的映射.2:,11,1aaabb若是这里AD则 不是一个 到的映射.1212nAAAD设和都是到 的映射.则12,nA AAD12,nA AA 12

4、=1212112212( ,),( ,)( ,)nnnna aaAAAa aaa aa有 : ( , )( , ).a ba bab: A BD( , )a bd.a b : ( , )aa ba bb定义A BD则 是一个到 的代数运算,也就是一个普通的除法.,aA bBa b b a 有=AAAA 若是一个到 的代数运算定2，则称集合义A对于运算 是闭的，或称 是 的代数运算或二元运算。 是正整数集，问下列运算是不是是正整数集，问下列运算是不是 的代数运算的代数运算? ?1)aa bb，2)10a ba b 223)a bab，4)(1)a ba b 不是不是 的代数运算的代数运算。 的幂

5、集的幂集代数运算代数运算? ? 的代数运算的代数运算？ 1212 , ,nmijijAa aaBb bbab dD设而=，A BD则到 的二元运算 可以表示为(称为运算表或乘法表)：1211112122122212mmmnnnnmbbbadddadddaddd,ARabAA ，规定 的代数运引例算如下：=23a bab，请计算：()()a bcab c(23 )abc2(23 )3abc463abc(23 )abc23(23 )abc269abc()()a bcab c()a bc ()ab c AA abca bcab cabc称一个集合 的代数运算 适合结合律，假如对于的任何三个元 ， ，

6、 来说，都有（）（） ( 注意： ， ， 可以是 相定义同 的元) 。a b c 12nAnaaa一般情况，在 里任意取 个元 ， ， ， ，符号12naaa当然也是没有意义的，但是 11221212()()()nnNnaaaaaaaaa， ， 12()naaa12(.)naaa(2)n n12,.na aa12(.)naaa12.naaa(2)n n 12,.na aa12()na aa12.na aa 1n 12()naaa1212()()(1)nnaaaaaa12()naaa1212()naaab bi1b12,ia aa2bni12,iinaaaini1,n,211iaaabniiaa

7、ab212)()(212121niiinaaaaaaaaa1i 1i )(21naaa)()(2121niiiaaaaaa)()(2121niiiaaaaaa)(321naaaanaaa21,ARabAA ，规定 的代数运引例算如下：=23a bab，计算：a b b a 23baa bb a23 ,ab.AADAaba bb a 我们说，一个到 的一个代数运算 适合交换律，假如对于 的任何两个元 ， 来说都有定义 12nAaaa 假如一个集合 的一个代数运算 同时适合结合律与交换律，那么在中，元的次序可以任定理 意掉换。用归纳法证明 (略).今后对于运算，总要求结合律成立，一般不要求交注 换

8、律成立。:,:,BAAA AA1212()()()baab ab a和12()BbAaa称代数运算 与适合第一个分配律 定义左，假如对于 的任意元 ， 的任意元 ，分配，都有1212()()()baab ab a=BA设 和 都是全体实数的集合，与就是普通的乘法与加法，则上述左分配律 例如就变为:1212()()()b aababa=12nBbAaaa设适合结合律，而且 与适合第左分配律，则 对于 的任意元 ， 的任意元 ， ，定，理1,都有1212()()()()nnbaaab ab ab a=12()nbaaa121() nnbaaaa121()()nnbaaab a121()()()()

9、nnb ab abab a121()()()()nnb ab abab a:,:,A BAA AA1212()()()aababab和12()BbAaa称代数运算 与适合第二个分配律 定义右，假如对于 的任意元 ， 的任意元 ，分配，都有1212()()()aababab=12nBbAaaa设适合结合律，而且 与适合第右分配律，则 对于 的任意元 ， 的任意元 ， ，定，理2,都有1212()()()()nnaaabababab=2022-3-15,Xx Yy .:YXf).(xfy XYfxy,aAaAaaAA 1) 如果使得 ( )=则 称为 到 的满射.: AA映射的分类,=abAaba

10、baba bAA2) 如果，( )( ) 或者( )( )，则 称为 到 的单射.1,2,3,2,4,6,12 242ABnn 例1 设，定义：， ，AB则 是 到 的一个一一映射。=ABAB对两个有限集合 和 来说，它们之间能够建立双射的充要条件是，即二者包含的元素个数相等。=1ABABAB设 和 是两个有限集合且，则 到 的映射 是满射当且仅当 是单射。即有限集合之间的单射或满射就是 一 定理一映射。1111,= ,( ).2AAaaAAaaaaaaa一个集合 与 之间的一一映射 ：可以诱导出 与 之间的一一映射： （ ）其中 在下的象 满足通定理常称为是 的逆映射。11）是映射11( )

11、aAaaaaaa ，由于 是一一映射， 在 之下有唯一确定的原象，即满足的 是唯一确定的。因此， 在下象 是唯一确定的，从而是映射。11( )= ,( )aaaaaa：其中 满足12）是单射111,.( )= ( )=a bAababaabb，( )=( )由于 是单射，故，从而是单射。13）是满射11aAaaaa ，由于 是满射， 在 之下有原象 ，故 在下有象 ，从而是满射。xAxe 设 是实数的集合， ：例，则2是21,2Aaaaaaa 例3 设 是整数的集合，定义 ：，是偶数时是奇数时则 是()( )( )a bab( ,)A ( ,)A: AAabA()a b( )( )abAxxa

12、 bab,()( )( )AAAAa bAa bab 设( ，)与( ，)是两个代数系统，一个 到的映射 称为对于代定义同数运算 和来说态映射的如，假都有AAA ( ，)A ( ，)1, 1A A1:1aaA2:1,1,aaaa若 是偶数若 是奇数2AA2AAAababab2( )1,a2( )1,b2()1ab111()1( ) ( )abab 11AA222()( )( )abababab222( )1,( )1,()1abab 222()( )( )abab所以仍然有，222( )( )1,()1abab 222()( )( )abab所以仍然有，ababab31a：AaAA3aAb22

13、2()( )( )abab222( )1,( )1,()1ababAAfAA()a bc ,aa bb cc, ,a b cAAffabc ( )( )( )f af bf c()( )f a bf c()fa bc()f ab c( )()f af b c( ) ( )( )f af bf c()abc , , AAAAAA, , , , , , ,()( )( )AAAAa bAa bab 设( ，)与( ，)是两个代数系统，一个 到的称为对于代数运算 和来定义一一映射同构映射，说的假如，都有AAAAAA 设( ，)与( ，)是两个代数系统，如果 与 之间对于代数运算 和来说，存在一个则称

14、对于代数运算 和来说，定义同构映射，同构与，记为:AA。, )( , )1,2,34,5,6AAAA 设 例(与是两个代数系统，其中，它们的代数运算1如下表:123456133346662333566633336666,1425 36AA定义 ：，,AAa bA则 是 到 的一一映射，且()(3)6( )( )a bab, ), )AAAA故 是 与 间的，因此，代同构映数(射系(与同构.分析：12331, ), ),AAAAaaaa例 中的代数系(与(虽然在形式上不相同，但在本质上是一样的，即 与 都有三个元素，如果都用,来表示，则它们代数运算的结果都是第三个元素 。它们都可以用一个运算乘法

15、表来表示：, ), )AA因此抽象地看，代数系(与(是相同的代数系统。123133323333333aaaaaaaaaaaaaaaAA,. , , cbaA,. , , cbaA AAaabbccx yz，( )( )()( )xyxyx yzz, ), )AA总之，两个同构的代数系(与(，抽象地来看。没有什么本质区别。若一个集合有一个与这个集合的代数运算有关的性质，那么另一个集合也有一个完全类似的性质。 显然，并不是任意两个代数系统都是同构的。RZ问代数系统( ，)与( ，)是 例2否同构？RZ 假设( ，)与( ，)同构，不妨设同构映射是证，由于Z( )1aRa ，故，,()22aaRnZ

16、n对于又，故= ( )()( )( )22222aaaaan112nZ （矛盾（矛盾）:12, 21, 331 2 3123 3 33 3 33 3 3,()( )( )3a bAa bbb显然 是一一映射，且.aR baRb 或( , ),RARAASa ba bA aRb根据定义， 上的二元关系 可以用的如下子集来表示：( , ).AASARaRba bS反之，的任意子集 也可以确定 上的一个二元关系 ：1,2,3,2,1AaRbab设规定： 例(1,1).RRAS则 是 的一个关系，且,20AaRbba设所有实数规定：例 RA则 是 的一个关系，它就是实数间普通的“”关系。,.aA aR

17、a aRbbRa,aRb aRcaRc 2 ARAR集合 的一个关系 叫做定义等价关系的一个,如果 满足： .Rabab等价关系 通常记为“ ”，即 与 等价，就记为12,sAMA AA根据定义，集合 的一个分类满足：1=.siijiiiAAijAAA A 1) ， 是 的非空子集；2) ，；3) = | .5AaAaxA x aaaAa 设 是集合 的一个等价关系，记称为 关于 的，等价类 也常等类 定记成义价= .a ba b的充分必要条件 质是性 .a aaaa 根据等价关系的自反性，知，从而().= . : = .a bxaxaxbxba ba baaaba b：设，则根据传递性所证明以设，则由知，于是 AA集合 的一个等价关系 决 定 的一 理 定2个分类。=.ababcAcacbc acba ba babab 2) 设，假设，则，且，于是且，从而，这就得到，与已知矛盾。因此，时 .aaa 1) ，3)= .aMaMaMaAaaAaaAa A ，由知，；另一方面，显然。因此， |.MMa aAMA记等价关系 决定的不同等价类的集合为，即下面证明是 集合 的一 证明个分类。