点、直线的对称问题

1、高一年级高一年级 数学数学第三章第三章 直线与方程直线与方程课题课题:点、直线的对称问题点、直线的对称问题求知索源 正心致远复习回顾复习回顾一、有关知识：一、有关知识：（一）基础知识（一）基础知识1、直线互相垂直的条件：、直线互相垂直的条件：_2、P1( x1，y1)、P2 ( x 2，y2 ) 的中点坐标为的中点坐标为 _3、点、点 ( x o，yo ) 在直线在直线 Ax + By + C = 0 上的上的条件是条件是 _斜率存在，斜率存在，k1k2=1Axo + Byo + C = 01212,22xxyy 复习回顾复习回顾（1）点到直线距离公式：）点到直线距离公式： ，0022AxBy

2、CdAB（2）两平行直线间的距离：）两平行直线间的距离： ，2122CCdAB注意：用该公式时应先将直线方程化为一般式；注意：用该公式时应先将直线方程化为一般式；课题引入课题引入1、点关于点对称、点关于点对称2、直线关于点对称、直线关于点对称3、点关于直线对称、点关于直线对称4、直线关于直线对称、直线关于直线对称(三三)四类对称四类对称知识探究知识探究对称问题对称问题中心对称问题中心对称问题点关于点的对称点关于点的对称线关于点的对称线关于点的对称轴对称问题轴对称问题点关于线的对称点关于线的对称线关于线的对称线关于线的对称知识探究知识探究轴对称轴对称中心对称中心对称有一条对称轴有一条对称轴:直线

3、直线有一个对称中心有一个对称中心:点点定定义义沿轴翻转沿轴翻转180绕中心旋转绕中心旋转180翻转后重合翻转后重合旋转后重合旋转后重合性性质质1、两个图形是全等形、两个图形是全等形2、对称轴是对应点连、对称轴是对应点连线的垂直平分线线的垂直平分线3、对称线段或延长线相、对称线段或延长线相交，交点在对称轴上交，交点在对称轴上1、两个图形是全等形、两个图形是全等形2、对称点连线都经过、对称点连线都经过对称中心，并且被对称对称中心，并且被对称中心平分。中心平分。知识探究知识探究例例1. 已知点已知点A(5,8) ，B(-4 ，1) ，试求，试求A点关于点关于B点点的对称点的对称点C的坐标的坐标.(一

4、一)点关于点对称点关于点对称解题要点解题要点：中点公式的运用中点公式的运用ACBxyOC(-13，-6)-4=5+x 21=8+y 2解解:设设C(x,y) 则则得得x=-13y=-6 知识探究知识探究例例2.求直线求直线l 1 : 3x-y-4=0关于点关于点P(2,-1)对称的直线对称的直线l 2的方程的方程.(二二)线关于点对称线关于点对称 解题要点：解题要点： 法一：法一： l 2上的任意一点的对称点在上的任意一点的对称点在l 1上上; 法二：法二： l1l2 点斜式或对称两点式点斜式或对称两点式; 法三：法三： l 1 / l 2且且P到两直线等距到两直线等距.解解 ：设：设A(x，

5、y)为为l2上任意一点上任意一点 则则A关于关于P的对称点的对称点A在在l1上上3(4-x)-(-2-y)-4=0即直线即直线l 2的方程为的方程为3x-y-10=0. Al2l1yxOPA 知识探究知识探究例例3.已知点已知点A的坐标为的坐标为(-4,4)，直线，直线l 的方程为的方程为3x+y-2=0,求点求点A关于直线关于直线l 的对称点的对称点A的坐标的坐标. （三）点关于直线对称（三）点关于直线对称解题要点解题要点： kl kAA = -1 AA中点在中点在l 上上 AAYXO(x，y)(2，6)-3y-4x-(-4)=-13-4+x 2+4+y 2-2=0解：设解：设A（x,y)

6、（l为对称轴）为对称轴）知识探究知识探究例例4. 试求直线试求直线l1:x-y+2=0关于直线关于直线 l2:x-y+1=0 对称的直线对称的直线l 的方程。的方程。（四）线关于线对称（四）线关于线对称L2L1L解：设解：设l方程为方程为x-y+m=0则则 与与 距离等于距离等于 与与 距离距离L1L2L2L建立等量关系，解方程求建立等量关系，解方程求mxoy知识探究知识探究例例5. 试求直线试求直线l1:x-y-2=0关于直线关于直线 l2:3x-y+3=0对称的直线对称的直线l 的方程的方程. L1L2Lx-y-2=03x-y+3=0P L:7x+y+17=0.yXO解：解：P( ， )-

7、52-92得得在在 上任取一点上任取一点Q(2,0),求其关于求其关于 的对称点的对称点Q(x,y)L1 L2 Q(2,0), Q(x,y)3y-0 x-2=-13y+0 2+3=0则则X+22求出求出Q点坐标后，两点式求点坐标后，两点式求L方程方程.知识探究知识探究解题要点解题要点：(先判断两直线位置关系先判断两直线位置关系)（1）若两直线相交，先求交点）若两直线相交，先求交点P,再在再在 上取一点上取一点Q求其对称点得另一点求其对称点得另一点Q两点式求两点式求L方程方程L1求求 关于关于 的对称直线的对称直线L的方程的方法的方程的方法L1L2则则 与与 距离等于距离等于 与与 距离距离L1

8、L2L2L建立等量关系，解方程求建立等量关系，解方程求m(2)若若 ，设，设L方程为方程为x-y+m=0L1L2规律方法规律方法（一）常见的对称点结论（一）常见的对称点结论 1. 点点 关于原点的对称点为关于原点的对称点为 ;2. 点点 关于点关于点 的对称点为的对称点为 ;3. 点点 关于关于x轴的对称点为轴的对称点为 ; 4. 点点 关于关于y轴的对称点为轴的对称点为 ;5. 点点 关于关于y=x的对称点为的对称点为 ;6. 点点 关于关于y= -x的对称点为的对称点为 ;( , )a b),(ba(-a,-b),(ba),(nm(2m-a,2n-b) ),(ba),(ba),(ba),(

9、ba(a,-b)(b,a)(-b,-a)(-a,b)三、规律方法：三、规律方法：规律方法规律方法0)(CyBAx0)(CByxA0CAyBx1. 直线关于原点的对称直线的方程为直线关于原点的对称直线的方程为:2.直线关于直线关于x轴的对称直线的方程为轴的对称直线的方程为:3.直线关于直线关于y轴的对称直线的方程为轴的对称直线的方程为:4.直线关于直线直线关于直线y=x的对称直线的方程为的对称直线的方程为:5.直线关于直线直线关于直线y= -x的对称直线的的对称直线的 方程为方程为0)()(CxByA0)()(CybxA（二）常用的对称直线结论（二）常用的对称直线结论:0lAxByC设设直直线线

10、 的的方方程程为为 1.曲线关于点的对称问题曲线关于点的对称问题.曲线曲线f(x,y)=0关于点关于点P(m,n)对称的曲对称的曲线方程为线方程为_.f(2m-x,2n-y)=0特殊地特殊地,曲线曲线f(x,y)=0关于原点关于原点(0,0)对对称的曲线方程为称的曲线方程为_.f(-x,-y)=0（三）对称中的一般性结论（三）对称中的一般性结论:曲线曲线f(x,y)=0(1)关于关于x轴对称的曲线方程为轴对称的曲线方程为_,关于关于y轴对称的曲线方程为轴对称的曲线方程为_,关于直线关于直线y=x对称的曲线方程为对称的曲线方程为_;关于直线关于直线y=-x对称的曲线方程为对称的曲线方程为_.f(

11、x,-y)=0f(-x,y)=0f(y,x)=02.曲线关于直线的对称问题曲线关于直线的对称问题.f(-y,-x)=0巩固练习巩固练习1.平面直角坐标系中直线平面直角坐标系中直线y=2x+1关于点关于点(1,1)对称的直线对称的直线方程是方程是( )(A)y=2x-1 (B)y=-2x+1 (C)y=-2x+3 (D)y=2x-322.直线直线3x-4y+5=0关于关于x轴对称的直线方程为轴对称的直线方程为( )(A)3x+4y+5=0 (B)3x+4y-5=0(C)-3x+4y-5=0 (D)-3x+4y+5=0巩固练习巩固练习3.填空填空:写出直线写出直线2x-3y+6=0(1)关于关于x

12、轴对称的直线方程为轴对称的直线方程为_;(2)关于关于y轴对称的直线方程为轴对称的直线方程为_;(3)关于原点对称的直线方程为关于原点对称的直线方程为_;(4)关于直线关于直线y=x对称的直线方程为对称的直线方程为_;(5)关于直线关于直线y=-x对称的直线方程为对称的直线方程为_.2x+3y+6=02x+3y-6=02x-3y-6=02y-3x+6=02y-3x-6=0备用练习备用练习的对称点。关于求已知直线lPyxl)5 ,4(,033:.45.求直线求直线 :y=2x+3关于直线关于直线l:y=x+1对称对称的直线的的直线的 方程方程.1L2L6. ABC的顶点的顶点A的坐标为（的坐标为（1，4），），B，C平分平分线的方程分别为线的方程分别为x-2y=0和和x+y-1=0