平稳时间序列建模带程序

1、3.3平稳序列建模平稳序列建模 v本节结构 建模步骤 模型识别 参数估计 模型检验 模型优化 序列预测建模步骤建模步骤平平稳稳非非白白噪噪声声序序列列计计算算样样本本相相关关系系数数模型模型识别识别参数参数估计估计模型模型检验检验模模型型优优化化序序列列预预测测YN建模步骤建模步骤计算样本相关系数计算样本相关系数v样本自相关系数v样本偏自相关系数nttkntkttkxxxxxx121)()(DDkkk平稳性检验、纯随机检验平稳性检验、纯随机检验SAS程序实现程序实现proc arima data=数据集名称;identify var=变量名称;run;该命令后会输出以下信息：1、分析变量的描述

2、统计；2、样本自相关图；3、样本逆自相关图；4、样本偏自相关图；5、纯随机检验结果。建模步骤建模步骤模型识别模型识别v 基本原则选择模型拖尾P阶截尾AR(P)q阶截尾拖尾MA(q)拖尾拖尾ARMA(p,q)kkk模型定阶的困难模型定阶的困难v因为由于样本的随机性，样本的相关系数不会呈现出理论截尾的完美情况，本应截尾的 或 仍会呈现出小值振荡的情况v由于平稳时间序列通常都具有短期相关性，随着延迟阶数 ， 与 都会衰减至零值附近作小值波动v当 或 在延迟若干阶之后衰减为小值波动时，什么情况下该看作为相关系数截尾，什么情况下该看作为相关系数在延迟若干阶之后正常衰减到零值附近作拖尾波动呢？ kkkkk

3、kkkkk样本相关系数的近似分布样本相关系数的近似分布vBarlettvQuenouillennNk,)1, 0(nnNkk,)1, 0(模型定阶经验方法模型定阶经验方法v 95的置信区间v 模型定阶的经验方法 如果样本(偏)自相关系数在最初的d阶明显大于两倍标准差范围，而后几乎95的自相关系数都落在2倍标准差的范围以内，而且通常由非零自相关系数衰减为小值波动的过程非常突然。这时，通常视为(偏)自相关系数截尾。截尾阶数为d。22Pr0.9522Pr0.95kkknnnn建模步骤建模步骤参数估计参数估计v待估参数 个未知参数v常用估计方法 矩估计 极大似然估计 最小二乘估计2pq211, ,pq

4、 参数估计方法参数估计方法矩估计矩估计v原理 样本自相关系数估计总体自相关系数 样本一阶均值估计总体均值，样本方差估计总体方差111111( ,)( ,)pqp qpqp q 1niixxn2221221211xqp例例3.12:求求AR(2)模型系数的矩估计模型系数的矩估计vAR(2)模型vYule-Walker方程v矩估计（Yule-Walker方程的解）ttttxxx22112112121112121112121221例例3.13:求求MA(1)模型系数的矩估计模型系数的矩估计vMA(1)模型v方程v矩估计11tttx2201111220111(1)1 12112411例例3.14:求求

5、ARMA(1,1)模型系数的矩估计模型系数的矩估计vARMA(1,1)模型v方程v矩估计1111ttttxx1111 112011 1211()(1)12 1122122112121,2,242,24,ccccccc对矩估计的评价对矩估计的评价v 优点 估计思想简单直观 不需要假设总体分布 计算量小（低阶模型场合）v 缺点 信息浪费严重只用到了p+q个样本自相关系数信息，其他信息都被忽略 估计精度差v 通常矩估计方法被用作极大似然估计和最小二乘估计迭代计算的初始值 参数估计方法参数估计方法极大似然估计极大似然估计v原理 在极大似然准则下，认为样本来自使该样本出现概率最大的总体。因此未知参数的极

6、大似然估计就是使得似然函数（即联合密度函数）达到最大的参数值 ,);(max),;,(21121kkxpxxL似然方程似然方程v由于 和 都不是 的显式表达式。因而似然方程组实际上是由p+q+1个超越方程构成，通常需要经过复杂的迭代算法才能求出未知参数的极大似然估计值 ( )Sln 0)(21ln21);(02)(2);(2422SxlSnxl对极大似然估计的评价对极大似然估计的评价v优点 极大似然估计充分应用了每一个观察值所提供的信息，因而它的估计精度高 同时还具有估计的一致性、渐近正态性和渐近有效性等许多优良的统计性质v缺点 需要假定总体分布参数估计方法参数估计方法最小二乘估计最小二乘估计

7、v原理 使残差平方和达到最小的那组参数值即为最小二乘估计值 211111)(min)(min)(ntqtqtptpttxxxQQ条件最小二乘估计条件最小二乘估计v 实际中最常用的参数估计方法v 假设条件v 残差平方和方程v 解法 迭代法0 ,0txtnitititnitxxQ121112)(对最小二乘估计的评价对最小二乘估计的评价v优点 最小二乘估计充分应用了每一个观察值所提供的信息，因而它的估计精度高 条件最小二乘估计方法使用率最高v缺点 需要假定总体分布建模步骤建模步骤模型检验模型检验v模型的显著性检验 整个模型对信息的提取是否充分v参数的显著性检验 模型结构是否最简建模步骤建模步骤模型的

8、显著性检验模型的显著性检验v 目的 检验模型的有效性（对信息的提取是否充分）v 检验对象 残差序列v 判定原则 一个好的拟合模型应该能够提取观察值序列中几乎所有的样本相关信息，即残差序列应该为白噪声序列 反之，如果残差序列为非白噪声序列，那就意味着残差序列中还残留着相关信息未被提取，这就说明拟合模型不够有效模型显著性检验模型显著性检验假设条件假设条件v原假设：残差序列为白噪声序列v备择假设：残差序列为非白噪声序列0120,1mHm：mkmHk，：至少存在某个1, 01模型显著性检验模型显著性检验检验统计量检验统计量vLB统计量221(2)() ( )mkkLBn nmnk模型检验模型检验参数显

9、著性检验参数显著性检验v目的 检验每一个未知参数是否显著非零。删除不显著参数使模型结构最精简 v假设条件v检验统计量mjHHjj10:0:10)()(mntQamnTjjjj参数估计、模型检验、参数检验参数估计、模型检验、参数检验SAS程序实现程序实现 Estimate p=自回归部分阶数，q=移动平均阶数，Method=估计参数的方法;其中估计参数方法缩写：其中估计参数方法缩写：ML：极大似然估计方法；：极大似然估计方法；ULS:最小二乘估计方法；最小二乘估计方法；OLS：条件最小二乘估计。：条件最小二乘估计。如果不加以说明，如果不加以说明，SAS默认估计方法是最小二乘估默认估计方法是最小二

10、乘估计方法。计方法。案例分析之一案例分析之一例例3.9v选择合适的模型拟合1950年2008年我国邮路及农村投递线路每年新增里程数序列。例例3.9序列时序图序列时序图例例3.9白噪声检验白噪声检验v时序图显示序列没有显著非平稳特征。白噪声检验显示序列值彼此之间蕴含着相关关系，为非白噪声序列。例例3.9序列自相关图序列自相关图例例3.9序列偏自相关图序列偏自相关图例例3.9拟合模型识别拟合模型识别v 样本自相关图显示除了延迟1-3阶的自相关系数在2倍标准差范围之外，其他阶数的自相关系数都在2倍标准差范围内波动。根据自相关系数的这个特点可以判断该序列具有短期相关性，进一步确定序列平稳。v 考察自相

11、关系数衰减向零的过程，可以看到有明显的正弦波动轨迹，这说明自相关系数衰减到零不是一个突然的过程，而是一个有连续轨迹的过程，这是相关系数拖尾的典型特征v 考察偏自相关系数衰减向零的过程，除了1-2阶偏自相关系数在2倍标准差范围之外，其他阶数的自相关系数都在2倍标准差范围内做小值无序波动，这是一个典型的相关系数2阶截尾特征v 本例中，根据自相关系数拖尾，偏自相关系数2阶截尾属性，我们可以初步确定拟合模型为AR(2)模型。案例分析案例分析例例3.9拟合模型拟合模型v确定1950年2008年我国邮路及农村投递线路每年新增里程数序列拟合模型的口径。 拟合模型：AR(2) 估计方法：极大似然估计 模型口径

12、128.93830.718530.5294ttttxxx2()19.61471tVar例例3.9模型显著性检验检验模型显著性检验检验v检验1950年2008年我国邮路及农村投递线路每年新增里程数序列拟合模型的显著性 v残差白噪声序列检验结果延迟阶数LB统计量P值检验结论62.340.6736拟合模型显著有效123.270.9744184.070.9988(0.05)例例3.9参数显著性检验参数显著性检验v检验1950年2008年我国邮路及农村投递线路每年新增里程数序列拟合模型参数的显著性 v参数检验结果检验参数t统计量P值结论3.500.0005显著非零6.460.0001显著非零-4.750

13、.0001显著非零1(0.05)2案例分析之二案例分析之二例例3.10美国科罗拉多州某一加油站连续57天的OVERSHORT序列 例例3.10白噪声检验结果白噪声检验结果例例3.10序列自相关图序列自相关图例例3.10序列偏自相关图序列偏自相关图例例3.10拟合模型识别拟合模型识别v 自相关图显示除了延迟1阶的自相关系数在2倍标准差范围之外，其它阶数的自相关系数都在2倍标准差范围内波动。根据这个特点可以判断该序列具有短期相关性，进一步确定序列平稳。同时，可以认为该序列自相关系数1阶截尾v 偏自相关系数显示出典型非截尾的性质。v 综合该序列自相关系数和偏自相关系数的性质，为拟合模型定阶为MA(1

14、) 例例3.10条件最小二乘估计结果条件最小二乘估计结果例例3.10模型显著性检验及估计结果输出模型显著性检验及估计结果输出例例3.10拟合模型拟合模型v确定美国科罗拉多州某一加油站连续57天的OVERSHORTS序列拟合模型的口径 拟合模型：MA(1) 估计方法：条件最小二乘估计 模型口径ttBx)82303. 01 (40351. 4929.2178)(2Var例例3.10续续:对对OVERSHORTS序列的拟合模型进行检验序列的拟合模型进行检验 v 残差白噪声检验v 参数显著性检验检验参数t统计量P值结论均值3.750.0004显著非零10.600.0001显著非零延迟阶数LB统计量P值

15、结论63.150.6772模型显著有效129.050.61711案例分析之三案例分析之三例例3.111880-1985全球气表平均温度改变值原序列图 案例分析之三案例分析之三例例3.11v 1880-1985全球气表平均温度改变值差分序列 例例3.11序列自相关图序列自相关图例例3.11序列偏自相关图序列偏自相关图例例3.11拟合模型识别拟合模型识别v自相关系数显示出不截尾的性质v偏自相关系数也显示出不截尾的性质v综合该序列自相关系数和偏自相关系数的性质，可以尝试使用ARMA(1,1)模型拟合该序列例例3.11拟合模型拟合模型v确定1880-1985全球气表平均温度改变值差分序列拟合模型的口径 拟合模型：ARMA(1,