第十二章期权定价的数值方法

1、Financial Engineering 授课人：王正文 讲 师 武汉大学经济与管理学院 邮箱： 在第十一章中，我们得到了期权价值所满足的偏微分方程，并解出了特定条件下的期权解析定价公式。但在很多情形中，我们无法得到期权价值的解析解，这时人们经常采用数值方法（Numerical Procedures）为期权定价，主要包括二叉树方法（Binomial Trees）、蒙特卡罗模拟（Monte Carlo Simulation）和有限差分法（不讲）。在这一章里，我们将介绍如何借助上述两种数值方法来为期权定价。一、二叉树模型的基本方法一、二叉树模型的基本方法 把期权的有效期分为很多很小的时间间隔 ，

2、并假设在每一个时间间隔 内证券价格只有两种运动的可能：1、从开始的 上升到原先的 倍，即到达tt2、下降到原先的 倍，即 相应地，期权价值也会有所不同， 和 。SuSudSdufdf1,1ud二、证券价格的树形结构二、证券价格的树形结构 二叉树模型的思想实际上是在用大量离散的小幅度二值运动来模拟连续的资产价格运动 相同期限下步长越小精确度越高二、证券价格的树形结构二、证券价格的树形结构 二、证券价格的树形结构二、证券价格的树形结构 二、证券价格的树形结构二、证券价格的树形结构 33033 33,3212123 13,23033 333,0|jijijjijijjijijSuSu dSu dSu

3、 dSuSu uSu dSu dSu dSdSu dSudSu d三、参数的确定三、参数的确定 在风险中性世界里：（1）所有可交易证券的期望收益都是无风险利率；（2）未来现金流可以用其期望值按无风险利率贴现。在风险中性的条件下, 参数值满足条件：SdppSuSetr)1 ( 三、参数的确定三、参数的确定 假设证券价格遵循几何布朗运动，则：22222222)1 ()1 (dppuSdSpupStS2222)1 ()1 (dppudpput再设定： （第三个条件的设定则可以有所不同， 这是Cox、Ross和Rubinstein所用的条件） 1ud三、参数的确定三、参数的确定 由以上三式可得，当 很

4、小时：tdudeptrteuted三、参数的确定三、参数的确定 得到每个结点的资产价格之后，就可以在二叉树模型中采用倒推定价法，从树型结构图的末端T时刻开始往回倒推，为期权定价。 如果是欧式期权，可通过将 时刻的期权价值的预期值在 时间长度内以无风险利率 贴现求出每一结点上的期权价值；Ttr三、参数的确定三、参数的确定 如果是美式期权，就要在树型结构的每一个结点上，比较在本时刻提前执行期权和继续再持有 时间，到下一个时刻再执行期权，选择其中较大者作为本结点的期权价值。t四、二叉树方法的一般定价方法四、二叉树方法的一般定价方法 假设把该期权有效期划分成N个长度为 的小区间，同时用 表示结点 处的

5、证券价格可得： ，其中若期权不被提前执行， 后，则： 所以 实际上表示在时间 时第j个结点处的美式看跌期权的价值tjijdSu),(jimax(,0)jN jN jfX Su d，0,1,jN t1,11,(1)r tijijijfepfp f )0 ,0(ijNifijti1,11,max,(1)ji jr tijijijfX Su depfp f 五、有红利资产期权的定价五、有红利资产期权的定价 当标的资产支付连续收益率为 的红利时，在风险中性条件下，证券价格的增长率应该为， 因此：qrqdppuetqr)1 ()(dudeptqr )(teuted一、一、p=0.5p=0.5的二叉树图的

6、二叉树图 在确定参数 、 和 时，不再假设 ，而令 ，可得：该方法优点在于无论 和 如何变化，概率总是不变的 udp1ud0.5p 222r qttu e 222r qttd e t二、三叉树图二、三叉树图 每一个时间间隔 内证券价格有三种运动的可能：1、从开始的 上升到原先的 倍，即到达 ；2、保持不变，仍为 ；3、下降到原先的 倍，即tSuSuSdSd二、三叉树图二、三叉树图 二、三叉树图二、三叉树图 三、控制方差技术三、控制方差技术 基本原理：期权A和期权B的性质相似，我们可以得到期权B的解析定价公式，而只能得到期权A的数值方法解。假设： , 代表期权B的真实价值， 表示关于期权A的较优

7、估计值， 和 表示用同一个二叉树、相同的蒙特卡罗模拟或是同样的有限差分过程得到的估计值）则期权A 的更优估计值为： BBffAAffBfAfBBffAAffBfAf四、适应性网状模型四、适应性网状模型 在使用三叉树图为美式期权定价时，当资产价格接近执行价格时和接近到期时，用高密度的树图来取代原先低密度的树图。 即在树图中那些提前执行可能性较大的部分，将一个时间步长 进一步细分，如分为 ，每个小步长仍然采用相同的三叉树定价过程 t4t Monte Carlo: Based On Probability & Chance基本思路：由于大部分期权价值实际上都可以归结为期权到期回(payoff

8、)的期望值的贴现；因此，尽可能地模拟风险中性世界中标的资产价格的多种运动路径，计算每种路径结果下的期权回报均值，之后贴现就可以得到期权价值。 在风险中性世界中， 为了模拟路径，我们把期权的有效期分为N个长度为时间段，则上式的近似方程为 dSr q SdtSdz 2lnln2S ttS tr qtt 2exp2S ttS tr qtt （是从标准正态分布中抽取的一个随机样本） 随机样本的产生和模拟运算次数的确定：1. 的产生 是服从标准正态分布的一个随机数。如果只有一个单变量，则可以通过下式获得：其中 是0到1的相互独立的随机数。1216iiRiR112i 2. 模拟运算次数的确定如果对估计值要求95的置信度，则期权价值应满足（ 是进行运算的次数， 为均值， 是标准差）1.961.96fMMM 人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广