第5讲群和子群

1、1离散数学（二）离散数学（二）群和子群群和子群群的定义群的定义11群的性质和结构群的性质和结构2主要内容主要内容: :群的性质和结构群的性质和结构重点重点: : 群同态群同态难点难点: :重点和难点重点和难点: :子群及其判定定理子群及其判定定理3群同态群同态4一、半群、独异点和群一、半群、独异点和群群的定义：群的定义：设是代数,若*满足: (1) G 关于* 封闭； (2) G上运算*可结合； (3) G 关于*存在么元e； (4) G中每个元素关于*存在逆元, 即对每一aG, 存在一个元素a-1, 使a-1 * a = a * a-1 = e。 则称代数系统为群。为半群为半群为独异点为独异

2、点为群为群(2) G上运算上运算*可结合：对所有的可结合：对所有的a, b, c G有，有，(a*b)*c=a*(b*c)一、半群、独异点和群一、半群、独异点和群对群 ， (1) 若运算*是可交换，则称该群为可交换群可交换群, 或称阿贝尔群阿贝尔群。 (2) 若G是无限集，则称为无限群无限群 (infinite group) 若 G是有限集，则称为有限群有限群 (finite group) 有限群G的基数|G|称为群的阶数群的阶数。例例1 (1) 是阿贝尔群，无限群 (2) 代数是阿贝尔群, 这里x-1=k-x。 但代数不是群, 因为0元素没有逆元。二、群的性质与结构二、群的性质与结构定理定理

3、1 是群, 则对于任何a、bG, (a) 存在唯一的元素xG, 使得a * x=b。 (b) 存在唯一的元素yG, 使得y * a=b。证明：证明： (a) 设么元eG, 存在性存在性：取x= a-1 * b,则 a * x a * (a-1 * b)=(a * a-1) * b= e * b=b 唯一性唯一性：存在x1,x2G, 使得a * x1=b，a * x2=b，那么 x1=e * x1=(a-1 * a) * x1= a-1 * (a * x1) =a-1 * (a * x2) = (a-1 * a) * x2=e*x2=x2 (b)同理可证。方程解的唯一性定理二、群的性质与结构二、

4、群的性质与结构定理定理2 如果是一个群, 则对于任何a、b、cG,(a) a*b=a*c b=c。(b) b*a=c*a b=c。证明：证明： 因为群的每一元素都有逆元, a-1 * (a *b)=a-1 * (a * c) 注意到：左边= (a * a-1) * b =e * b=b 右边=a-1 * (a * c)=(a * a-1) * c=e * c=c 本定理显然成立。定理定理3 么元是群中唯一等幂元素。证明证明：如果x是等幂元素, 则x*x=x。x*x=x=x*e,由定理2消去律知x=e，所以么元是群中唯一等幂元素。消去律二、群的性质与结构二、群的性质与结构定理定理4 设为群，那么

5、当G e时, G无零元。证明：证明：因当群的阶为1(即G = e)时，它的唯一元素是视作么元e。设|G|1 且群有零元。那么群中任何元素x G，都有 x = x = e，所以，零元就不存在逆元，与是群的假设矛盾(具体:群中的每一个元素存在逆元)。群中无零元二、群的性质与结构二、群的性质与结构定理定理5 群的运算表中的每一行或每一列都是G中所有元素的一个置换。证明：证明：i)证明运算表的行证明运算表的行(或列或列)中无二相同的元素中无二相同的元素(反证法反证法)。如果对应于元素a1G的那一行中有两个元素相同,即 a1i =a1j, 由于a1i = a1 * ai a1j = a1 * aj 但根

6、据定理2有ai = aj,事实上而ai aj ,矛盾。 ii) 证证G中每一元素都在运算表的每一行中每一元素都在运算表的每一行(每一列每一列)中一定出现中一定出现。 考察对应于a的行,假设任意b,必存在x,使得a * x=b,因此b必出现在对应于a的行。可见: 运算表中每一行都是G中所有元素的一个置换, 并且每一行都是不同的置换。二、群的性质与结构二、群的性质与结构 定理定理6 如果是一个群, 则对于任何a、bG, (a * b)-1= b-1 * a-1 证明：证明：由于(a * b) * (a * b)-1= (a * b)-1 * (a * b) = e和 (a * b) * (b-1

7、* a-1) = a * (b * b-1) * a-1= a * a-1 = e 同理可得 (b-1 * a-1) *(a * b) = e 即(a * b) * (b-1 * a-1) = (b-1 * a-1) *(a * b) = e 而逆元是唯一的, 所以(a * b)-1=b-1 * a-1。1112111121.).(aaaaaaannn推论：推论：二、群的性质与结构二、群的性质与结构由定理定理4可得出以下结论： 一阶群仅有一个，二阶群仅有一个, 三阶群仅一个, 五阶群仅有一个， 四阶群仅有两个，六阶群仅有两个。*eee* e a ea e a a e* e a beab e a

8、 b a b e b e a二、群的性质与结构二、群的性质与结构四阶群仅有两个：* e a b ceabc e a b c a b c e b c e a c e a b* e a b ceabc e a b c a e c b b c e a c b a e二、群的性质与结构二、群的性质与结构五阶群仅有一个 ：* e a b c deabcd e a b c d a b c d e b c d e a c d e a b d e a b c二、群的性质与结构二、群的性质与结构六阶群有两个 ：二、群的性质与结构二、群的性质与结构 为了继续介绍群的性质, 我们首先定义群的任意元素a的幂。如果nN

9、, 则nnnnaaaaaea)(110 由以上定义可知, 对任意m、kI, am, ak都是有意义的,另外群中结合律成立, 不难证明以下指数定律成立: mkkmkmkmaaaaa)(二、群的性质与结构二、群的性质与结构群元素阶的定义：群元素阶的定义： 设是一个群, 且aG, 如果存在正整数n使an=e, 则称元素的阶是有限的, 使an=e成立的最小的正整数n称为元素元素a的阶的阶(元素a的周期)。a的阶=minn|nI an=e 。 如果不存在这样的正整数n, 则称元素a具有无限阶无限阶。例如：例如： (1) 群的么元e的阶是1。 (2) 三阶群仅一个: a1=a a2=b a3= a1 a2

10、=a b =e a6= (a3)2 = (e)2=e a9 =e3* e a beaB e a b a b e b e a二、群的性质与结构二、群的性质与结构定理定理7 如果群的元素a具有一个有限阶n, 则ak=e当且仅当k是n的倍数。证明：证明： 充分性： 设k、m、n是整数。如果k=mn, 则ak = amn = (an)m =em = e 必要性： 假定ak=e, 且k=mn+t, 0tn, 于是at = ak-mn = ak * a-mn = e *(an)-m = e *e-m =e 由定义可知, n是使an=e的最小正整数, 而0tn,所以t=0, 得k=mn。证毕。 二、群的性质

11、与结构二、群的性质与结构定理定理8 群中的任一元素和它的逆元具有同样的阶。定理定理9 群中的任一元素和它的逆元具有同样的阶。在有限群中, 每一个元素具有一有限阶, 且阶数至多是|G|。证明证明： 设a是中任一元素。在序列a, a2, a3, , a|G|+1中至少有两元素是相等的,不妨设ar = as, 这里1sr|G|+1。 因为e= a0 = ar-r = ar * a-r = ar * a-s = ar-s 所以, a的阶数至多是r-s|G|。 证毕。 三、子群及其判定定理三、子群及其判定定理子群的定义：子群的定义：设是一个群, S是G的非空子集, 并满足以下条件: (1) 对任意a、b

12、S有a * bS ; (2) 对任意aS有a-1S; (3) eS, e是的么元, 则称是的子群。子群一定是群，如子群一定是群，如是是的子群。的子群。三、子群及其判定定理三、子群及其判定定理定理定理10 设是个群, SG, 如果 (1)若a、bS, 则a * bS； (2)若aS, 则a-1S。 那么是的子群。证明证明：对任意元素aS, 由(2)得a-1S, 再由(1)得a * a-1=eS。所以, 是的子群。三、子群及其判定定理三、子群及其判定定理定理定理11 设是一个有限群, 如果对任意元素a、bS,有a * bS, 那么是的子群。证明证明：设a是S的任一元素, 则aG, 根据定理9, a

13、具有阶数r,由于S对运算*的封闭性, 所以a, a2, , ar全在S中, 特别的， ar-1 = ar * a-1 = e * a-1 = a-1 也在S中, 这就证明了若aS, 则a-1S。根据定理10, 得出是的子群。三、子群及其判定定理三、子群及其判定定理定理定理12 设是一个群, S是G的非空子集, 如果对于S中的任意元素a, b有a* b-1S,则是的子群。证明证明： (1)因为S非空，所以存在aS,有a* a-1 = e S; (2)对任意a S,因为e S，所以a-1 = e* a-1 S; (3)对任意a,b S,因为b-1S,所以a * b =a* (b-1)-1 S。四、

14、群同态四、群同态群同态的定义群同态的定义设和是两个群, 映射h: GH称为从到的、群同态, 如果对任意a、bG,有h(a * b) = h(a) h(b) 和代数系统同态的定义6.3-2比较, 可以看出群同态的定义中省去了两条: h(eG) = eH ,和h(a-1) =h(a)-1。这里eG和eH分别是和的么元。我们证明由于群的结构, 条件(1)已蕴含了条件(2)和(3),省去是合理的。(1) h(eG) = h(eG * eG) = h(eG) h(eG)，可见h(eG)是中等幂元素, 但群中只有么元是等幂的, 所以h(eG) = eH。(2) h(a) h(a-1) = h(a*a-1)

15、=h(eG)=eH, h(a-1) h(a)=h(a-1 *a)=h(eG)=eH 所以, h(a-1) =h(a)-1 。四、群同态四、群同态定理定理13 设h是从群到群的一个群同态映射，则在h下的同态象是的子群。证明证明：(1) 证明运算 在h(G)上是封闭的。任取x,yh(G),必存在a,bG, 使得h(a)=x, h(b)=y,则有x y=h(a) h(b)=h(a*b)=h(c)h(G)和a*b=cG，(用到h是从群到的一个同态)。所以 在h(G)上是封闭的。(2) 证明的么元eHh(G)。eH=h(eG)h(G) (因eG是么元)(3) 证明h(G)每个元素h(a)都有逆元。任取x

16、h(G),必存在aG,使得h(a)=x。则x-1= h(a)-1= h(a-1)h(G) (因为G是群，故a-1G)(4) 证明H 的子集h(G)，h(G)G, eH= h(eG)h(G)。综上所述，可知综上所述，可知是是的子群。的子群。四、群同态四、群同态 设h是从群到代数系统的一个同态映射，则在h下的同态象是群, 但是可不一定是群。定理定理 14 设是一个群, 是一代数系统, 如果存在满射函数h: G H, 对任意a、bG, 有h(a*b)=h(a) h(b)，则必是一个群。证明证明：(1)证明证明H关于运算关于运算 是封闭的是封闭的。任取x,yh(G),必存在a,bG,使得h(a)=x,

17、 h(b)=y，则有x y=h(a) h(b)=h(a*b)=h(c)h(G)(因为c=a*bG)。(2)证明证明H上的运算上的运算 是可结合的是可结合的。因为h:G H是满射，任取x,y,zh(G),必存在a,b,cG,使得h(a)=x, h(b)=y, h(c)=z,则只要证明x (y z)=(x y) z。 x (y z)=h(a) (h(b) h(c)=h(a) (h(b*c)=h(a*(b*c)=h(a*b)*c) =h(a*b) h(c)=(h(a) h(b) h(c)=(x y) z四、群同态四、群同态定理定理 14证明证明(续续):(3) 证明证明有幺元。有幺元。 设h(eG)

18、 = eH，因为h: G H是满射，任取xH,则必存在a，使得h(a)=x,则有x eH = h(a) h(eG)= h(a*eG)=h(a)=x，同理可得 eH x =x，所以eH是的幺元。(4) 证明证明H中每个元素都有逆元。中每个元素都有逆元。 任取xH,必存在aG,使得h(a)=x。因为G是群，故a-1G,则h(a-1)h(G)。所以，x h(a-1)=h(a) h(a-1)=h(a*a-1)=h(eG) h(a-1) x=h(a-1) h(a)=h(a-1*a)=h(eG)所以xH的逆元存在，且x-1= h(a)-1=h(a-1)。综上所述，可知综上所述，可知是群。是群。四、群同态四、群同态 例例 2 在N5, 5中, 记 。作映射h(0) = 1 h(1) = 2h(2) = 4 h(3) = 3 对照两者的运算表, 容易看出N4, +4和 , 5同构; N4, +4是群, 所以 , 5也是群。 05*5 NN*54:NNh*5N*5N四、群同态四、群同态同态核的定义同态核的定义: 设h是从群到的一个同态映射，eH是中的幺元，Ker(h)=x|xGh(x)=eH,称Ker(h)为群同态映射h的核，简称h的同态