辛普生法则在公路匝道中

1、辛普生法则在公路匝道中及辛普生法则在公路匝道中及边桩坐标计算中的应用边桩坐标计算中的应用 目前在公路匝道中、边桩计算中采用的计算公式较多，但大部分采用泰勒级数展开公式进行计算。当在不同曲线元上计算就需要用不同的计算公式，这给使用普通计算器计算带来很大不便。当遇有卵形曲线或缓和曲线的圆曲线半径较小时，往往因公式选用不当带来计算误差，虽然泰勒级数展开公式可以进行多项次展开，但公式过于繁杂，同时也会增加计算难度。而采用辛普生法则进行计算就非常简便，该公式可以适用于任意的直线段、圆曲线段、缓和曲线段上中、边桩，并且其计算是可逆的。下面就该法则在公路工程测量计算中的具体应用进行解析。一、曲线元上任意点的

2、切线方位角推导 曲线平面线形组合大致分基本型、S型、卵形、凸形、复合型和C型等，无论哪种组合型式，其平面线形计算的复杂性均主要体现在缓和曲线的计算上。1、卵形曲线中的缓和曲线EJFAA1BMR1RBPDCQQQ1如图（1），在半径分别为R1、R2（R1 R2）的两段圆曲线之间插入缓和曲线段AQB，设曲线MAQB为一段缓和曲线。M、A、B的半径分别为、R1、R2，切线分别为ME、AJ、BF；CAQ1是半径为R1的圆弧段并在A点与缓和曲线公切，Q2BD是半径为R2的圆弧段并在B点与缓和曲线公切。令MA=L1，MB=L2， LSL1L2。缓和曲线参数为：A2=R1R2 LS /（R1-R2） 公式（

3、公式（1） 则有：L1= A2/ R1= R2LS /（R1R2）； L2= A2/ R2= R1LS /（R1R2）； A=L12/2A2R2LS/（2R1（R1R2）；BL22/2A2R1LS/（2R2（R1R2）；可以推出：=B -A (1/R1+1/R2)LS/2 公式（公式（2） （：缓和曲线AB段转向角。 对于曲线元上任意点P，P点处曲率半径为1/Rp，该点处转向角为P ，曲线元起点A到P点的弧长为L，根据式（2）有： P（1/R1+1/RP) L /2 (3)由式（1）得：（R1LA2）RPR1A2，可以求得1/RP1/R1L/A2；将1/RP代入式（3）得： PL/R1L2（1

4、/R21/R1）/（2LS） 公式公式 (4)故缓和曲线上任意一点P的切线方位角：TPTAPTA（L/R1L2（1/R21/R1）/（2LS） 公式公式(5) 2、其它曲线元 对于基本型缓和曲线，R1（或R2）代入式（4）得：PL2/（2R2LS）；与我们常用公式一样。对于圆曲线段，R1R2，代入式（4）得：PL/R1；与我们常用公式一样。对于直线段，R1 R2，代入式（4）得：P0。因此可以得出这样的结论：任何曲线元上任意一点的切线方位角均可以用式（5）进行计算。 二、中、边桩坐标计算 1、使用辛普生积分法则进行计算 方位角TPTAPTAK(L/R1L2（1/R21/R1）/（2LS）)；

5、(方位角TP计算结果为弧度；K为判断符，左偏取1，右偏取1)。中桩坐标为：XPXA0L cos（T）dx 公式（6）YPYA0L sin（T）dx 公式（7）casio fx-4800p等计算器具有积分功能，其计算采用了辛普生法则进行积分计算，式（6）和式（7）转换成计算器计算模型为：XPXA（cos(TAK(L/R1L2(1/R2-1/R1)/(2LS)，0，L,n)；YPYA（sin(TAK(L/R1L2(1/R2-1/R1)/(2LS)，0，L,n)。式中n为19的整数，积分分割数N=2n，其他符号意义同上述。值得注意的是，按此公式在计算器中编计算程序时，各种计算器将使用某些变量储存数据

6、，例如casio fx-4800p使用(K,L,M,N)分别储存积分区间、分割数、积分值，这几个变量在编程中不能使用；另外计算时要将计算器角度变换到弧度状态。本公式可以适用于直线、圆曲线、缓和曲线等一切曲线元计算，是一项综合性公式。2、casio fx-4800p程序程序名：程序名：L-R （中、边桩坐标及切线方位角计算） Prog “Y-S”Q=Z10(T1)+1E=Z10(T1)+2 F=Z10(T1)+3A=Z10(T1)+4 C=Z10(T1)+5 J=Z10(T1)+6 O=Z10(T1)+7 S=Z10(T1)+8P=AbsHQP P=P= Goto 2: Lbl 2PS = P=

7、P= Goto 1: Lbl 1A=A/180W=A+C(JP+P2(O-J)/2/S) U=E+(cos(A+C(JX+X2(O-J)/2/S),0,P,4)+Bcos(W+Z/180)V=F+(sin(A+C(JX+X2(O-J)/2/S),0,P,4)+Bsin(W+Z/180)程序中：T为第几段曲线元编号，Q、E、F、A、C、J、O、S、P代表的变量与程序“Y-S”中含义相同，H为曲线元上任意点的里程，P为曲线元上任意点至曲线元起点的里程差值，C为计算符曲线元左偏为1右偏为1，B为边桩点至中线距离均为正，Z为待求点和中桩的连线与路中线切线方位角夹角，左 右，输入度分秒；W为曲线元上任意

8、点的切线方位角成果为弧度； U、V分别为边桩纵横坐标值，当输入B0时为中桩坐标值。程序名：程序名：Y-S （曲线要素输入）曲线元TZ10(T1)+1起点桩号里程Z10(T1)+2起点X坐标Z10(T1)+3起点Y坐标Z10(T1)+4起点切线方位角，输入度分秒Z10(T1)+5右偏1；左偏1Z10(T1)+61/起点半径Z10(T1)+71/终点半径Z10(T1)+8终点里程起点里程以起点桩号里程为例：第一段T1，Z1*.*；第二段T2，Z11*.*。3、casio fx-4500p程序L1：Q”CH0”：E”X0：F”Y0”：A”T0”：C”K0”：M”1/R1”：O”1/R2”：S”LS”

9、L2：P=AbsNQL3：P P=PL4：= Goto 2: L5：Lbl 2L6：PS = P=PL7：= Goto 1: L8：Lbl 1L9：T=A/180+C(MP+P2(O-M)/2/S) L10：W=T180/L11：U=E+(cos(A/180+C(MX+X2(O-M)/2/S),0,P,4)+Bcos(T+Z/180)L12：V=F+(sin(A/180+C(MX+X2(O-M)/2/S),0,P,4)+Bsin(T+Z/180)Z10(T1)+71/终点半径Z10(T1)+8终点里程起点里程以起点桩号里程为例：第一段T1，Z1*.*；第二段T2，Z11*.*。3、casio

10、fx-4500p程序L1：Q”CH0”：E”X0：F”Y0”：A”T0”：C”K0”：M”1/R1”：O”1/R2”：S”LS”L2：P=AbsNQL3：P P=PL4：= Goto 2: L5：Lbl 2L6：PS = P=PL7：= Goto 1: L8：Lbl 1L9：T=A/180+C(MP+P2(O-M)/2/S) L10：W=T180/L11：U=E+(cos(A/180+C(MX+X2(O-M)/2/S),0,P,4)+Bcos(T+Z/180)L12：V=F+(sin(A/180+C(MX+X2(O-M)/2/S),0,P,4)+Bsin(T+Z/180) Q：起点桩号；E：起

11、点X坐标；F：起点Y坐标；A：起点切线方位角（度分秒）；C：转角系数 左1 右1；M：1/起点半径；O：1/终点半径；S：单元曲线长度；H：曲线元上待求点里程；B：距中桩距离均为正；Z：为待求点和中桩的连线与路中线切线方位角夹角，左 右，输入度分秒成果：W待求点切线方位角；（U,V）待求点中边桩坐标三、算例三、算例该计算程序以无锡通江大道项目立交工程线形计算为例。1、立交桥平面概况、立交桥平面概况 无锡通江大道立交范围内江海路、通江大道平面线形各有一折点，平曲线最小半径分别为400m、1500m，立交总体布置为三层部分互通式立交，江海路高架为第三层，通江大道跨线桥为第二层，地面道路为第一层，四

12、条转向匝道及两条上下江海路匝道分别连接一、二层及二、三层。匝道平曲线最小半径60m，缓和曲线最小长度35m，分别为A、B、EN、NE、WN、NW六条匝道。立交范围内江海路全长1117m ,通江大道全长1075。 2、中线计算(1)设计单元要素现取WN匝道作为算例，其设计单元要素见图（2）及表一。K0+008.97ZH1K0+000QDK0+080.583HY1K0+291.781YH1K0+184.781GQ1K0+254.781HY2K0+303.404YH2K0+348.404HY3K0+452.594YH3K0+487.594GQ2K0+522.594HY4K0+597.66GQ3K0+

13、632.66ZDK0+562.66YH4A=103.643R=150A=72.457A=68.739R=135图(2)：WN匝道单元要素A=94.002R=80A=52.915A=121.963R=425A=121.963A=229.72表一：WN匝道部分曲线主点设计数据（2）4800计算程序运行根据1.1节公式（1）A2=R1R2 LS /（R1-R2）对设计单元要素进行复算，均正确无误，其具体计算略。现将WN匝道曲线要素代入本程序分别进行各曲线元的曲中点的中、边桩计算。将曲线单元要素输入4800程序“YS”中，具体见表二。 主点桩号坐标值切线方位角半径X坐标Y坐标（m）HY2 WNK0+2

14、54.78148148.85179096.235141-47-00.8135QZ WNK0+279.09348131.20479112.909131-27-55.4135YH2 WNK0+303.40448116.82879132.474121-08-50.1135QZ WNK0+325.90448107.04279152.695109-57-24.0HY3 WNK0+348.40448101.99679174.56095-29-00.680QZ WNK0+400.49948113.65879224.393.480YH3 WNK0+452.59448153.14079256.96020-51-

15、46.280表二：WN匝道中部分曲线元曲线要素运行4800程序“LR”时需要注意两点：第一点，程序运行前要进行扩容，方法为“shift”“defm”“需要扩容数”；第二点，角度调换到“rad”状态。运行过程如下：运行过程如下中桩 左15m 右15mT ? 1 T ? 1 T ? 1 H ? 279.093 H ? 279.093 H ? 279.093 B ? 0 B ? 15 B ? 15 Z ? 0 Z ? -90 Z ? 90 U=48131.203 U=48142.444 U=48119.963 V=79112.909 V=79122.842 V=79102.977 第一段曲线元第二段

16、曲线元第三段曲线元Z1254.781Z11303.404Z21348.404Z248148.851Z1248116.828Z2248101.996Z379096.235Z1379132.474Z2379174.560Z41414700.8Z141210850.1Z24952900.6Z5-1Z15-1Z25-1Z61/135Z161/135Z261/80Z71/135Z171/80Z271/80Z848.623Z1845Z28104.19其它点计算成果见表三。表三：计算结果3、4500计算程序运行根据公式（1）A2=R1R2 LS /（R1-R2）对设计单元要素进行复算，均正确无误，其具体计算

17、略。现将WN匝道曲线要素代入本程序分别进行各曲线元的曲中点的中、边桩计算。运行4500程序时同样需要将角度调换到“rad”状态（按”model 5”）。运行过程如下: 里程桩号边桩至中线距离X坐标值Y坐标值0325.904左1548121.14179157.814中桩48107.04279152.695右1548092.94379147.5750400.499左1548126.40379216.483中桩48113.65879224.393右1548100.91479232.303中桩： CH0 ? 254.781 X0?48148.851 Y0?79096.235 T0? 1414700.8

18、 K0?-1 1/R1?1/135 1/R2?1/135 LS?48.623 N?279.093 W=1312754.8 B ? 0 Z ? 0 U=48131.203 V=79112.909 左边桩： CH0 ? 254.781 X0?48148.851 Y0?79096.235 T0? 1414700.8 K0?-1 1/R1?1/135 1/R2?1/135 LS?48.623 N?279.093 W=1312754.8 B ?15 Z ? 90 U=48142.444 V=79122.842 中桩： CH0 ? 254.781 X0?48148.851 Y0?79096.235 T0?

19、 1414700.8 K0?-1 1/R1?1/135 1/R2?1/135 LS?48.623 N?279.093 W=1312754.8 B ? 15 Z ? 90 U=48119.963 V=79102.977 其他计算结果同上表三。 4500与4800的最大区别在于4800使用(K,L,M,N)分别储存积分区间、分割数、积分值，4500使用（G,H,I,J,K,L）储存积分数据；另外4500积分运行速度较慢。当从直线过渡到缓和曲线（或缓和曲线向直线过渡），设计的缓和曲线有些当从直线过渡到缓和曲线（或缓和曲线向直线过渡），设计的缓和曲线有些情况下会舍掉一段曲线，此时一定要根据情况下会舍掉

20、一段曲线，此时一定要根据1.1节公式（节公式（1）A2=R1R2 LS /（R1-R2）计算出设计的直缓点（缓直点）处的半径，将计算出的半径代入本程序进行计算出设计的直缓点（缓直点）处的半径，将计算出的半径代入本程序进行计算即可。计算即可。这里直线段的计算就不再举例，但计算方法同样适用于直线段。可以说，本计算程序是适用于任何曲线线形中、边桩坐标计算的。四四、复化辛普生公式、复化辛普生公式若使用没有积分功能的计算器或电脑进行计算时，我们可以利用复化辛普生公式进行计算。1、复化辛普生公式曲线元任意点P的中桩坐标计算公式如下：切线方位角同公式（5）：TPTAPTAL/R1L2（1/R21/R1）/（

21、2LS）； 公式（8）式中 为曲线元上2n等分处的切线方位角， 为曲线元上n等分处的切线方位角，其它变量符号意义同式（5）、（6）、（7）， 、 计算方法同P点切线方位角计算。2、算例仍以通江大道WN匝道为例进行中桩坐标计算，以YH2点为起点，推算QZ、HY3的中桩坐标。曲线元上各等分点的切线方位角计算采用公式（5）。)sinsin2sin4(sin6)coscos2cos4(cos61110111022PnkknkkAAPPnkknkkAAPTTTTnLYYTTTTnLXXnn表四：曲线元上等分点切线方位角计算表将各等分点的切线方位角代入公式（8），求得YH3点的中桩坐标如下: XHY3=4

22、8116.828+(342.779-303.404)/4/6(cos121o0850.1+4(cos118 o 3926.44+cos113 o 0343.4+cos106 o3846.04+cos99 o 2434.4)+2(cos115 o 5744.2+cos109 o 574+cos103 o 0749.55)+cos95 o 2900.7)=48101.996 YHY3=79132.474+(342.779-303.404)/4/6(sin121o0850.1“+4 sin 118 o 3926.44”+ sin 113 o 0343.4“+ sin 106 o3846.04+ sin 99 o 2434.4”)+2( sin 115 o 5744.2+ sin 109 o 574“+ sin 103 o 0749.55)+ sin 95 o 2900.7)=79174.560同理可求QZ点中桩坐