第2章电路的基本分析方法

1、 第第2章章 电路的基本分析方法电路的基本分析方法 2.1 电阻电路的等效变换电阻电路的等效变换 2.2 电源的等效变换电源的等效变换 2.3 有源单口网络的等效有源单口网络的等效戴维南定理戴维南定理 2.4 支路电流法支路电流法 2.5 叠加原理叠加原理 2.6 节点分析法节点分析法 本章小结本章小结 2.1 电阻电路的等电阻电路的等效变换效变换2.1.1 电路等效变换的概念电路等效变换的概念 由电阻元件、独立电源构成的电路称为电阻电路。 图2.1所示电路中,只有两个端钮a、b 与外电路相联接，且进出两个端钮的电流是同一个电流，这样的电路称之为单口网络或二端网络。网络就是电路。根据单口网络内

2、部是否含有独立电源，可将单口网络分为无源单口网络和有源单口网络。 对于图2.2所示两个单口网络，如果对应端钮上的电压、电流关系(即伏安关系)完全相同，即：若单口网络N1 端口的伏安关系为U1=f(I1)；单口网络N2 端口的伏安关系为U2=f(I2)； 当f(I1)=f(I2)时，那么这两个电路是互为等效的。因此，等效是对网络的端口而言，即等效是对外电路而言的，对内不等效（两电路的内部结构和能量分配则可能完全不同）。 2.1.2 电阻的串联、并联等效变换电阻的串联、并联等效变换 1. 电阻的串联等效变换电阻的串联等效变换 图2.3(a)为n个线性电阻串联而成的单口网络，可见，串联电路的基本特点

3、是各元件流过同一个电流。根据KVL有 U = U1+ U2+ U3+Un = R1I+ R2I+ R3I+RnI=（R1+R2+R3+Rn）I (2.1) 对图2.3(b)，有 U=RI (2.2) 当R=R1+ R2+ Rn时，两电路端钮的电压与电流关系完全相同，所以两电路等效。在串联电路中，第k个电阻上的电压Uk 为 (2.3)式中 R=R1+ R2+ Rn ，式(2.3) 称为串联电路的分压公式。若n=2，即只有两个电阻串联时，其分压公式为 (2.4)式中U1 和U2 分别为R1和R2上的电压。kkkUUR IRR12121212,RRUUUURRRR 第k个电阻吸收的功率为 n个电阻吸

4、收的总功率为 (2.5) 2kkkkRPU IUIR IR2211nnkkkkPPR IRI2. 电阻的并联等效变换电阻的并联等效变换 n个电阻并联电路如图2.4(a)所示，可见，并联电路的基本特点是各元件两端的电压相同。根据KCL有 I=I1 + I2 +I3 + +In = UG1 + UG2 + UG3 +UGn = (G1 + G2 + G3 +Gn) U (2.6)式中Gi =1/Ri ，i=1，2，3，n。对图2.4(b)，有 (2.7) 若两个电路等效，比较式(2.6) 和式(2.7) 则有 (2.8)这时，两电路端钮的电压与电流关系完全相同，所以两电路等效。 1IGUUR121

5、2111111.nnRGGGGRRR1IGUUR对于只有两个电阻R1和R2并联的情况，等效电阻为 R= （2.9）在并联电路中，流过第k个电阻的电流Ik 为 (2.10)式中G=G1+ G2+G3+ Gn ，式(2.10)就是并联电路的分流公式。 1212R RRRkkkGIG UIG两个电阻并联的分流公式为 (2.11) 式中I1 和I2 分别为R1和R2 中的电流。第k个电阻吸收的功率为 n个电阻吸收的总功率为 (2.12) 2112RIRR1212RIRR 2UGIUGGUIPkkkk 2121GUUGPPnkknkk 3. 电阻的混联等效变换电阻的混联等效变换 若一个电阻性单口网络，其

6、内部若干个电阻的连接方式，既有串联又有并联，称为电阻的混联电路。此单口网络可以等效成为一个电阻，其方法是：首先改画一下原电路，把每个电阻相互并联或串联关系清晰地体现出来，然后把局部并、串联电阻化简，最后化成最简电路只有一个电阻。 例例2.1 求图2.5(a)所示电路a、b两端的等效电阻Rab。 解解 将图2.5(a)改画成图2.5(b)后，各电阻串并联关系就很明显地看出来了。a、b间等效电阻由两个支路并联而成，一个支路是10电阻，另一个支路是由两个6电阻并联后串联7构成，所以得 例例2.3 电路如图2.7(a)所示，己知 ， 。求电路a、b两端的等效电阻。 (a) (b) 图2.7 例2.3的

7、图 解解 首先尽量缩短电路中同电位点的连线，如图2.7(a)中cc、bb的连线缩成点。改画一下原电路，把每个电阻相互并联或串联关系清晰地体现出来，其结果如图2.7(b)所示，a、b间的等效电阻为 6(7) 10256(7)102abR 10379/9/97/4321RRRRRcb 71R9432RRR 例例2.4 电路如图2.8(a)所示，分别求等效电阻Rab和Rac。 解解 从a、b端口看进去的等效电路如图2.8(b)所示，因而有 (a) (b) (c) 图2.8 例2.4的图从a、c端口看进去的等效电路如图2.8(c)所示，图2.8(c)中 为图2.8(a)所示电路中三个电阻并联的等效电阻

8、，即 。因而有 945abR/R824/24/24/R1784545/RRac 2.2 电源的等效变换电源的等效变换2.2.1 实际电源的两种等效模型实际电源的两种等效模型 前面讨论过的电压源、电流源都是理想电源，但实际电源的特性与理想电源的特性是有区别的，为了更精确地表征实际电源的特性，可采用下列等效电路： 一种是实际电源的电压源等效电路，它是用一个电压源Us和电阻R0相串联的电路来表示，US是实际电源的开路电压，如图2.9(a)所示,其伏安特性曲线如图2.9(b)所示。其伏安关系为 U = UsR0I （2.13） 另一种是实际电源的电流源等效电路，它是用一个电流源Is和内阻R0相并联的电

9、路来表示，Is是实际电源的短路电流，如图2.10(a)所示,其伏安特性曲线如图2.10(b)所示。其伏安关系为： I=IsU/R0 （2.14) 实际电源的两种等效电路可以等效互换的条件是其伏安关系应该完全相同。为了方便讨论，我们不妨设电流源等效电路中的内阻为 ，式（2.14）可以转化为 U= Is I (2.15)/0R/0R/0R 比较式（2.13）与（2.15），可见两电路的等效条件为 US=R0IS 或 IS=US/R0 （2.16） R0 = （2.17） 图2.9 实际电源的电压源模型 图2.10 实际电源的电流源模型 在电源等效互换时应注意： (1) 电压源电压的方向和电流源电流

10、的方向相反； (2) 电压源与电流源的等效变换只对外电路等效，对内不等效； （3） 理想电压源和理想电流源之间不能进行等效变换。 由此可见，任何一个电压源与电阻的串联组合和电流源与电阻的并联组合均能等效互换。/0R2.2.2 电压源、电流源的串联与并联电压源、电流源的串联与并联 首先讨论电压源的串联与并联问题。两个电压源顺串联电路及其等效电压源如图2.11(a)所示；两个电压源反串联电路及其等效电压源如图2.11(b)所示。等效电压源的参考极性可以任意假设，一旦等效电压源的参考极性设定后，原电路各电压源的极性与它进行比较，然后进行代数相加，就得到等效电压源。电压源顺串联的目的是为了提高电源的电

11、压，以满足负载对电源电压的要求。电压源反串联一般在电子电路存在(例如两个电压信号源反相串联，达到相互抵消的目的)。 图2.11 电压源的串联 两个电压源并联电路及其等效电压源如图2.12所示，电压源并联必须满足各个电压源大小相等、方向相同这个条件，即US1 = US2 。电压源并联的目的是提高电源的功率，以满足负载对电源功率的要求。 图2.12 电压源的并联 图2.13 电流源的串联 两个电流源串联电路及其等效电流源如图2.13所示，两个电流源串联必须满足各个电流源大小相等、方向相同这个条件，即IS1 = IS2 。 两个电流源顺并联电路及其等效电流源如图2.14(a)所示；两个电流源反并联电

12、路及其等效电压源如图2.14(b)所示。等效电流源的参考方向可以任意假设，一旦等效电流源的参考方向设定后，原电路各电流源的方向与它进行比较，然后进行代数相加，就得到等效电流源。 图2.14 电流源的并联 根据电压源的性质和电路等效的概念，与电压源并联的电路A(见图2.15) 对外电路而言是不起作用的，因为a、b间的电压U总是等于US ，电路A存不存在，对外电路均无影响，所以其等效电路如图2.15所示。 同理，根据电流源的性质和电路等效的概念，与电流源串联的电路A(见图2.16) 对外电路而言是不起作用的，因为该支路的电流I总是等于IS ，电路A存不存在，对外电路均无影响，所以其等效电路如图2.

13、16所示。 例例2.5 化简图2.17(a)所示的一段有源支路。 解解 先将图2.17(a)电流源与4电阻并联这部分电路等效成电压源模型，这样图2.15(a)电路就等效成图2.17(b)所示电路；再进一步化简成图2.17(c)所示电路。请注意：把电流源模型等效变换成电压源模型时，注意等效电压源的极性不要搞错。 一段有源支路的化简问题，在电路分析中经常遇到，要引起重视。 例例2.6 求图2.18(a)、(b)所示各含源单口网络的等效电路。 解解 在图2.18(a)电路中，根据电压源的性质和电路等效的概念，与电压源并联的电路对外电路而言是不起作用的。所以，图2.18(a)的电路等效成图2.18(c

14、)所示电路。 在图2.18(b)电路中，根据电流源的性质和电路等效的概念，与电流源串联的电路对外电路而言是不起作用的。所以，图2.18(b)的电路等效成图2.18(d)所示电路。 图2.18 例2.6的图 例例2.8 求图2.20(a)所示电路中的电流I。 解解 利用电源模型的等效变换，将图2.20(a)的电路中3A电流源与2电阻并联支路变换成电压源模型，再化简该支路就得到如图2.20(b)所示的等效电路；再将36V电压与电阻的串联支路变换为电流源模型，这样，图2.20(b)的电路就等效成图2.28(c)所示电路；最后简化成图2.20(d)的单回路电路，从图2.20(d)所示电路求得电流为 图

15、2.20 例2.8的图 AI7 . 11281816 2.3 有源单口网络的等效有源单口网络的等效戴维南定理戴维南定理 若单口网络中含有独立电源叫做有源单口网络(或称为有源二端网络)。 戴维南定理: 任何线性有源单口网络N, 对外电路而言，可以用一个独立电压源与一个电阻串联等效代替。电压源的电压等于该网络N的开路电压U0C，其串联电阻R0等于该网络所有独立电源置零时所得无源网络N0的等效电阻。这一电压源与电阻串联支路称为戴维南等效电路。 这一定理的含义如图2.21所示：一个有源单口网络N见图2.21(a) 可以用一个等效电压源U0C和一个等效电阻R0串联来代替，如图2.21(b)所示。其中UO

16、C为该网络N的开路电压，如图2.21(c)所示；这个等效电阻R0为该网络N中所有独立电源为零时的无源单口网络N0 的等效电阻，如图2.21(d)所示。 所谓“独立电源置零” 指的是：对于独立电压源用短路线替代，这样才能使电压源为零；对于独立电流源用开路替代，这样才能使电流源为零。 例例2.9 求图2.22(a)所示有源单口网络的戴维南等效电路 解解 方法一：方法一：利用简化电路方法求解 先把独立电压源支路通过电源等效变换如图2.22(b)所示；再把图2.2(b)所示电路简化成一个4A独立电流源和一个8电阻并联的电路，求得开路电压为UOC = 48 = 32V。求等效电阻R0= 8 。最后，图2

17、.22(a)所示电路的戴维南等效电路为一个独立电压源为和一个8电阻串联的电路，如图2.22(d)所示。 图2.22 例2.9的图 方法二：方法二：利用计算电路方法求解 由图2.22(a)所示电路，开路电压UOC 为 UOC = 5(44)8 = 32V求R0的一般方法，还是把该网络所有独立电源置零时所得无源网络N0 ，再从N0中求等效电阻R0 ，这个方法如图2.22(c)所示，从图2.22(c)中同样可以求出等效电阻为 R0 = 44 = 8。 例例2.10 在 图2.23(a)所示电路中，己知负载RL = 11，用戴维南定理求电路中电流I。 图2.23 例2.10的图 解解 断开待求支路，将

18、电路分为待求支路和有源单口网络两部分。 断开待求RL支路，有源单口网络如图2.23(b)所示。 求出有源单口网络两端点间的开路电压U0C : 由图2.23(b)所示电路可得 UOC = 1220 = 18V 将有源单口网络中各电源置零后，计算无源单口网络的等效电阻R0把图2.23(b)所示电路中独立电源置零后，求其等效电阻为 R0 = 52 = 7 将戴维南等效电路与待求支路串联形成等效简化电路，根据已知条件求解。由图2.23(c)所示电路可得 2.4 支路电流法支路电流法2.4.1 支路电流法的基本思想支路电流法的基本思想 以支路电流为待求量，根据两类约束列写电路方程的方法称为支路电流法。例

19、如图2.24所示电路的元件参数为已知，设定支路电流I1，I2，I3为待求量，根据KCL建立节点电流方程。图中有两个节点a和b，而独立节点只有一个，选节点a列方程：ARRUILOOC111718 I1I2I3=0 （2.18） 根据KVL，建立回路电压方程，该电路有二个网孔，所以独立回路方程只有二个： R1I1R2I2Us1=0 (2.19) R2I2R3I3Us2=0 (2.20) 由此可见，利用KCL、KVL列写的独立方程数恰好是求解3个支路电流所需方程数。 联立求解上述3个方程，即可求得各支路电流。根据元件的伏安特性，不难计算各支 路电压、元件的功率。 图2.24 支路电流法示意图 2.4

20、.2 支路电流法的步骤支路电流法的步骤 用支路电流法求解具有n个节点b条支路的线性电阻网络的步骤总结如下： (1) 选取各支路电流的参考方向； (2)根据KCL定律，列写（n1）个KCL方程； (3) 根据KVL定律，列写 b（n1） 个KVL方程，对于平面电路，沿各网孔列出回路电压方程； (4) 联立求解方程组，得出各支路电流。 例例2.11 在图2.25所示电路中，己知R1 = R2 = 2，R3 = 4， R4= R5=3，US1=6.4V，试用支路电流法求各支路电流。 图2.25 例2.11的图 解解 设I1、I2、I3为3个求解变量。电路中有2 个节点，可列一个独立电流方程；电路中有

21、两个网孔，可列两个独立电压方程。选定支路电流方向和回路绕行方向如图2.25所示。 对节点a列写节点电流方程 I1I2I3 = 0 对两个网孔列写回路电压方程 (R1R2)I1 R3I2US1 = 0 R3I2(R4 R5)I3 = 0 代入元件参数得： 4I1 4I26.4 = 0 4I26I3 = 0上述二个方程加上节点电流方程，联立方程组解得： I1 = 1A， I2 = 0.6A， I3 = 0.4A， 2.5 叠加定理叠加定理 由独立电源和线性元件组成的电路称为线性电路，叠加定理是线性电路的一个重要定理。 叠加定理的内容：在线性电路中，多个激励共同作用时在任一支路中产生的响应，等于各个

22、激励单独作用时在该支路所产生响应的代数和。 这一定理的含义如图2.26所示：在图2.26(a)所示电路中，I1和I2可以看成由电压源US、电流源IS分别单独作用下产生的电流之和。 图2.26 叠加定理示意图 在电压源US单独作用下产生的电流见图2.26(b) 是 在电流源IS单独作用下产生的电流见图2.26(c) 是 21/221/1,RRUIRRUISS211/2212/1,RRRIIRRRIISS于是有 例例2.12 在图2.27(a)所示电路, US1=12V，US2=6V，R1=R2=R3=2，用叠加定理求各支路电流I1、I2和I3 ；求R3 消耗的功率。 图2.27 例2.12的图解

23、解 （1）将复杂电路分解成几个简单电路，有几个电压源就分解为几个具有单一电压源的简单电路，并标出电流参考方向，如图2.27(b) 、(c)所示。 21221/1/11RRRIRRUIIISS21121/2/22RRRIRRUIIISS（2）对简单电路分析、计算，求出单一电压源作用时的各支路电流， 在图2.27(b)中，US1单独作用产生的电流： 应用分流公式求出 =在图2.27(c)中，US2单独作用时 应用分流公式求出 3211/1/ RRRUIS323211RRRRRUSA41212/1323/2IRRRIA24222AIII224/2/1/33122/2/RRRUIS313122RRRR

24、RUSA2126AIRRRI12222/2313/1AIII1)2(1/2/1/3（3） 应用叠加定理求US1、US2共同作用时各支路电流 (4) R3 消耗的功率为但是， 即 这是因为可见，求功率不能用叠加定理。 AIIIIIIAIII312022314/3/33/2/22/1/11WRIP182323233WRIRIP102122)()(2232/332/33/3/33PPP32/32/332/3/33)()()(RIIRIIP 综合上述分析，应用叠加定理时应注意如下几点: (1) 叠加定理仅适用于求解电压或电流,求功率时不能用叠加定理； (2) 叠加前后电路连接和参数不变； (3) 不作

25、用的独立电源置零(电压源短路,电流源开路)； (4) 叠加时应注意电流(或电压) 的参考方向的一致。 由线性电路的性质得知，当电路中只有一个激励时，电路的响应和激励成正比，这个关系称为线性电路的齐次性。它不难从叠加定理推出。通常，把线性电路的叠加性质和齐次性质统称为线性性质，简称为线性性。 2.6 节点分析法节点分析法2.6.1 节点分析法的基本思想节点分析法的基本思想 节点分析法就是以电路中的节点电位为独立变量分析电路的方法。在电路中，可任选取一参考点，其余节点与参考点之间的电压便是节点电位。 下面以图2.29为例,说明怎样以节点电位为独立变量来求解电路。 设以节点0为参考点，即Vo =0，

26、节点1和节点2的节点电位以V1和V2表示。设各支路电流的参考方向如图所示。对节点1和节点2应用KCL列出方程为： 节点1： I1I2I3I4IS1IS3 = 0 （2.21） 节点2： I3I4I5I6IS3IS2 = 0 为使方程式以节点电位变量V1和V2来表示，根据欧姆定律可得 I1=G1V1 I2=G2V1 I3=G3（V1V2） I4=G4（V1V2） （2.22） I5=G5V2 I6=G6V2 将（2.22）式代入（2.21）式, 整理后，得 （G1G2G3G4）V1 （G3G4）V2 = Is1Is3 （G3G4）V1 （G3G4G5G6）V2 = Is2Is3 （2.23） 这

27、就是以节点电位V1、V2为未知量的节点电位方程。 方程组（2.23）可以进一步改写成 G11V1G12V2 = Is11 （2.24） G21V1G22V2 = Is22 图2.29 节点分析法示意图 式（2.24）中的G11为节点1的自电导，是与节点1相连接的各支路电导的总和，即G11=G1+G2+G3+G4； G22为节点2的自电导，是与节点2相连的各支路电导之和，即G22=G3+G4+G5+G6； G12=G21为节点1和节点2之间的互电导，是连接在节点1和节点2之间的各支路电导之和的负值， 即 G12 = G21 = （G3+G4）。 由于假设节点电位的参考方向总是由独立节点指向参考节

28、点，所以各节点电位在自电导中所引起的电流总是流出该节点的，在节点方程左边流出节点的电流取“”号，因而自电导总是正的；但在另一节点电位通过互电导引起的电流总是流入本节点的，在节点方程左边流入节点的电流取“”号，因而互电导总是负的。 式（2.24）右边的IS11和IS22分别表示电流源流入节点1和2的电流代数和（流入为正，流出为负）。 节点电位方程是KCL的体现，因为方程左边是各节点电位而引起的流出节点的电流，而右边是电流源送入节点的电流。 考虑一般情况，若一个电路有(n+1)个节点，就有n个独立节点电位，其独立节点电位分别为V1 、V2 、V3 、Vn ，根据上述原则可列出n个独立节点电位方程，

29、即 G11V1G12 V2G1n Vn = Is11 G21 V1G22 V2G2n Vn = Is22 (2.25) Gn1 V1Gn2 V2 Gnn Vn = Isnn 2.6.2 用观察直接列写节点方程用观察直接列写节点方程 式(2.25) 方程可以凭观察直接列出，其中自电导 为第k个节点各个电导之和，符号全为正；，i、j = 1，2，3，n，是节点i与节点j的公共电导之和(互电导)，所有的互电导的符号全取负，且有Gij = Gji ；，k = 1，2，3，n，为第k个节点各个独立电流源代数和，当独立电流源指向节点时，这个电流源的电流值取正号，否则取负值。需要指出的是，节点分析法不仅适用

30、于平面电路，也适用于非平面电路，因此节点分析法应用更普遍。 例例2.14 电路如图2.30所示，己知电流源IS1 = 3A，IS2 = 7A。试用节点法求电路中的各支路电流。 解解 (1) 选定参考节点 参考节点可任意选定。注意，在分析电路时一经选定，就不得随意变动。 本例取节点0为参考节点，节点电位V1 、V2为变量， (2) 列出节点电位方程 应注意自电导总是正的，互电导总是负的。联接本节点的电流源，当其电流指向该节点时，前面取正号，反之取负号。节点电位方程为 （ ）V1 V2 = 3 V1（ ）V2 = 7 (3) 求解联立方程得到各节点电位 联立求解上面两个方程，得 V1 = 6V ，

31、 V2 = 12V 图2.30 例2.14的图 (4) 求各支路电流 I1 = = 6A , I2 = = 3A , I3 = = 4A (5) 验算 为了检验计算结果的正确性，需要进行验算。其方法是列写一个KVL方程，如果方程成立，说明计算正确。否则要重新计算。例如本例对三个电阻回路列写KVL方程：说明上述计算结果是正确的。 11212111232106143) 3(2132132III 例例2.15 电路如图2.31所示，电路中各元件参数为己知量，试列出节点方程。 解解 由于节点法是用KCL列方程，电路中电压源接在节点1和节点2之间，因此这个支路要标出一个未知电流I，如图2.31所示。列写节点方程如下： (2.26) 在列写节点方程时，电压源支路中电流I当电流源看待，式(2.26)中多一个未知量“ I ”，