数量金融10_特异期权定价

1、1第十讲第十讲特异期权定价特异期权定价10.1 期权定价回顾.10.2 偏微分方程的有限差分解法.10.3 蒙特卡罗模拟.10.4 障碍期权的简介和静态对冲.10.1 期权定价回顾期权定价回顾 （参见：衍生产品定价（参见：衍生产品定价Lecture 6）2Assumptionsi. Trading takes place continuously in time.ii.The risk-free rate r is known and constant over time.iii. The asset pays no dividend.iv.There are no transaction c

2、osts in buying or selling the asset or the option, and no taxes.v.The assets are perfectly divisible.vi. There are no penalties for short selling and the full use of proceeds is permitted.vii. There are no arbitrage opportunities.viii. The asset price process is given by tttdZdtSdS10.1 期权定价回顾期权定价回顾3

3、考虑由价格为V(St, t)的衍生产品（支付记为payoff）和基本资产构成的如下投资组合:卖空一单位衍生产品+持有 单位基本资产此投资组合为无风险投资组合，回报率为 r。因此，我们得到Black-Scholes-Merton定价方程tVS22221.2ttttVVVrSSrVtSS10.1 期权定价回顾期权定价回顾4Black-Scholes-Merton定价方程的解可以表示为其中E*.表示在风险中性世界中求期望。（可以使用二叉树或者三叉树模型近似计算）在风险中性世界中基本资产价格过程满足*()(, )payoff ,r T ttV S tEe00, .tttdSSrdtdZSS510.2

4、偏微分方程的有限差分解法偏微分方程的有限差分解法610.2 偏微分方程的有限差分解法偏微分方程的有限差分解法记号：Si StTk t( , )kiVV S t710.2 偏微分方程的有限差分解法偏微分方程的有限差分解法各微分的近似计算Theta (误差O(t)Delta10( ,)( , )limkkiihVVVV S thV S ttht1111, or ?2kkkkkkiiiiiiVVVVVVSSS810.2 偏微分方程的有限差分解法偏微分方程的有限差分解法910.2 偏微分方程的有限差分解法偏微分方程的有限差分解法各微分的近似计算（继续）Delta (误差O(S2)Gamma (误差O(

5、S2)1112123434,222kkkkkkkkiiiiiiiiVVVVVVVVSSS211222kkkiiiVVVVSS1010.2 偏微分方程的有限差分解法偏微分方程的有限差分解法例子10.1：Theta=10;Delta=1.25;Gamma=0.25;1110.2 偏微分方程的有限差分解法偏微分方程的有限差分解法有限差分法偏微分方程改写为1221111222122(,).kkkkkkkiiiiiiikiVVVVVVVrSStSSrVOtS 12 22 212 211()(1 ()21 ().2kkkiiikiViritVirt ViritV1210.2 偏微分方程的有限差分解法偏微分

6、方程的有限差分解法1310.2 偏微分方程的有限差分解法偏微分方程的有限差分解法边界条件与终值条件Call option （ 为执行价格）Put option00,kV.krk tIVI SKe0,krk tVKe0.kIV0max(,0).iVi SK0max(,0).iVKi SK1410.2 偏微分方程的有限差分解法偏微分方程的有限差分解法边界条件（继续）Most contractPayoff is at most linear in the underlying for large S100(1),kkVr t V122.kkkIIIVVV1510.3 蒙特卡罗模拟蒙特卡罗模拟蒙特卡罗

7、模拟定价模拟风险中性世界中基本资产价格路径（从S0出发，以无风险回报率为漂移项的随机游走路径）；对此特定路径，计算衍生产品的payoff；模拟众多样本路径；计算衍生产品payoff的平均值；对平均值进行贴现；*()(, )payoff ,r T ttV S tEe1610.3 蒙特卡罗模拟蒙特卡罗模拟几何布朗运动路径模拟Euler法：其中 为来自标准正态分布的样本。精确模拟：00,.ttttdSrS dtS dZSS,tttSrStSt 21exp.2tttSSrtt 1710.3 蒙特卡罗模拟蒙特卡罗模拟1810.3 蒙特卡罗模拟蒙特卡罗模拟1910.3 蒙特卡罗模拟蒙特卡罗模拟衍生产品的风

8、险控制如果相对未对冲的期权头寸的风险进行估计和衡量，我们应该使用期权payoff在风险中性世界中的分布，还是其在现实世界中的分布？or ?tttSStSt ,tttSrStSt 2010.3 蒙特卡罗模拟蒙特卡罗模拟2110.3 蒙特卡罗模拟蒙特卡罗模拟对冲头寸Delta的计算 计算V(St+h, t)与V(Sth, t)时使用相同数据。 0(, )(, )lim,2tthV Sh tV Sh th 222221()0,2(, ).ttttTrSStSSST 2210.4 障碍期权的简介和静态对冲障碍期权的简介和静态对冲障碍期权（Barrier Option）Out option（触碰失效期权

9、）当基本资产价格触碰某确定边界时，期权失效，payoff为0（或者payoff为R, 称为Rebate）。In option（触碰生效期权） 当基本资产价格触碰某确定边界时，期权生效，直到到期日。Up option （Down option）边界高于（或低于）初始资产价格。2310.4 障碍期权的简介和静态对冲障碍期权的简介和静态对冲2410.4 障碍期权的简介和静态对冲障碍期权的简介和静态对冲障碍期权的终值和边界条件up-and-out call optionup-and-in call option因此in+out=vanilla.(, )0, for .uV S ttT( , )max(

10、,0). V S TSK未触发(, )(, ), for .uVuV S tVS ttT( , )0. V S T 未触发2510.4 障碍期权的简介和静态对冲障碍期权的简介和静态对冲特异障碍期权提前执行重复触碰边界重置外部边界柔性边界Parisian期权2610.3 蒙特卡罗模拟蒙特卡罗模拟Up-and-out call2710.3 蒙特卡罗模拟蒙特卡罗模拟Delta of Up-and-out call2810.4 障碍期权的简介和静态对冲障碍期权的简介和静态对冲静态对冲（Static Hedge）利用平凡的看涨期权、看跌期权或者两值期权尽可能地模拟障碍期权的价值。例如：若对冲一个up-a

11、nd-out call option的空头，可以选择持有相同到期期限和执行价格的欧式call option的多头。（如果触碰失效，则投资者剩余一个call option的多头）2910.4 障碍期权的简介和静态对冲障碍期权的简介和静态对冲静态对冲（继续）Down-and-in call option空头（执行价格 大于触碰边界 ）对冲策略：持有 单位到期期限相同，执行价格为 的put option（称为反射原则）。若未触碰边界，down-and-in call option和put option的价值均为零；若触碰边界生效， down-and-in call option的价值与相同执行价格的call option价值相等，则在边界处有KdS2/dSK/dK S(, )(/)(, )0, if 0.CddPdVS