维纳滤波的使用(1)

1、.第五章维纳滤波（Wiener Filtering） 生物医学工程系.本章内容本章内容：5.1 维纳滤波器的时域解5.2 维纳预测器5.3 维纳滤波器的应用.l引言（1）维纳维纳于1894年生于美国密苏里州哥伦比亚市的一个犹太人的家庭中。他18岁就获得哈佛大学数学和哲学两个博士学位，是信息论的前驱和控制论的奠基人信息论的前驱和控制论的奠基人。 .维纳：维纳：开创维纳信息论开创维纳信息论 他从带直流电流或者至少可看作直流电流的电路出发来研究信息论，将统计方法引入通讯工程，奠定了信息论的理论基础。创立控制论创立控制论 1947年10月，维纳写出了划时代的著作控制论，1948年出版后，立即风行世界。

2、它揭示了机器中的通信和控制机能与人的神经、感觉机能的共同规律；为现代科学技术研究提供了崭新的科学方法。.引言引言在前面章节中已经介绍了噪声中确定性信号的检测和估计；随机性是生物医学信号的特点之一，因此，讨论噪声中随机信号的估计具有现实意义。维纳滤波器正是解决该问题 。维纳滤波器的限制：要求被估计的随机信号是平稳的。.（2 2）维纳滤波技术：从噪声中提取有）维纳滤波技术：从噪声中提取有 用的平稳随机信号。用的平稳随机信号。h(n)x(n)=s(n)+w(n)y(n)=)( ns.基础知识点回顾基础知识点回顾1.卷积运算2.相关运算3.信号与系统. 设有一个线性系统，它的单位脉冲响应是h(n)，当

3、输入一个观测到的随机信号x(n)，简称观测值，且该信号包含噪声w(n)和有用信号s(n)，也即 x(n)=s(n)+w(n) 则输出y(n)为 y(n)=x(n)*h(n)= mmnxmh)()(.我们希望输出得到的y(n)与有用信号s(n)尽量接近，因此称y(n)为s(n)的估计值，用来表示y(n)，我们就有了维纳滤波器的系统框图这个系统的单位脉冲响应也称为对于s(n)的一种估计器。h(n)x(n)=s(n)+w(n)y(n)=)( ns)( ns.维纳滤波技术可应用于以下三个方面：维纳滤波技术可应用于以下三个方面：滤波滤波：用当前的和过去的观测值来估计当前的信 号 ，称为滤波；预测预测：用

4、过去的观测值来估计当前的或将来的信号 ，称为预测；平滑或内插平滑或内插：用过去的观测值来估计过去的信号 ，称为平滑或者内插。 )( )(nsny0),( )(NNnsny1),( )(NNnsny. 系统框图中估计到的信号和我们期望得到的有用信号s(n)不可能完全相同，这里用e(n)来表示真值和估计值之间的误差 )( nsh(n)x(n)=s(n)+w(n)y(n)=)( ns显然e(n)是随机变量，维纳滤波和卡尔曼滤波的误差准则就是最小均方误差准则 ( )( )( )e ns ns n22)( ( )( ) E e nE s ns n.维纳滤波器的时域解（Time domain soluti

5、on of the Wiener filter） 设计维纳滤波器的过程就是寻求在最小均方误差下滤波器的单位脉冲响应 h(n)或传递函数H(z)的表达式，其实质就是解维纳霍夫（WienerHopf）方程。 .5.1.1 因果的维纳滤波器，即维纳-霍夫方程 5.1.2 有限脉冲响应法求解维纳-霍夫方程 5.1.3 预白化法求解维纳-霍夫方程 .因果的维纳滤波器设h(n)是物理可实现的，也即是因果序列： h(n)=0,当n0，yd(n)是希望得到的输出，而y(n)表示实际的估计值。 图5.6维纳预测器y(n)=yd(n)=h(n)x(n)=s(n)+w(n)( Nns )(Nns . 设h(n)是物

6、理可实现的，也即是因果序列：h(n)=0,当n0，则有 (5-35) (5-36) 要使得均方误差最小，则将上式对各h(m),m0，1，求偏导，并且等于零，得： 0)()(mmnxmh)( )(Nnsny)()()()(022mmnxmhNnsEneE. (5-37)即用相关函数R来表达上式： (5-39) 由yd(n)=s(n+N)，则 .2 , 1 , 0, 0 )()()()(20jjnxmnxmhNnsEmopt0, )()()(0,)()()()()(00jmjRmhjNRjjnxmnxEmhjnxNnsEmxxoptxsmopt)()()()(NmRNmnsnxEmRxsxyd.z

7、变换得 (5-40 )因果的预测器的传递函数为： (5-41) 最小均方误差为 (5-42)()(),()(11zRzzRzRzzRxsNxyxsNxydd)()(/ )()()(/ )()()()(2121111zBzBzRzzBzBzRzBzGzHwxsNwxyswoptd022min2)(1)0()(11mywwssmRRNneEd.利用帕塞伐尔定理，上式可用z域来表示 (5-43)zdzzRzzHzRjzdzzRzHzRjNneExsNoptsscxyoptsscd)()()(21)()()(21)(11min2. 例5-3 已知图5.6中，x(n)=s(n)+w(n),且s(n)与w

8、(n)统计独立，其中s(n)的自相关序列为 ，w(n)是方差为1的单位白噪声，试设计一个物理可实现的维纳预测器估s(n+1)，并求最小均方误差。 解：依题意已知 mssmR8 . 0)(mssmR8 . 0)(),()()()()(, 0)(mRmRmRmRmRmRwwssxxssxssw.求z变换 由于 ，容易找到最小相位系统和白噪声方差 25. 18 . 0 ,)8 . 01)(8 . 01 ()5 . 01)(5 . 01 (6 . 11)8 . 01)(8 . 01 (36. 0)(111zzzzzzzzRxx)()()(121zBzBzRwxx6 . 1,25. 1,8 . 015

9、. 01)(,8 . 0 ,8 . 015 . 01)(21111wzzzzBzzzzB.由式（541），N1， 对括号里面求z反变换，注意括号内的收敛域为 )5 . 01)(8 . 01 (36. 0)5 . 01 ( 6 . 18 . 01)()(/ )()()(/ )()(111212111zzzzzzBzBzzRzBzBzzRzHwsswxsopt, 28 . 0 z) 1() 2( 2 . 1)() 8 . 0(48. 0)5 . 01)(8 . 01 (36. 011nunuzzzZnn.取因果部分，也就是第一项，所以 把上式写成差分方程形式有：0,) 5 . 0( 3 . 0)(

10、,5 . 013 . 0)8 . 01 (48. 0)5 . 01 ( 6 . 18 . 01)(8 . 01148. 0)5 . 01)(8 . 01 (36. 0111111nnhzzzzzHzzzznopt)( 5 . 0)(3 . 0) 1( nsnxns.最小均方误差为： 6 . 0)8 . 01)(5 . 0(36. 021)()()(21)1(11min2dzzzjzdzzRzzHzRjneEcssoptssc.纯预测器（N步）纯预测器指的是纯预测器指的是w(n)w(n)0 0的情况下，对的情况下，对s(n+N)s(n+N)的的预测。如图预测。如图5.75.7所示。所示。 图图5

11、.7 N5.7 N步纯预测器步纯预测器 这时，用白化法来求解预测器的系统函数。这时，用白化法来求解预测器的系统函数。y(n)=yd(n)=h(n)x(n)=s(n)( Nnx )(Nnx .因为 ，从而有 (5-44) 将上式代入式（541）、（543）得 (5-45)()()(121zBzBzRwxx)()()()()(121zBzBzRzRzRwxsssxx)()()()(/ )()()()(/ )()(211221111zBzBzzBzBzBzBzzBzBzRzzHNwwNwxsNopt. 假设B（z）是b（n）的z变换，且b（n）是实序列，则上式可以利用帕塞伐尔定理进一步化简： 上式说

12、明最小均方误差随着N的增加而增加，也即预测距离越远误差越大。 zdzzBzzBzzBzBjzdzzRzzHzRjNneENNcwxsNoptssc)()()()(2)()()(21)(1121min21102202022min2)( )()()(11NnwnnwnbNnbnbNneE. 例5-4 已知图5.7中，x(n)=s(n)其中s(n)的自相关序列为，试设计一个物理可实现的维纳预测器来估计，并求最小均方误差。 解：依题意，已知 ，则 mssmR8 . 0)()( NnsmssmR8 . 0)(25. 18 ,)8 . 01)(8 . 01 (36. 0)(1 zzzzRxx.因为 容易找

13、到最小相位系统和白噪声方差利用式（545） )()()()()(121zBzBzRzRzRwxsssxx6 . 1,25. 1,8 . 011)(),(8 . 0)(,8 . 0 ,8 . 011)(2111wnzzzBnunbzzzB118 . 011)8 . 01 ()()()(zzzzBzBzzHNNopt.因为 只取的部分，有代入 得:最小均方误差为： )(8 . 08 . 01111NnuzzZNnN0n)(8 . 08 . 01111nuzzZNnN)(zHoptNoptzH8 . 0)(NNnnNnwnunbNneE21021022min28 . 01)(8 . 036. 0)(

14、)(1. 它说明当N越大，误差越大，当N0时，没有误差 图5.8 例题5-3的纯预测模型 y(n)= =x(n)=s(n)( Nns )(8 . 0nsN)(8 . 0)(nnhNopt.一步线性预测器 对于纯预测问题，有对于纯预测问题，有 然而预测的问题常常是要求在过去的然而预测的问题常常是要求在过去的p p个观个观测值的基础上来预测当前值，也就是测值的基础上来预测当前值，也就是 这就是一步线性预测公式这就是一步线性预测公式0)()(mmnxmh)( )(Nnxny)( )(nxnypmmnxmh0)()(. 一步线性预测公式，常常用下列符合表示 (5-48) 式中p为阶数，。预测的均方误差

15、为 (5-49)( )(nxnypmpmmnxa1)()(mhapmpmplxxplpmpmpmxxpmpmmlRaamnxaRmnxanxEneE1112022)()( 2) 0()()()(. 要使得均方误差最小，将上式右边对 求偏导并且等于零，得到p个等式： (5-50) 最小均方误差： (5-51) 式（550）就是YuleWalker（Y-W）方程.plmlRalRpmxxpmxx,.,2 , 1, 0)()(1pmxxpmxxmRaRneE1min2)()0()(pma. 例5-5 已知图5.7中，x(n)=s(n),其中s(n)的自相关序列为 ，试设计一个p2的可实现的一步线性预

16、测器，并求最小均方误差。 mssmR8 . 0)(.解：利用Y-W方程可以列出2个方程式64. 0)2(, 8 . 0) 1(, 1)0(8 . 0)()(xxxxxxmssxxRRRzRzR2 , 1, 0)()(21lmlRalRmxxpmxx08 . 064. 008 . 08 . 02121ppppaaaa.解得： 结果和例（5-4）N=1时一致 ) 1(8 . 0)( 0, 8 . 021nxnxaapp也即36. 064. 01)()0()(1min2pmxxpmxxmRaRneE.维纳滤波器的应用（Application of Wiener filter）要设计维纳滤波器必须知道

17、观测信号和估计信号要设计维纳滤波器必须知道观测信号和估计信号之间的相关函数，即之间的相关函数，即先验知识先验知识。如果我们不知道它们之间的相关函数，就必须先如果我们不知道它们之间的相关函数，就必须先对它们的统计特性做估计，然后才能设计出维纳对它们的统计特性做估计，然后才能设计出维纳滤波器，这样设计出的滤波器被称为滤波器，这样设计出的滤波器被称为“后验维纳后验维纳滤波器滤波器”。 0( )( )R (),0 xsoptxxmRjhmjmj.在生物医学信号处理中比较典型的应用就是关于诱发脑电信号的提取。 大脑诱发电位（Evoked Potential，EP）指在外界刺激下，从头皮上记录到的特异电位

18、，它反映了外周感觉神经、感觉通路及中枢神经系统中相关结构在特定刺激情况下的状态反应。在神经学研究以及临床诊断、手术监护中有重要意义。 EP信号十分微弱，一般都淹没在自发脑电（EEG）之中，从EEG背景中提取诱发电位一直是个难题：EP的幅度比自发脑电低一个数量级，无法从一次观察中直接得到；EP的频谱与自发脑电频谱完全重迭，使得频率滤波失效；在统计上EP是非平稳的、时变的脑诱发电位。 通过多次刺激得到的脑电信号进行叠加来提取EP，这是现今最为广泛使用的EP提取方法.为了解决诱发电位提取问题，研究者利用维纳滤波来提高信噪比，先后有Walter、Doyle、Weerd等对维纳滤波方法进行了改进，如时变

19、维纳滤波。在频域应用后验维纳滤波的核心就是由各次观察信号中分解出EP信号的谱估计和噪声的谱估计，通过设计出的滤波器来提高信噪比,从而来提取出诱发电位。 下面用实际例子说明如何用维纳滤波方法进行诱发电位的提取。（见参考文献）.下面将介绍时频平面的维纳滤波（timefrequency plane wiener filtering，简称TFPW）在高分辨心电图（HRECG）中的应用。. 设一共有N次观测样本： 其中s(t)是周期确定的心电信号； 是第i次记录时的噪声，包括肌电、测量仪器噪声等，假设每次记录的噪声之间互不相关；是观测信号；信号和噪声相互独立。 Nitwtstxii,.2 , 1),()()()(twi)(txi.对每次观测用短时傅立