自动控制原理考点精讲第9讲状态空间分析

1、自动原理考点精讲线性系统的状态空间分析与综合主讲人：张 超网学天地北京网学天地教育科技所有，！网学天地（）所有！一、线性系统的状态空间描述二、线性系统的可控性和可观测性三、线性系统的反馈结构及状态观测器四、李雅普诺夫稳定性分析自动原理考点精讲网学天地（）所有！前面几章所学的内容称为经典理论；下面要学的内容称为现代理论。两者作一简单比较。经典理论(50年代前)现代理论(50年代后)研究对象单输入单输出的线性定常系统多输入多输出系统数学模型传递函数(输入、输出描述)状态方程(可描述内部行为)数学基础运算微积、复变函数线性代数、矩阵理论设计方法的特点非唯一性、试凑成份多, 经验起很大作用。主要在复数

2、域进行。与计算机结合，主要在时间域进行。自动原理考点精讲网学天地（）所有！主要考点（1）掌握由系统输入输出的微分方程式、系统动态结构图、及简单物理模型图建立系统状态空间模型的方法。（2）熟练掌握由时域和复数域求解状态方程的方法。熟练掌握由动态方程计算传递函数的公式。（3）正确理解线性变换, 熟练掌握线性变换前、后动态方程各矩阵的关系。（4）正确理解可控性和可观测性的概念，熟练掌握和运用可控性判据和可观性判据。自动原理考点精讲网学天地（）所有！（5）能将可控系统 化为可控标准形。能将不可控系统进行可控性分解。（6）熟练掌握全维状态观测器的公式和设计方法, 熟练掌握由观测器得到的状态估计值代替状态

3、值的状态反馈系统, 可进行闭环极点配置和观测器极点配置。（7）正确理解李雅普诺夫方程正定对称解存在的条件和解法, 能通过解李雅普诺夫方程进行稳定性分析。自动原理考点精讲网学天地（）所有！现代理论以状态空间为基础，解决多输入多输出、参变量、非线性、高精度、高性能等系统的分析和设计问题。最优、最佳滤波、系统辩识、自适应等都是这一领域的课题。在现代理论的发展中，线性系统理论首先得到研究和发展，已形成较为完整成理论。现代理论中的线性系统理论运用状态空间分析方法描述输入-状态-输出诸变量之间的因果关系，不但反映了系统输入-输出的外部特性，而且揭示了系统内部的结构特征，是一种既适用于单输入单输出系统又适用

4、于多输入多输出系统。自动原理考点精讲网学天地（）所有！一、线性系统的状态空间描述（一）系统数学描述的两种基本类型假定系统具有若干输入端和输出端如图示。系统的外部变量：u = u , u ," , uT12py = y , y ," , y T12q输入向量输出向量x = Tn系统的内部变量：系统的数学描述是反映系统变量间因果关系和变换关系的一种数学模型。系统的数学描述通常有两种基本形式。自动原理考点精讲网学天地（1. 系统的外部描述）所有！其外部数学描述是：n阶微分方程及对应的传递函数。微分方程：y(n-1)u(n-1)+ a+"+ a y + a y = b u

5、(n) + b+"+ b u + b uy(n)n-1n-110n10sn-1b sn + b+ "+ b s + by(s)n0传递函数：G(s) =n-11u(s)+ asn-1+ "+ a s + asnn-1102.系统的内部描述系统的内部描述即状态空间描述，通常有两个数学方程组成。x (t ) = f x(t ), u(t ), t y(t ) = g x(t ), u(t ), t 自动原理考点精讲网学天地（）所有！（二）状态空间描述的几个基本概念1. 状态所谓状态，是指系统过去、现在和将来的状况，是系统信息的集合。2. 状态变量状态变量是指能确定系统

6、运动状态的最少数目的一组变量。x1(t ), x2 (t ),", xn (t )3. 状态向量x1(t ), x2 (t ),", xn (t )视作向量x(t ) 的分量，即将状态变量x = Tx(t )称为状态向量n4状态空间以n个状态变量作为坐标轴所组成的n。自动原理考点精讲网学天地（）所有！5状态方程由系统的状态变量的一阶微分方程组，称为状态方程。6输出方程在指定系统输出的情况下，输出与状态变量间的函数关系式。7状态空间表达式(动态方程)状态方程与输出方程的组合，又称为动态方程。线性连续系统的状态空间表达式的一般形式为：ìx (t ) = A(t )x(

7、t ) + B(t )u(t )íy(t ) = C(t )x(t ) + D(t )u(t )î自动原理考点精讲网学天地（）所有！ìx (t ) = A(t )x(t ) + B(t )u(t )íy(t ) = C(t )x(t ) + D(t )u(t )îx 为n维向量，u 为p维向量，y 为q维向量，A为n×n矩阵，B为n×p矩阵，C为q×n矩阵，D为q×p矩阵。由于A，B，C，D矩阵完整地表征了系统的动态特性，因此有时把一个确定的系统简称为(A, B, C, D）。自动原理考点精讲网学天地（）

8、所有！（三）线性定常连续系统状态空间表达式的建立建立状态空间表达式的方法主要有两种：一是直接根据系统的机理建立相应的微分方程，然后选择有关的物理量作为状态变量，从而导出状态空间表达式；二是由已知的系统其它数学模型经过转化而得到状态空间表达式。1根据系统机理建立状态空间表达式以i(t)作为中间变量，列写该回路的微分方程ìRi + L di + u = uïíïîcdt1uc = C ò idt自动原理考点精讲网学天地（）所有！x1 = i ,x2 = uc（1）设状态变量ì x R1L1 u= -x-+xïí

9、;ïî112LL则状态方程为：1=x 2x1Cy = x2输出方程为：写成矩阵向量的形式为：é- R- 1 ùé 1 ùé xùêêL ú é xéx ùù= 01 L1Cêú u111=+yê xúú ê xê x úúê L úë2 ûë2 ûú ë2 ûê

10、;ë 0 û0ëûìx (t ) = Ax(t ) + bu(t )í简记为：y(t ) = Cx(t )原理考点精讲î自动网学天地（）所有！ìRi + L di + u = uïíïîx1 = icdt1uc = C ò idt，x2 = ò idt（2）设状态变量ìï x = - R x1x + 1 u1-y =x C2íïî112LLCL= x1x 2写成矩阵向量的形式为：é- R- 1 &

11、#249;é x1 ùé 1 ù1 ùé x1 ùy = é0é x 1 ùú = êLC úê xú + ê L úuC úûê xúêëê x L1ë2 ûêúëêë 0 úûë2 û2 û0ëû系统状态空间表达式不

12、具有唯一性，通常选储能元件的物理量作为状态变量。自动原理考点精讲网学天地（）所有！例：电路。请建立该电L2L1uA路以电压u1、u2为输入量，uA为输出量的状态空间表达式。解：（1） 选择状态变量。+i1 R1i2R_u1+u2_ 2两个储能元件L 和L ，可以选择i 和121的。i2为状态变量，且两者是（2）根据克希荷夫电压定律，列写2个回路的微分方程：=ìïdi+1-i+u左回路uL(i)R11 dt1212íi-() +=+Ldi2+ i右R 回路iRuî=A121-i222dt2 u22ui(1) R1自动原理考点精讲网学天地（）所有！ì

13、; di1= - R1+ R1+ 1 u - 1 uiiï dtL1L2L1L21111í整理得：- R1 + R2ï di2ï dt= R1+ 1 uiiL1L2L2î222uA = i1R1 - i2 R1 + u2（3）状态空间表达式为：é- R1ùR1 L1é 1- 1 ùêú éi1 ùéi ùê L1L1 ú éu1 ùL1R11 ú = êú ê

14、0; + êú êêúëi ûR1 + R2 L2êêëú ëi2 û 1 ú ëu2 ûê 02úûêëúûL2L2éùéùiuu= R-R1+101êi úêu úA11ë 2 ûë 2 û自动原理考点精讲网学天地（2由系统微分方程建立状态空间表

15、达式）所有！系统的时域数学模型为输入输出之间的高阶微分方程，其一般形式为：+ ay( n-1)+ " + a y + a y = b u(n) + bu( n-1)+ " + b u + b uy( n)n-1n-110n10系统的时域数学模型为状态空间表达式，其形式为：ìx (t ) = Ax(t ) + Bu(t )íy(t ) = Cx(t ) + Du(t )î如何由系统的高阶微分方程建立系统的状态空间表达式，关键问题是选择系统的状态变量。（1）系统输入量中不含导数项+ " + a1 y + a0 y = b0 uy( n )

16、 + ay( n-1) + ay( n- 2)n-1n- 2x1 =x2 = y , ",xn =y( n-1)y,选取n个状态变量：自动原理考点精讲网学天地（ì x 1）所有！= x2ï x = x#ïí23状态方程：ï x = xïn-1n- "- an-1 xn + b0uïî x n = -a0 x1 - a1 x2y = x1输出方程：ìx = Ax + Bu其向量矩阵形式为：íy = Cx""""îé&#

17、234;ùúúx1éêêA = êêùúúúúé 0 ù00#010#0- a101#000#1ê 0 úxêêú2C = 1"0x = ê#úb = ê #ú0ê 0 úê xúêúêúêëb0 úûên-1 

18、0;êë- a0- an-1 úû- a2"êúxëûn自动原理考点精讲网学天地（）所有！自动原理考点精讲网学天地（）所有！例：考虑用下列常微分方程描述的系统 y + 2zw y + w2 y = w2u输入为u，输出为y 。试求系统的状态方程和输出方程。x1 = y,= y x2解：取状态变量= x2x 1状态方程为：x + w2u2éùxé x ù = éù é x ù + é 0 ù u01y = 1

19、10êú11êúú êúêêúë-w2-2zw ûëw2 ûë x2 ûx xë 2 ûë 2 û自动原理考点精讲网学天地（）所有！自动原理考点精讲网学天地（设系统方程为 y + 6 y + 11y + 5 y = 6u）所有！例求状态空间表达式。x1 = yx2 = y = y x3解：设= x2ì x 1ï x = x系统的状态方程为í23ï x = -

20、5+ 6uî33y = x1输出方程为其向量矩阵形式为：ùx1ê x ú = ê 02ú ê x ú + ê0 ú u20ê x2 úy = 1010êúêú êúêúêúx3 úû自动原理考点精讲网学天地（）所有！（2）系统输入量中含有导数项系统的微分方程为：y( n-1)u( n-1)+ a+ " + a y + ay = b u(n)+ b+

21、 "+ b u + b uy( n)n-1n-110n10原则：使状态方程不含u的导数。选择下列n个状态变量：ì x1= y - h0 uï x= y - h u - h u = x - h uï20111= y - h0u - h1u - h2u = x 2#- h2uí x3ïïï x= y( n-1) - h u( n-1) - h u( n- 2)- "- hu = x - huînn-1n-1n-101自动原理考点精讲网学天地（）所有！= x2+ h1uì x 1ï

22、 x = x#+ h uïí232系统的的状态方程为：ï x = x+ huïn-1n-1nïî x n = -a0 x1 - a1 x2y = x1 + h0 u- "- an-2 xn-1- an-1 xn+ hn u输出方程为：éêùéx00#010#001#0"""""00#1éx1 ùéx ùùéh ùúêêx ú1&

23、#250;1ú1úêêúêx2 úêh2 úêy = 1"0êêx 2 úú2+ h u0ú = êúê#ú + ê#úuê#ú0ê#êúêêúêúúêúêúëxn ûx xhë n û&#

24、250;ë n ûë n ûê- a- a- a- aën-1 û012自动原理考点精讲网学天地（）所有！3由系统传递函数建立状态空间表达式设系统的传递函数为sn-1b sn + b+ "+ b s + by(s)u(s)n0G(s) =n-11sn-1+ a+ "+ a s + asnn-110应用综合除法有：b+ b+ "+ b s + bsn-1sn- 2N (s)G(s) = b + n-1n- 210 = b+nsn-1n+ a+ "+ a s + asnD(s)n-110（

25、1）N(s)/D(s)串联分解的情况自动原理考点精讲网学天地（）所有！系统的状态方程为z(s) =1sn-1sn+ a+ . + a s + au(s)n-110y(s) = b+ b+ . + b s + bsn-1sn-2n-1n-210z(s)其对应的微分方程为：z( n) + az( n-1)n-1+ " + a1 z + a0 z = uy = b n-1z+ bz( n-1)( n- 2)n- 2选择一组状态变量为：+ " + b1z + b 0z= z( n-1)x1 = z, x2 = z ,", xn自动原理考点精讲网学天地（）所有！动态方程写成

26、向量矩阵形式为：é x 1 ùéêùé x1 ù001001"0- a2"0"""é x1 ù""00é0ùê x úúê x úê0úê2 úêúê2 úê úê # ú = êê # úêú

27、34; x3 ú + ê # úuúê # úê0ú00- a10"1êúêúêúê úêë1úûêë x n úûêë- a0- an-1 úûêë xn úûê x úê2 úúy = bê xbb&quo

28、t;n -1013 úê#êúêë xn úûA和B具有以上形状时， A阵称为友矩阵，相应的动态方程称为可控。自动原理考点精讲网学天地（）所有！自动原理考点精讲网学天地（）所有！+ N (s)y = Cx + b uG(s) = b时，A，B，C均不变，当nnD(s)若选择另一组状态变量时，会得到系统的-a0-aé0ùúúúúú001#0"""%"000#1é bùúú

29、;úê10êêA = ê0ê#ê b1c = 001b =1-a"2êê#êbúê0úën-1 û-aën-1 û请注意A，C矩阵的形状特征，对应的动态方程称为可观测。可控与可观测之间存在对偶关系：A = ATB = CTC= BTC为可控 O为可观cococo自动原理考点精讲网学天地（）所有！s + 3Y (s)=例：设给定系统的传递函数为U (s)(s + 2)(s 2 + s + 3)试求该传递函数的状态空间。

30、Y (s) =s +3解：由题意，可得：s3+3s2 +5s +6U (s)é x 1 ù0 ù é x1ùé 0é0ù10-5ê x ú = ê 01 ú ê xú + ê0ú u可控标准形：ê2 úêêë-6ú ê2 úê úêë1 úûêë x 3 úû

31、-3úû êë x3 úûùé x11 0 ê xúy = 3ê2 úêë x3 úû自动原理考点精讲网学天地（）所有！= CTC= BTA = ATBcococoé x 1 ùé 00 ù é x1 ùé3ù10-5可观标准形：ê x ú = ê 01 ú ê x ú + ê1 

32、0; uê2 úêêë-6ú ê2 úê úêë0úûêë x 3 úû-3úû êë x3 úûé x1 ù0 1 ê xúy = 0ê2 úêë x3 úû自动原理考点精讲网学天地（）所有！4s2 + 8s + 12y(s)例：求 G(s) =u(s)4s

33、3的状态空间表达式。+ 12s + 20+ 8s2+ 2s + 3s2y(s)G(s) =u(s)s3、分母同除以4得：解：+ 2s2+ 3s + 5éùé0ù0010- 301可得：A = êú,B = ê0úêúê úêë1úûêë- 5- 2úû1C = 3D = 02自动原理考点精讲网学天地（）所有！4s2 + 8s + 12y(s)G(s) =u(s)4s3 + 8s2 + 12s +

34、20例：求的状态空间表达式。+ 2s + 3s2y(s)G(s) =u(s)s3、分母同除以4得：解：+ 2s2+ 3s + 5- 5ùé0é3ù001A = ê1- 3ú,B = ê2ú可得：êêë0C = 0ú- 2úû1ê úêë1úûD = 00自动原理考点精讲网学天地（）所有！（2）N(s)/D(s)只含单实极点时的情况D(s) = (s - l1 )(s - l2 )"(s

35、- ln )传递函数可展成部分分式之和：ncis - lY (s)N (s)é N (s)ùåi =1=U (s)D(s)(s - l )=ciêús = liD(s)ëûiincåY (s) = is - liU (s)i =11若令状态变量X (s) =i = 1,2,", nU (s)s - liiny(t ) = å ci xi (t )x i (t ) = li xi (t ) + u(t )其反变换结果为i =1自动原理考点精讲网学天地（）所有！= l1 x1 + u= l2 x2

36、+ ux 1x 2展开得：#= ln xn + ux ny = c1 x1 + c2 x2+ "+ cn xn向量-矩阵形式为：é x1 ùél1é x 1 ù0 ùé x1 ùé1ùê x úê x úêúê x úê1úlY = cê2 úê2 ú = êúê3 ú + ê úu2c&

37、quot;cêúê # úêúê # úê#ú12n#%ê x úê 0úê x úê úêúln ûën ûë1ûë xn ûën ûë自动原理考点精讲网学天地（）所有！自动原理考点精讲网学天地（）所有！cis - lnY (s) = åi =1若令状态变量满足Xi (s) =U (s)

38、X (s)ii= l1 x1 + c1u= l2 x2 + c2 ux 1x 2#x n进行反变换并展开有= ln xn+ cnuy =n其向量-矩阵形式为él1é x1 ùé x 1 ù0 ùé x1 ùéc1 ùê x úê x úêúê x úêc úly = 11ê3 úê2 ú = êúê3 ú + 

39、4;2 úu21"ê # úêúêúêúê # ú#%#ê x úê 0úê x úêc úê x úlën ûën ûën ûë n ûën û自动原理考点精讲网学天地（）所有！自动原理考点精讲网学天地（）所有！+ 8s + 15s2例：已知系统传递函数为 G(s) =s3，试

40、求对+ 7s2 + 14s + 8角型状态空间表式。+ 8s + 15s2ccc解：G(s) = 1+ 2+ 3s + 4+ 7s2 + 14s + 8s + 1s + 2s3= 8= - 3c = G(s) × (s + 1)= G(s) × (s + 2)cs=-1s=-22132= - 1c= G(s) × (s + 4)s=-436状态空间表达式为：é-10 ùé1ù0- 20x = ê 00 úx + ê1úuy = é 8- 1 ù x- 3ê

41、ë 36 úûêêë 0ú-4úûê úêë1úû2自动原理考点精讲网学天地（）所有！2s + 6例：求以下传递函数的状态空间表达式。G ( s) = Y ( s) =+ 4s2 + 5s + 2s3U ( s)解：首先进行因式分解，得：s + 3s + 3G ( s) = Y ( s) = 2 ×11= 2 ×××( s + 1)( s + 1)( s + 2)( s + 1)( s + 1)( s +

42、2)U ( s)画模拟结构图：yx2x1x 2x 1x 3x3uò自动原理考点精讲ò22ò- 1- 1- 2网学天地（）所有！写出动态方程：é2-é x é0ùùù0é xù1- 10ê x ú = 0êú2ê xú + ê2úuúê-úû êë1xúúûê úêë ú

43、ûêêë x úúûê0êëé xùê x úy =ê2 úêë x3 úû自动原理考点精讲网学天地（3） N(s)/D(s)含重实极点时的情况设D(s)可分解为：）所有！D(s) = (s - l1 ) (s - l )"(s - l )34n传递函数可展成为下列部分分式之和n+ åi =1Y (s) = N (s) =c11(s - lc12(s - lc13cis - l

44、+s - l)3)2U (s)D(s)111i式中c1i的计算公式（r重极点）：d i -1é N (s)r ù1× (s - l1 )= limc1iêúi -1(i - 1)! dsë D(s)s®l1û状态变量的与之含单实极点时相同，可得出向量-矩阵形式的动态方程。自动原理考点精讲网学天地（）所有！é0ùél1ùé xé x 11 ùùúê0úêêêêê

45、;êúê xê x 12 ú10ê úúêúê xêúúú + ê1úu xêú13=ê1ú动态方程：úê xê x úúúúúûê úúêêú4#ê # ú0%úêêúê

46、; ú1êúêë x núûêlxëën ûë ûnc= xyccc"c1112134n或者écùúúéùé x11 ùé x ùúêcê 1úê xê x úlêêúêúê xêúú1ú

47、+ êcúuê x ú = êl10 y = 011 "1xê cúêêêúê xê x úúúúúûl4êúúêêúúúû4êú#%úêê#êúcêúêë x nêlxën

48、35;n ûë n û自动原理考点精讲网学天地（）所有！例：设 G(s) = Y (s) =6,试求其状态空间描述。+ 6s2 + 11s + 6s3U (s)解：因式分解得 G( s) = Y (s) =6, 故求得系数c为U ( s)(s + 1)( s + 2)( s + 3)6c = lim G(s)(s + 1) = lim(s + 1) = 31s®-1 (s + 1)(s + 2)(s + 3)s®-16c= lim G(s)(s + 2) = lim(s + 2) = -62s®-2 (s + 1)(s + 2)(s

49、+ 3)s®-26c = lim G(s)(s + 3) = lim(s + 3) = 33s®-3 (s + 1)(s + 2)(s + 3)s®-3自动原理考点精讲网学天地（）所有！é1-é x ùù0 é x ùé1ù0- 20ê x ú =0êú0 ê x ú + ê1úuêêë x úúûê0êëú

50、 êúê ú-úû 3êë xúûêë úû状态空间描述为：é x ùê x úy=-ê2 úêë x3 úû自动原理考点精讲网学天地（）所有！4.根据系统的方框图求状态空间表达式（1） 把各个环节化为最简单形式的组合一阶惯性环节和比例环节（2） 把各个环节的输出选做状态变量uyyx 3x 2x 1u自动原理考点精讲 1 (s + a)Ks k s + bK

51、s(s + a)s + c s + b网学天地（）所有！1x (s) =x (s)1s + a21= -ax1 + x22 = -Kx1 + Kx3 + Kux x Kx2 (s) = s x3 (s) + u(s) - x1 (s)= -kx1 - bx3 + kux 3x (s) = ku(s) - x (s)y = x13s + b1sx1 (s) = -ax1 (s) + x2 (s)sx2 (s) = - Kx1 (s) + Kx3 (s) + Ku(s)sx3 (s) = -kx1 (s) - bx3 (s) + ku(s)é -aé x 1 ù0 &

52、#249; é x1 ùé 0 ùé x1 ù100ê x ú = ê-KK ú ê xú + êK ú u0ê xúy = 10ê2 úêêë -kú ê2 úêúêë k úûê2 úêë x 3 úû-búû &#

53、234;ë x3 úûêë x3 úû自动原理考点精讲网学天地（）所有！例：结构图如下：yu等效变换如下：x 3x 2x 1x3x2x1uy自动原理考点精讲-1T2k4-1T11s k3T31s k2 T21s k1T1-k4k3T3s k2T2 s +1 k1T1s +1网学天地（）所有！= k3x xy=x121T图中有三个环11kx= 2-+2x2x3节，三阶系统，取三个状态变量如上图，则有：T2T2kk1-1k1+u=x -xx34T13TT111ùúúéêêúu= êX 写成矩阵形式：úúúúûêê -kê