第十章 第2节

1、第2节排列与组合最新考纲1.了解排列、组合的概念；2.会用排列数公式、组合数公式解决简单的实际问题知 识 梳 理1排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出m(mn)个不同元素按照一定的顺序排成一列组合合成一组2.排列数与组合数(1)从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数(2)从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数3排列数、组合数的公式及性质公式(1)An(n1)(n2)(nm1)(2)C(n，mN*，且mn)特别地C1性质(1)0！1；An！(2)CC；CCC常用结论

2、与微点提醒1对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数2排列、组合问题的求解方法与技巧(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题排除法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价条件诊 断 自 测1思考辨析(在括号内打“”或“

3、×”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列()(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同()(3)若组合式CC，则xm成立()(4)kCnC.()解析元素相同但顺序不同的排列是不同的排列，故(1)不正确；若CC，则xm或nm，故(3)不正确答案(1)×(2)(3)×(4)2从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是()A12 B24 C64 D81解析4本不同的课外读物选3本分给3位同学，每人一本，则不同的分配方法为A24.答案B3(一题多解)(选修23P28A17改编)从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则

4、男女生都有的选法种数是()A18 B24 C30 D36解析法一选出的3人中有2名男同学1名女同学的方法有CC18种，选出的3人中有1名男同学2名女同学的方法有CC12种，故3名学生中男女生都有的选法有CCCC30种法二从7名同学中任选3名的方法数，再除去所选3名同学全是男生或全是女生的方法数，即CCC30.答案C4用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为_(用数字作答)解析末位数字排法有A，其他位置排法有A种，共有AA48种答案485(一题多解)某市委从组织机关10名科员中选3人担任驻村第一书记，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为_(用数字作答)解析法一

5、(直接法)甲、乙两人均入选，有CC种甲、乙两人只有1人入选，有CC种方法，由分类加法计数原理，共有CCCC49(种)选法法二(间接法)从9人中选3人有C种方法其中甲、乙均不入选有C种方法，满足条件的选排方法是CC843549(种)答案496(2019·绍兴测试)用1，2，3，4，5，6这六个数字组成没有重复数字的六位数共有_个；其中1，3，5三个数字互不相邻的六位数有_个解析用1，2，3，4，5，6组成没有重复数字六位数共有A720个；将1，3，5三个数字插入到2，4，6三个数字排列后所形成的4个空中的3个，故有AA144个答案720144考点一排列问题【例1】 3名女生和5名男生排

6、成一排(1)如果女生全排在一起，有多少种不同排法？(2)如果女生都不相邻，有多少种排法？(3)(一题多解)如果女生不站两端，有多少种排法？(4)其中甲必须排在乙前面(可不相邻)，有多少种排法？(5)(一题多解)其中甲不站最左边，乙不站最右边，有多少种排法？解(1)(捆绑法)由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起有6个元素，排成一排有A种排法，而其中每一种排法中，三个女生间又有A种排法，因此共有A·A4 320(种)不同排法(2)(插空法)先排5个男生，有A种排法，这5个男生之间和两端有6个位置，从中选取3个位置排女生，有A种排法，因此共有A·A14

7、400(种)不同排法(3)法一(位置分析法)因为两端不排女生，只能从5个男生中选2人，有A种排法，剩余的位置没有特殊要求，有A种排法，因此共有A·A14 400(种)不同排法法二(元素分析法)从中间6个位置选3个安排女生，有A种排法，其余位置无限制，有A种排法，因此共有A·A14 400(种)不同排法(4)8名学生的所有排列共A种，其中甲在乙前面与乙在甲前面的各占其中，符合要求的排法种数为A20 160(种)(5)甲、乙为特殊元素，左、右两边为特殊位置法一(特殊元素法)甲在最右边时，其他的可全排，有A种；甲不在最右边时，可从余下6个位置中任选一个，有A种；而乙可排在除去最右

8、边位置后剩余的6个中的任一个上，有A种；其余6个人进行全排列，有A种共有A·A·A种由分类加法计数原理，共有AA·A·A30 960(种)法二(特殊位置法)先排最左边，除去甲外，有A种，余下7个位置全排，有A种，但应剔除乙在最右边时的排法A·A种，因此共有A·AA·A30 960(种)法三(间接法)8个人全排，共A种，其中，不合条件的有甲在最左边时，有A种，乙在最右边时，有A种，其中都包含了甲在最左边，同时乙在最右边的情形，有A种因此共有A2AA30 960(种)规律方法(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法

9、、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法【训练1】 (1)某班准备从甲、乙等七人中选派四人发言，要求甲乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有()A30种 B600种 C720种 D840种(2)(2019·绍兴调测)将3个男同学和3个女同学排成一列，若男同学甲与另外两个男同学不相邻，则不同的排法种数为_(用数字作答)解析(1)若只有甲、乙其中一人参加，有CCA480种方法；若甲、乙两人都

10、参加，有CCA240种方法，则共有480240720种方法，故选C.(2)依题意，可分两种情况讨论：3个男同学互不相邻：先将3名女同学全排列，有A种排法，在排好后的4个空位中任选3个安排3个男同学，有A种方法，此时共有AA144种不同的排法；另2个男同学相邻：将这两个男同学看作一整体，考虑两人的左右顺序，有A种情况，再将3名女同学全排列，有A种排法，在排好后的4个空位中任选2个安排甲和这2个男同学，有A种方法，此时共有AAA144种不同的排法则共有144144288种不同的排法答案(1)C(2)288考点二组合问题【例2】 某市××局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15

11、种假货现从35种商品中选取3种(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？解(1)从余下的34种商品中，选取2种有C561种，某一种假货必须在内的不同取法有561种(2)从34种可选商品中，选取3种，有C种或者CCC5 984种某一种假货不能在内的不同取法有5 984种(3)从20种真货中选取1种，从15种假货中选取2种有CC2 100种恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种(4)选取2种假货有CC种

12、，选取3种假货有C种，共有选取方式CCC2 1004552 555种至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种(5)选取3种的总数为C，选取3种假货有C种，因此共有选取方式CC6 5454556 090种至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种规律方法组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型；“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂

13、时，考虑逆向思维，用间接法处理【训练2】 (1)(2019·浙江名校三联)从1，2，3，10中选取三个不同的数，使得其中至少有两个相邻，则不同的选法种数是()A72 B70C66 D64(2)(2019·湖州质检)若从1，2，3，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A60种 B63种 C65种 D66种解析(1)从该集合中任选3个不同的实数，有C种方法；其中选取的3个数互不相邻的选法种数是C(看作把3个不同的元素插入已排好顺序的7个不同元素所形成的8个空位上的方法种数)，故所求的选法种数是CC64.(2)共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使

14、和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，共有不同的取法有CCCC66(种)答案(1)D(2)D考点三排列、组合的综合应用【例3】 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？(2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？(3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？解(1)为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2，1，1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步乘法计数原理，共有CCC×A144(种)

15、(2)“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法(3)确定2个空盒有C种方法4个球放进2个盒子可分成(3，1)、(2，2)两类，第一类有序不均匀分组有CCA种方法；第二类有序均匀分组有·A种方法故共有C84(种)规律方法(1)解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)对于排列组合的综合题目，一般是将符合要求的元素取出或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列(2)不同元素的分配问题，往往是

16、先分组再分配在分组时，通常有三种类型：不均匀分组；均匀分组；部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的差异其次对于相同元素的“分配”问题，常用的方法是采用“隔板法”【训练3】 (1)(2019·稽阳联谊学校联考)将7人分成3组，要求每组至多3人，则不同的分组方法种数是_(用数字作答)(2)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_种(用数字作答)解析(1)共可分为两类：每组分别为3，3，1人，则有70种；每组分别为3，2，2人，则有105种；所以共有70105175种分组方法(2)把8张奖券分4组有两种分法，一种是分(

17、一等奖，无奖)、(二等奖，无奖)、(三等奖，无奖)、(无奖，无奖)四组，分给4人有A种分法；另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另两组无奖，共有C种分法，再分给4人有CA种分法，所以不同获奖情况种数为ACA243660.答案(1)175(2)60基础巩固题组一、选择题1用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为()A24 B48 C60 D72解析由题意，可知个位可以从1，3，5中任选一个，有A种方法，其他数位上的数可以从剩下的4个数字中任选，进行全排列，有A种方法，所以奇数的个数为AA3×4×3×2×172，故选D.答案D2(一

18、题多解)某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有()A16种 B36种 C42种 D60种解析法一(直接法)若3个不同的项目投资到4个城市中的3个，每个城市一项，共A种方法；若3个不同的项目投资到4个城市中的2个，一个城市一项、一个城市两项共CA种方法由分类加法计数原理知共ACA60(种)方法法二(间接法)先任意安排3个项目，每个项目各有4种安排方法，共4364种排法，其中3个项目落入同一城市的排法不符合要求共4种，所以总投资方案共43464460(种)答案D3(2019·台州调考)将甲、乙等5位同学分别保送到北京大学

19、、上海交通大学、浙江大学三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法有()A240种 B180种 C150种 D540种解析5名学生可分成2，2，1和3，1，1两种形式，当5名学生分成2，2，1时，共有CCA90种方法；当5名学生分成3，1，1时，共有CA60种方法根据分类加法计数原理知共有9060150种保送方法答案C4(2019·金华一中模拟)2019年5月北京“一带一路”高峰论坛期间，有甲、乙、丙、丁、戊共5国领导人要去3个分会场发言(每个分会场至少1人)，其中甲和乙要求不在同一分会场，甲和丙必须在同一分会场，则不同的安排方案共有()A27种 B30种 C33种 D36

20、种解析因为甲和丙在同一分会场，甲和乙不在同一分会场，所以有2，2，1和3，1，1两种分配方案(1)2，2，1方案：甲、丙为一组，从余下3人选出2人组成一组，剩下的一人一组，有CA18种；(2)3，1，1方案：在丁、戊中选出1人，与甲、丙组成一组，剩下两人分别一组，有CA12种，所以不同的安排方案有181230种，故选B.答案B5某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位该台晚会节目演出顺序的编排方案共有()A36种 B42种C48种 D54种解析分两类，第一类：甲排在第一位时，丙排在最后一位，中间4个节目无限制条件，有A种

21、排法；第二类：甲排在第二位时，从甲、乙、丙之外的3个节目中选1个节目排在第一位有C种排法，其他3个节目有A种排法，故有CA种排法依分类加法计数原理，知共有ACA42种编排方案答案B6甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则坐法种数为()A10 B16 C20 D24解析一排共有8个座位，现有两人就坐，故有6个空座要求每人左右均有空座，在6个空座的中间5个空中插入2个座位让两人就坐，即有A20种坐法答案C7(一题多解)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()A72 B120 C144 D168解析法

22、一先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”，“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”对于第一种情况，形式为“，小品1，歌舞1，小品2，相声，”，有ACA36(种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个人，其形式为“，小品1，相声，小品2，”有AA48种安排方法，故共有363648120种安排方法法二先不考虑小品类节目是否相邻，保证歌舞类节目不相邻的排法共有A·A144(种)，再剔除小品类节目相邻的情况，共有A·A·A24(种)，于是符合题意的排法共有

23、14424120(种)答案B8将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有()A18种 B24种 C36种 D72种解析一个路口有3人的分配方法有CCA(种)；两个路口各有2人的分配方法有CCA(种)由分类加法计数原理，甲、乙在同一路口的分配方案为CCACCA36(种)答案C二、填空题97位身高均不等的同学排成一排照相，要求中间最高，依次往两端身高逐渐降低，共有_种排法(用数字作答)解析先排最中间位置有一种排法，再排左边3个位置，由于顺序一定，共有C种排法，再排剩下右边三个位置，共一种排法，所以排法种数为C20(种)答案2010(2019&#

24、183;余姚质检)3男3女共6名学生排成一列，同性者相邻的排法种数有_；任两个女生不相邻的排法种数有_(均用数字作答)解析分别把3男3女各看作一个复合元素，把这两个复合元素全排，3男3女内部也要全排，故有AAA72种；把3名女学生插入到3名男学生排列后所形成的4个空中的3个，故有A·A144种答案7214411(2019·宁波调研)安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有_种(用数字作答)解析由题意知本题是一个分步计数问题，首先安排甲、乙两人在假期的后5天值班，有A20种排法，其余5人再进行排列，有A

25、120种排法，根据分步乘法计数原理知共有20×1202 400种安排方法答案2 40012(2019·浙江卷)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有_种不同的选法(用数字作答)解析不考虑限制条件，共有AC种不同的选法，而没有女生的选法有AC种，故至少有1名女生的选法有ACAC840180660(种)答案66013根据2019年浙江省新高考方案，每位考生除语、数、外3门必考科目之外，有3门选考科目，并且每门选考科目都有2次考试机会，每年有2次考试时间某学生为了取到最好成绩，将3门选考科目共6次考试机会安排在

26、高二与高三的4次考试中，且每次最多考2门，则这位学生共有_种不同的考试安排方法(用数字作答)解析将3门选考科目的每一门学科的2次考试机会安排在高二与高三的4次考试中，故有(C)3216种不同的考试安排方法依题意必须排除1次考试中同时考3门科目的情况，那么4次考试中有同时考3门科目的考试安排为3，1，1，1；3，2，1，0；3，3，0，0，共3类，共有ACAC102种不同的考试安排方法因此，将3门选考科目共6次机会安排在高二与高三的4次考试中，且每次最多考2门的不同考试安排方法共有216102114种答案114能力提升题组14三对夫妻站成一排照相，则仅有一对夫妻相邻的站法总数是()A72 B144 C240 D288解析第一步，先选一对夫妻使之相邻，捆绑在一起看作一个复合元素A，这对夫妻有2种排法，故有CA6种排法；第二步，再选一对夫妻，这对夫妻有2种排法，从剩下的那对夫妻中选择一个插入到刚选的夫妻中，把这三个人捆绑在一起看作另一个复合元素B，有CAC8种排法；第三步，将复合元素A，B和剩下的那对夫妻中剩下的那一个进行全排列，有A6种排法，由分步乘法计数原理，知三对夫妻排成一排照相，仅有一对夫妻相邻的排法有6×8×6288种，故选D.答案D15设集合A(x1，x2，x3，x4，x5)|xi1，0，1，i1，2，3，4，5，那么集合A