第二章 1.2 第1课时

1、1.2直线的方程第1课时直线方程的点斜式学习目标1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程.2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.3.会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的实际问题知识点一直线方程的点斜式思考1如图，直线l经过点P0(x0，y0)，且斜率为k，设点P(x，y)是直线l上不同于点P0的任意一点，那么x，y应满足什么关系？答案由斜率公式得k，则x，y应满足yy0k(xx0)思考2经过点P0(x0，y0)的所有直线是否都能用点斜式方程来表示？答案斜率不存在的直线不能用点斜式表示，过点P0斜率不存在的直线为xx0.梳理点斜式方程点斜式已知条件点P(x0，y0)和斜率k图示方程形式y

2、y0k(xx0)适用条件斜率存在知识点二直线方程的斜截式思考1已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，得到的直线l的方程是什么？答案将k及点(0，b)代入点斜式直线方程，得ykxb.思考2方程ykxb表示的直线在y轴上的截距b是距离吗？b可不可以为负数和零？答案y轴上的截距b不是距离，b可以是负数和零思考3对于直线l1：yk1xb1，l2：yk2xb2.l1l2k1k2且b1b2，l1l2k1k21.梳理斜截式方程斜截式已知条件斜率k和直线在y轴上的截距b图示方程式ykxb适用条件斜率存在1对直线的点斜式方程yy0k(xx0)也可写成k.(×)2直线y3k(x1)恒过定点(

3、1，3)()3直线ykxb在y轴上的截距为b.(×)类型一直线方程的点斜式例1根据条件写出下列直线的方程，并画出图形(1)经过点A(1，4)，斜率k3；(2)经过坐标原点，倾斜角为45°；(3)经过点B(3，5)，倾斜角为90°；(4)经过点C(2，8)，D(3，2)考点题点解(1)y43x(1)，即y3x1.如图(1)所示(2)ktan 45°1，y0x0，即yx.如图(2)所示(3)斜率k不存在，直线方程为x3.如图(3)所示(4)k2，y82(x2)，即y2x4.如图(4)所示反思与感悟求直线的点斜式方程的思路跟踪训练1写出下列直线的点斜式方程(1

4、)过点(1，2)，倾斜角为135°；(2)经过点C(1，1)，与x轴平行；(3)斜率为，与x轴交点的横坐标为7.考点题点解(1)y2(x1)(2)y10.(3)y(x7)类型二直线方程的斜截式例2求满足下列条件的直线l的方程：(1)过点P(0，4)，斜率为2；(2)与直线yx1在y轴上的截距相等，且过点Q(2，2)；(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.考点题点解(1)y2x4.(2)由题意知，该直线过点(0，1)和Q(2，2)，故k，直线l的方程为yx1.(3)直线的倾斜角为60°，其斜率ktan 60°，直线与y轴的交点到原点的距离

5、为3，直线在y轴上的截距b3或b3.所求直线方程为yx3或yx3.反思与感悟直线的斜截式方程的求解策略(1)直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式，其适用前提是直线的斜率存在，只要点斜式中的点在y轴上，就可以直接用斜截式表示(2)直线的斜截式方程ykxb中只有两个参数，因此要确定某直线，只需两个独立的条件(3)利用直线的斜截式求方程务必灵活，如果已知斜率k，只需引入参数b；同理如果已知截距b，只需引入参数k.跟踪训练2(1)直线yax的图像可能是()考点题点答案B解析由题意知，斜率与在y轴上的截距异号，故选B.(2)已知斜率为2，在y轴上截距为m的直线方程l，若直线l过点(1，1)，求m的值考

6、点题点解由直线方程的斜截式，得直线方程为y2xm.直线l过点(1，1)，将x1，y1代入方程y2xm，12×1m，m1.1斜率为4，且过点(2，3)的直线方程是()Ay34(x2) By34(x2)Cy34(x2) Dy34(x2)考点题点答案A2已知直线xay4在y轴上的截距是2，则a等于()A B. C2 D2考点题点答案C解析直线xay4可化为yx，2，得a2.3某直线l1过点A(2，3)，其倾斜角等于直线l2：yx的倾斜角的2倍，则这条直线l1的点斜式方程为_考点题点答案y3(x2)4直线yk(x2)3必过定点，该定点坐标为_考点题点答案(2，3)解析直线方程改写为y3k(x

7、2)，则过定点(2，3)5写出下列直线的点斜式方程：(1)经过点A(2，5)，且该直线的斜率是直线yx7斜率的2倍；(2)经过点C(1，1)，且与x轴平行考点题点解(1)由题意知，直线的斜率为2，所以其点斜式方程为y52(x2)(2)由题意知，直线的斜率ktan 0°0，所以直线的点斜式方程为y(1)0，即y1.1求直线的点斜式方程的方法步骤2直线的斜截式方程的求解策略(1)用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同时要特别注意截距和距离的区别(2)直线的斜截式方程ykxb不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线的图像就

8、一目了然因此，在解决直线的图像问题时，常通过把直线方程化为斜截式方程，利用k，b的几何意义进行判断.一、选择题1方程yk(x2)表示()A通过点(2，0)的所有直线B通过点(2，0)的所有直线C通过点(2，0)且不垂直于x轴的所有直线D通过点(2，0)且除去x轴的所有直线考点直线的点斜式方程题点直线点斜式方程的应用答案C解析易验证直线通过点(2，0)，又直线斜率存在，故直线不垂直于x轴2直线ykxb通过第一、三、四象限，则有()Ak>0，b>0 Bk>0，b<0Ck<0，b>0 Dk<0，b<0考点直线的斜截式方程题点直线斜截式方程与图像的关系答

9、案B解析直线经过第一、三、四象限，图形如图所示，由图知，k>0，b<0.3直线3x2y60的斜率为k，在y轴上的截距为b，则有()Ak，b3 Bk，b2Ck，b3 Dk，b3考点题点答案C解析由3x2y60，得yx3，则k，b3.4直线l1：yk1xb1与l2：yk2xb2的位置关系如图所示，则有()Ak1<k2且b1<b2Bk1<k2且b1>b2Ck1>k2且b1>b2Dk1>k2且b1<b2考点题点答案A解析设直线l1，l2的倾斜角分别为1，2.由题图可知，90°<1<2<180°，所以k1&

10、lt;k2，又b1<0，b2>0，所以b1<b2.故选A.5在等腰ABO中，AOAB，点O(0，0)，A(1，3)，而点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为()Ay13(x3)By13(x3)Cy33(x1)Dy33(x1)考点题点答案D解析如图，由几何性质知，OA与AB的倾斜角互补，kOA3，kAB3，直线AB的方程为y33(x1)6不论m为何值，直线mxy2m10恒过定点()A(1，2) B(2，1)C(2，1) D(2，1)考点题点答案B解析直线方程可化为y1mx(2)，直线恒过定点(2，1)7下列四个结论：方程k与方程y2k(x1)可表示同一直线；直线l过点P(x1

11、，y1)，倾斜角为90°，则其方程为xx1；直线l过点P(x1，y1)，斜率为0，则其方程为yy1；所有直线都有点斜式和斜截式方程其中正确的个数为()A1 B2 C3 D4考点直线的点斜式方程题点直线点斜式方程的应用答案B解析中方程，k，x1；中斜率不存在的直线没有点斜式和斜截式方程，错误，正确8方程yaxb和ybxa表示的直线可能是()考点题点答案D解析在A中，一条直线的斜率与y轴上的截距均大于零，即ab>0，而另一条直线的斜率大于零，在y轴上的截距小于零，即ab<0，故A不可能经分析知B和C也均不可能，故选D.二、填空题9已知直线l的方程为ym(m1)(x1)，若l在

12、y轴上的截距为7，则m_.考点直线的点斜式方程题点直线点斜式方程的应用答案4解析直线l的方程可化为y(m1)x2m1，2m17，得m4.10已知直线y(32k)x6不经过第一象限，则k的取值范围为_考点直线的斜截式方程题点直线的斜截式方程与图像的关系答案解析由题意知，需满足它在y轴上的截距不大于零，且斜率不大于零，则得k.11设直线l的倾斜角是直线yx1的倾斜角的，且与y轴的交点到x轴的距离是3，则直线l的方程为_考点题点答案yx±3解析直线yx1的倾斜角为60°，则l的倾斜角为30°，l的斜率为tan 30°.又l与y轴的交点到x轴的距离为3，l在y轴

13、的截距为±3，l的方程为yx±3.12设点A(1，0)，B(1，0)，直线2xyb0与线段AB相交，则b的取值范围是_考点题点答案2，2解析b为直线y2xb在y轴上的截距，如图，当直线y2xb过点A(1，0)和点B(1，0)时b分别取得最小值和最大值b的取值范围是2，2三、解答题13已知直线l的斜率与直线3x2y6的斜率相等，且直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，求直线l的斜截式方程考点直线的斜截式方程题点直线斜截式方程的应用解由题意知，直线l的斜率为，故设直线l的方程为yxb，l在x轴上的截距为b，在y轴上的截距为b，所以bb1，b，所以直线l的斜截式方程为yx.四、探究与拓展14斜率为，且与坐标轴所围成的三角形的周长是12的直线方程是_考点直线的斜截式方程题点求直线的斜截式方程答案yx±3解析设所求直线方程为yxb，令y0，得x，由题意得|b| 12，|b|b|b|12，4|b|12，b±3，所求直线方程为yx±3.15如图，直线l：y2(x1)过定点P(1，2)，求过点P