必修二立体几何经典证明题

1、必修二立体几何经典证明试题1.如图，三棱柱 ABC AiBiCi中，侧棱垂直底面，/1ACB=90°，AC=BC= -AA 1，D 是棱 AA i 的中点(I )证明：平面 BDCi丄平面BDCn平面BDC i分此棱柱为两局部，求这两局部体积的比I.【解析】I由题设知BC丄 CCi ,BC 丄 AC, CCi AC C , BC-DCi BC,由题设知Ai DCiADC 45°, CDCi = 900,即 DCi DC ,又 DCBC C,- DCi 丄面 BDC ,/ DCi 面 BDCi面 BDC丄面BDCIn设棱锥BDACCi的体积为Vi , AC=I，由题意得,V4

2、由三棱柱ABCA|BICI 的体积 V =i,- (V Vi):Vi=i：i ,平面BDCi分此棱柱为两局部体积之比为i：i.,PD AD , E是PB的中点，F是图52.如图5所示，在四棱锥P ABCD中，AB 平面PAD , AB / CD1CD上的点且DF -AB , PH PAD中AD边上的高.2I证明：PH 平面ABCD ;2假设PH i, AD .2 , FC i，求三棱锥E BCF的体积；3证明：EF 平面PAB .【解析】I证明：因为 AB 平面PAD，所以PH AB。 因为PH PAD中AD边上的高，所以 PH AD。 因为AB 0AD A，所以PH 平面ABCD 。2连结B

3、H，取BH中点G，连结EG 。因为E是PB的中点，所以EG/PH 。因为PH 平面ABCD所以EG 平面ABCD 。11 SG1 1、2VE BCF S BCF EGFC AD EGo233 21213证明：取PA中点M，连结MD , ME。因为E是PB的中点，所以 ME / AB 。21因为DF / AB，所以ME / DF，所以四边形 MEDF是平行四边形，所以 EF / MD 。 2因为PD AD，所以MD PA。因为AB 平面PAD，所以MD AB。 因为PAAB A，所以MD 平面PAB，所以EF 平面PAB 。AD DE ,F为EG的中点.求证：1平面ADE 平面BCGBj2直线A

4、1F/平面ADE .【答案】证明：1：ABCA1B1C1是直三棱柱, CC1平面 ABC。又/ AD平面 ABC , CC1 AD。又 ADDE , CC1 , DE 平面 BCC1B1 ,CC/1 DE又:AD平面 ADE，平面 ADE平面BCC1B1。2A1B1AC1 , F为B1C1的中点,AFBjC,。E AD 平面 BCC1B1。又 CC1 平面 ABG，且 AF平面 ABG , CC1 AF。又 CC1? B1C1 平面 BCC1B1, CCI B1C1 C1 , A(F 平面 ABQt。由1知，AD 平面 BCC1B1 , AF / AD。又 AD 平面ADE, AF 平面ADE

5、 ,直线A,F II平面ADE4.如图，四棱锥 PABCD中，ABCD为矩形， PAD为等腰直角三角形，/ APD=90 °，面PAD丄面ABCD，且AB=1 , AD=2 , E、F分别为PC和BD的中点.1证明：EF/ 面 PAD ;2证明：面PDC丄面PAD ;3求四棱锥PABCD的体积.如图，连接AC ,v ABCD为矩形且F是BD的中点， AC必经过F1分又E是PC的中点，所以，EF / AP2分/ EF在面PAD夕卜，PA在面内， EF/面PAD2面 PAD 丄面 ABCD , CD 丄 AD，面 PAD | 面 ABCD=AD , CD 丄面 PAD ,又AP 面PAD

6、, AP丄CD又T AP丄PD , PD和CD是相交直线, AP丄面PCD又AD 面PAD ,所以，面 PDC丄面PAD3取AD中点为0,连接PO ,因为面PAD丄面ABCD及厶PAD为等腰直角三角形，所以 P0丄面ABCD , 即P0为四棱锥PABCD的高12 AD=2 , P0=1,所以四棱锥 PABCD 的体积 V PO AB AD -335.在如下列图的几何体中，四边形ABCD是正方形,MAI求证：平面II求三棱锥之比.平面 ABCD , PD / MA , E、 平面PDC ； PG、F分别为MB、PB、且 AD PD 2MA .EFGP MAB与四棱锥ABCD的体积【解析】I证明：

7、所以 因为 又在厶PBC中，因为所以又因为由 MA 平面PD 平面 ABCD又ABCD , PD / MABC 四边形ABCD为正方形，所以pd n dc=d 因此G平分为PC的中点，GF / BC因此GF平面ABCDPD 丄 BCBC 丄平面PDCGF丄平面PDC平面EFG所以 平面EFGL平面PDC.n丨解: 那么 所以 由于 所以PDL平面ABCD四边形ABCD为正方形，不妨设 MA=1PD=AD=2 , ABCDV p-ABCC=1/3S 正方形 ABCD PD=8/3DA丄面MAB的距离DA即为点P到平面MAB的距离，PC的中点,三棱锥 Vp-MAB=1/3 X 1/2 X 1 X

8、2X 2=2/3，所以 Vp-MAB:V p-ABCD=1:4。6.如图，正方形 ABCD和四边形I求证：AF/平面BDEn求证： CF丄平面BDF;证明：I设 AC于BD交于点所以四边形AG圧为平行四边形所以AF/ EG因为EG 平面BDE,AFB所以AF/平面BDEn连接FG因为EF/ CG,EF=CG=1且CE=1,所以平行四边形 CEFG为菱形。所以 CF丄EG.因为四边形 ABCD为正方形，所以 BD丄AC.又因为平面 ACEEL平面ABCD且平面ACEFn平面ABCD=AC所以BD丄平面 ACEF所以CF丄BD.又BDn EG=G所以CF丄平面 BDE.7.如图，在多面体 ABCD

9、EF中，四边形 ABCD是正方形, BC的中点，(I )求证：FH /平面 EDB;n求证：AC丄平面EDB;川求四面体 B DEF的体积；AB=2EF=2 , EF / AB,EF 丄 FB, / BFC=90° , BF=FC,H 为EFDCBH(1) 证：设AC与BD交于点G,那么G为AC的中点，连EG,GH，由于H为BC的中点，故1GH / AB,_2又EF/-AB,四边形EFGH为平行四边形2EG /FH，而 EG 平面 EDB， FH /平面 EDB()证：由四边形 ABC为正方形，有 AB BC又 EF/AB， EF BG 而 EF FB， EF 平面 BFG, EF

10、FHAB FH 又BF FG,H 为 BC的中点， FH BC。FH 平面 ABCD.FH AC.又FH /EG， AC EG,又AC BD，EG BD GAC 平面EDB(川)解：丁 EF FB, BFC 900, BF 平面 CDEF.BF为四面体B DEF的高，又BC AB 2, BF FC 2 Vb DEF -*-*1*2* ."2-.3 23BF8.如图，在直三棱柱 ABC AIB1C1中，EF分别是、AC的中点，点D在EG 上, AD BQ求证：1EF/平面ABC ;2平面afd 平面bbgc.9.如图4,在边长为1的等边三角形 ABC中，D,E分别是AB, AC边上的点

11、，ADAE , F是BC的中点,AF与2(1)证明：DE /平面BCF ;证明：CF 平面ABF ;2当AD 时,求三棱锥F3图4AEDFCB图5GIDE交于点G ,将 ABF沿AF折起,得到如图5所示的三棱锥 A BCF ,其中BCAD AE答案】在等边三角形 ABC中，AD AEDB EC,在折叠后的三棱锥A BCF中DE/平面 BCF ；BC在三棱锥A BCF中，2 2 2BC BF CF CF BF 也成立,DE / /BC , ' DE 平面 BCF , BC 平面 BCF ,BF CF -在等边三角形ABC中，F是BC的中点，所以AF BC，2 .TBF CF F CF 平

12、面 ABF由可知GE / /CF ,结合可得GE平面DFG .VF DEGVE DFGDG FG GF3 21111.3 133 2 3 3 23 32410.如图，在四棱锥P ABCD中，AB/CD , ABAD , CD 2AB,平面 PAD底面 ABCD , PA AD , E 和11.ABABCD 中，2CD , E.F.G.M, N 分别为F分别是CD和PC的中点，求证：(I) PA 底面 ABCD ;(2) BE/平面 PAD ;(3)平面 BEF 平面 PCD【答案】(I)因为平面PADL平面ABCD且PA垂直于这个平面的交线 AD 所以PA垂直底面ABCD.(II) 因为 AB/ CD,CD=2AB,E为 CD的中点所以AB/ DE,且AB=DE所以ABED为平行四边形，所以BE/ AD,又因为 BE 平面PAD,AD 平面PAD所以BE/平面 PAD.(III) 因为AB丄AD而且ABED为平行四边形所以BE! CD,ADL CD