惯性矩的计算方法及常用截面惯性矩计算公式

1、惯性矩的计算方法及常用截面惯性矩计算公式截面图形的几何性质一.重点及难点:一.截面静矩和形心1静矩的定义式如图1所示任意有限平面图形，取其单元如面积 dA，定义它对任意轴的一次矩为它对该轴的静矩，即dSy xdAdSx ydA整个图形对y、z轴的静矩分别为SyxdAy ASx ydAA1-12.形心与静矩关系图1-1设平面图形形心C的坐标为yC , zC贝U0Sx-SyxA1-2推论1如果y轴通过形心即x 0，那么静矩Sy 0 ；同理，如果x轴通过形心即y 0丨，那么静矩Sx 0 ；反之也成立。推论2如果x、y轴均为图形的对称轴，那么其交点即为图形形心；如果y轴为图形对称轴，贝昭形形心必在此轴

2、上。3.组合图形的静矩和形心设截面图形由几个面积分别为 A,A2,A3An的简单图形组成，且一直各族图形的形心坐标分别为 为孑；X2,y2； X3,y3，贝U图形对y轴和x轴的静矩分别为SySyii 1AiXii 11-3SxSxiAiYi截面图形的形心坐标为nAiXii 1nAi 1Aiyii 1Aii 11-44.静矩的特征(1) 界面图形的静矩是对某一坐标轴所定义的，故静矩与坐标轴有关。(2) 静矩有的单位为m3(3) 静矩的数值可正可负，也可为零。图形对任意形心轴的静矩必定 为零，反之，假设图形对某一轴的静矩为零，贝U该轴必通过图形的形 心。 假设图形的形心坐标。那么可由式1-1求图形

3、对坐标轴的静 矩。假设图形对坐标轴的静矩，那么可由式1-2求图形的形心坐 标。组合图形的形心位置，通常是先由式1-3求出图形对某一坐标 系的静矩，然后由式1-4求出其形心坐标。二.惯性矩惯性积惯性半径1.惯性矩定义 设任意形状的截面图形的面积为 A图I-3，那么图形对0点的极 惯性矩定义为Ip 2dA1-5A图形对y轴和x轴的光性矩分别定义为Iyx2dA，lx y2dA1-6yA，xA惯性矩的特征(1 )界面图形的极惯性矩是对某一极点定义的；轴惯性矩是对某一坐标轴定义的。(2) 极惯性矩和轴惯性矩的单位为m4(3) 极惯性矩和轴惯性矩的数值均为恒为大于零的正值。(4) 图形对某一点的极惯性矩的

4、数值，恒等于图形对以该点为坐标原1-7点的任意一对坐标轴的轴惯性矩之和，即Ip A 2dAA(x2 y2)dA Iy Ix(5)组合图形图1-2对某一点的极惯性矩或某一轴的轴惯性矩,分别等于各族纷纷图形对同一点的极惯性矩或同一轴惯性矩之和,IynI yi ， IXIxi1-8i 1i 1i 12.惯性积定义 设任意形状的截面图形的面积为 A图I-3，那么图形对y轴和x轴的惯性积定义为I xy xydA1-9A惯性积的特征(1) 界面图形的惯性积是对相互垂直的某一对坐标轴定义的(2) 惯性积的单位为m4 o(3) 惯性积的数值可正可负，也可能等于零。假设一对坐标周中 有一轴为图形的对称轴，那么图

5、形对这一对称轴的惯性积必等 于零。但图形对某一对坐标轴的惯性积为零，这一对坐标轴 重且不一定有图形的对称轴。4组合图形对某一对坐标轴的惯性积， 等于各组分图形对同一坐标轴的惯性积之和，即nxy1-10I .xyii 13.惯性半径定义：任意形状的截面图形的面积为 A图I-3，那么图形对y轴和x轴的惯性半径分别定义为ix1-11惯性半径的特征1惯性半径是对某一坐标轴定义的2惯性半径的单位为m。3惯性半径的数值恒取证之。三.惯性矩和惯性积的平行移轴公式平行移轴公式1 x1 xC1 y1 yCa2Ab2A1-12xy1 xCyCabA1-13平行移轴公式的特征1意形状界面光图形的面积为 A图I-4；

6、 Xc，yc轴为图形的形心轴；x，y轴为分别与xc，yc形心轴相距为a和b的平行轴。2两对平行轴之间的距离a和b的正负，可任意选取坐标轴x，y或形心Xc，yc为参考轴加以确定。3在所有相互平行的坐标轴中，图形对形心轴的惯性矩为最小，但 图形对形心轴的惯性积不一定是最小。yx四、惯性矩和惯性积的转轴公式转轴公式.主惯性轴主惯性矩Xilx ly2cos22Ixy sin 2lyilx ly2lx2®cos2I xy sin 2l xiyisin22I xy cos2转轴公式的特征(1)角度的正负号，从原坐标轴x,y转至新坐标轴Xi,yi，以逆时针转向者为正图5。原点o为截面图形平面内的任

7、意点，转轴公式与图形的形心无 关。图形对通过同一坐标原点任意一对相互垂直坐标轴的两个轴惯 性矩之和为常量，等于图形对原点的极惯性矩，即主惯性轴、主惯性矩 任意形状截面图形对以某一点 0为坐标原点的坐 标轴X。、yo的惯性积为零Ixoyo 0，那么坐标轴X0、y称为图形通过点O的主惯性轴(图6)。截面图形对主惯性轴的惯性矩I xolyo，称为 主惯性矩。主惯性轴、主惯性矩确实定(1) 对于某一点Q假设能找到通过点O的图形的对称轴，那么以点O为坐标原点，并包含对称轴的一队坐标轴，即为图形通过点Q 的一对主惯性轴。对于具有对称轴的图形或组合图形，往往 其通过自身形心轴的惯性矩。于是，图形对通过点 0

8、的主 惯性轴的主惯性矩，一般即可由平行移轴公式直接计算。(2) 假设通过某一点o没有图形的对称轴，那么可以点o为坐标原点，任作一坐标轴x，y为参考轴，并求出图形对参考轴 x，y的惯性矩Ix，Iy和惯性积Ixy。于是,位及主惯性矩分别为21 xytan2 0Ix IyI11, 21 1I xOI xI yIxI yI 2Iyo221 xy主惯性轴、主惯性矩的特征图形通过点0的一对主惯性轴方1-16(I-17)1图形通过某一点Q至少具有一对主惯性轴，而主惯性局势 图形对通过同一点Q所有轴的惯性矩中最大和最小。2主惯性轴的方位角°，从参考轴x，y量起，以逆时针转 向为正。3假设图形对一点o

9、为坐标原点的两主惯性矩相等，贝庞过点0的所有轴均为主惯性轴，且所有主惯性矩都相同。4以截面图形形心为坐标原点的主惯性轴， 称为形心主惯性轴。图形对一对形心主惯性轴的惯性矩，称为形心主惯性矩。x图1-5图1-6二典型例题分析例I-a试计算图示三角形截面对于与其底边重合的x轴的静矩。解：计算此截面对于x轴的静矩Sx时，可以去平行于x轴的狭长条(见图)作为面积元素因其上各点的y坐标相等，即dA b(y)dy。由相似三角形关系，可知b(y) h(hy),因此有dA b(h y)dy。将其代入公式I-1丨的第二式，即得 hSxAydA2h bhb h 2bho h(h y)dy bo ydy h 0 y

10、 dy 6例题I-a图解题指导：此题为积分法求图形对坐标轴的静矩。例1-2试确定图示I -b截面形心C的位置解：将截面分为？、n两个矩形。为计算方便，取x轴和y轴分别与界面的底边Ai和形心坐标Xi,yi如下:矩形？A1012021200 mm10120x5mm，y60mm22矩形nA10702700mm7010x1045mm，y5mm22和左边缘重合见图先计算每一个矩形的面积将其代入公式1-4，即得截面形心C的坐标为-A x A x 37500x20mmAA1900_ AyAy75500y40mmAA1900解题指导：此题是将不规那么图形划分为两个规那么图形利用已有的规那么图形的面积和形心,例

11、I-3试求图l-c所示截面对于对称轴x轴的惯性矩Ix解：此截面可以看作有一个矩形和两个半圆形组成。设矩形对于x轴的惯性矩为lx，每一个半圆形对于x轴的惯性矩为lx，那么由公式I-11的第一式可知，所给截面的惯性矩:lx lx 2Ix1矩形对于x轴的惯性矩为:d(2a)31280 200312445330 10 mm2半圆形对于x轴的惯性矩可以利用平行移轴公式求得。 为此，先求出每个半圆形 对于与x轴平行的形心轴Xc图b的惯性矩Ixc。半圆形对于其底边的惯性矩为圆形对其直径轴x图b的惯性据之半，即lxd4。128而半圆形的面积d2其形心到底边的距离为组图b。故由平行移轴公式l-10a，3可以求出

12、每个半圆形对其自身形心轴 xc的惯性矩为:42lxc lx (舒A缶)送3由图a可知，半圆形形心到x轴距离为2d，故在由平行移轴公式，求得每个半圆形对于x轴的惯性矩为:l x l xc (a£)2A 2 (马2-312838(a2d 2 d2.2 , 2d d(432a22 ad2 3a )将 d=80mm、a=100mm图a代入式4，即得lx2 2 2(80)(辽(3225)3460 104 mm43将求得的lx和lx代入式1，便得4444lx 5330 1042 3460 10412250 104 mm4解题指导：此题是将不规那么图形划分为假设干个规那么图形，利用已有的规那么图形的面积、 形心及对自身形心轴的惯性矩，结合平行移轴公式