概率论课件：1-3条件概率

1、1. 条件概率条件概率2. 乘法公式乘法公式3.全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式4. 小结小结1.31.3条件概率条件概率 在解决许多概率问题时，往往需要在在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息有某些附加信息( (条件条件) )下求事件的概率下求事件的概率. .（1 1） 引例引例如在事件如在事件B发生的条件下求事件发生的条件下求事件A发生的发生的概率，将此概率记作概率，将此概率记作P(A|B). 一般一般 P(A|B) P(A) 1. 1. 条件概率条件概率P(A )=1/6，例如例如，掷一颗均匀骰子，掷一颗均匀骰子，A=掷出掷出2点点， B=掷出偶数点掷出偶数点，P(A

2、|B)=？掷骰子掷骰子 已知事件已知事件B发生，此时试验所有发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是可能结果构成的集合就是B，于是于是P(A|B)= 1/3. B中共有中共有3个元素，它们的出现个元素，它们的出现是等可能的，其中只有是等可能的，其中只有1个个A中，中，容易看到容易看到P(A|B)13= =1 6= 3 6()( )P ABP B= = 若事件若事件B已发生已发生, 则为使则为使 A也发生也发生 , 试验结果必须是既试验结果必须是既在在 B 中又在中又在A中的样本点中的样本点 , 即即此点必属于此点必属于AB. 由于我们已经由于我们已经知道知道B已发生已发生, 故故B变成了新的变

3、成了新的样本空间样本空间 , 于是于是 有有(1). 设设A、B是两个事件，且是两个事件，且P(B)0,则称则称 (1)()()|(BPABPBAP=SABAB(2) (2) 条件概率的定义条件概率的定义为在事件为在事件B发生的条件下发生的条件下,事件事件A的条件概率的条件概率.);()()()( ) 3(212121BAAPBAPBAPBAAP = =).(1)( )4(BAPBAP = =; 0)(, 1)(: )2(= = =BPBSP规范性规范性则有则有件件是两两不相容的事是两两不相容的事设设可列可加性可列可加性, , ,: )5(21BB. )(11 = = = = = iiiiAB

4、PABP(3) 性质性质; 0)(: )1( ABP非负性非负性例例. 100件产品中有件产品中有5件不合格件不合格,其中其中3 件是次品件是次品,2 件件是废品是废品.现从中任取一件，已知是不合格品，求它现从中任取一件，已知是不合格品，求它是废品的概率是废品的概率.解解 令令A=抽得废品抽得废品，B=抽得不合格品抽得不合格品。5( ),100P B = =2()100P AB = =()P A B252/100 1005=()( )P ABP B= =应用定义应用定义解法解法2: (|)P A B在在B发生后的发生后的缩减样本空间缩减样本空间中计算中计算解法解法1: 25= =条件概率条件概

5、率P(A|B)与与P(A)的区别的区别 每一个随机试验都是在一定条件下进行每一个随机试验都是在一定条件下进行的，设的，设A是随机试验的一个事件，则是随机试验的一个事件，则P(A)是在是在该试验条件下事件该试验条件下事件A发生的可能性大小发生的可能性大小.P(A)与与P(A |B)的区别在于两者发生的条件不同的区别在于两者发生的条件不同,它们是两个不同的概念它们是两个不同的概念,在数值上一般也不同在数值上一般也不同. 而条件概率而条件概率P(A|B)是在原条件下又添加是在原条件下又添加“B发生发生”这个条件时这个条件时A发生的可能性大小，发生的可能性大小，即即P(A|B)仍是概率仍是概率.条件概

6、率条件概率P(A|B)与与P(A)数值关系数值关系 条件概率条件概率P(A|B)是在原条件下又添加是在原条件下又添加“B发生发生”这个条件时这个条件时A发生的可能性大小发生的可能性大小. 那么那么,是否一定有是否一定有:或或 P(A|B) P(A)?P(A|B) P(A)?请思考！请思考！设设P (B) 0，则有，则有 P ( AB ) = P (B) P (A|B ) 更一般地有更一般地有，若若P ( A1 A2 An-1 ) 0，则则P (A1A2An-1An) =若若P ( A ) 0，则有则有 P ( AB ) = P (A) P ( B|A ).条件概条件概率定义率定义的改写的改写P

7、(A1)P(A2|A1)P(An|A1A2An-1 )2. 乘法公式乘法公式 若若P(B)0,则则P(AB)=P(B)P(A|B) (1) P(A)0,则则P(AB)=P(A)P(B|A) (2) (1)和和(2)式都称为乘法公式式都称为乘法公式, 利用利用它们可计算两个事件同时发生的概率它们可计算两个事件同时发生的概率注意注意P(AB)与与P(A | B)的区别！的区别！例例 甲、乙两厂共同生产甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中个零件，其中300件件是乙厂生产的是乙厂生产的. 而在这而在这300个零件中，有个零件中，有189个是个是标准件，现从这标准件，现从这1000个零件中任取一个，问

8、这个个零件中任取一个，问这个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？所求为所求为P(AB).甲、乙共生产甲、乙共生产1000 个个189个个是是标准件标准件300个个乙厂生产乙厂生产300个个乙厂生产乙厂生产设设B=零件是乙厂生产零件是乙厂生产A=是标准件是标准件所求为所求为P(AB) .设设B=零件是乙厂生产零件是乙厂生产A=是标准件是标准件若改为若改为“发现它是乙厂生产的发现它是乙厂生产的,问它是标准件的概率是多少问它是标准件的概率是多少?”求的是求的是 P(A|B) .B发生发生,在在P(AB)中作为结果中作为结果;在在P(A|B)中作为条件中作为条件.甲

9、、乙共生产甲、乙共生产1000 个个189个个是是标准件标准件300个个乙厂生产乙厂生产 一场精彩的足球赛将要举行，一场精彩的足球赛将要举行，5个球迷好不容易才搞到一张入场券个球迷好不容易才搞到一张入场券.大家都想去大家都想去,只好用抽签的方法来解决只好用抽签的方法来解决. 入场入场券券5 5张同样的卡片，只有一张上写有张同样的卡片，只有一张上写有“入场券入场券”，其余的，其余的什么也没写什么也没写. .将它们放在一起，洗匀，让将它们放在一起，洗匀，让5 5个人依次抽取个人依次抽取. .“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大. ”. ”后抽比先抽的确实吃亏吗

10、？后抽比先抽的确实吃亏吗？我们用我们用Ai表示表示“第第i个人抽到入场券个人抽到入场券” i1,2,3,4,5.显然，显然，P(A1)=1/5，P( )4/51A第第1个人抽到入场券的概率是个人抽到入场券的概率是1/5.也就是说，也就是说，iA则则 表示表示“第第i个人未抽到入场券个人未抽到入场券”因为若第因为若第2个人抽到个人抽到了入场券，第了入场券，第1个人个人肯定没抽到肯定没抽到.也就是要想第也就是要想第2个人抽到入场券，必须第个人抽到入场券，必须第1个人未抽到，个人未抽到，)|()()(1212AAPAPAP=212AAA =由于由于由乘法公式由乘法公式 计算得：计算得： P(A2)=

11、 (4/5)(1/4)= 1/5)|()|()()()(2131213213AAAPAAPAPAAAPAP= 这就是有关抽签顺序问题的正确解答这就是有关抽签顺序问题的正确解答. 同理，第同理，第3个人要抽到个人要抽到“入场券入场券”，必须，必须第第1、第、第2个人都没有抽到个人都没有抽到. 因此因此(4/5)(3/4)(1/3)=1/5 继续做下去就会发现继续做下去就会发现, 每个人抽到每个人抽到“入入场券场券” 的概率都是的概率都是1/5.抽签不必争先恐后抽签不必争先恐后.也就是说，也就是说，3. 3. 全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式引例：引例：1010个签，其中个签，其中6

12、6个数学题，个数学题，4 4个文学题，某人对数个文学题，某人对数学题有学题有80%80%把握，对文学题有把握，对文学题有90% 90% 把握，随机抽一个签：把握，随机抽一个签： A -A -数学数学, , 则抽到一个数学签的概率是：则抽到一个数学签的概率是： B -B -文学文学, , 则抽到一个文学签的概率是：则抽到一个文学签的概率是： C -C -回答正确回答正确, 则则80%80%和和90%90%是条件概率：是条件概率： 由乘法公式由乘法公式,抽到数学题且回答正确抽到数学题且回答正确 的概率是的概率是 ： 引例：引例：1010个签，其中个签，其中6 6个数学题，个数学题，4 4个文学题，

13、某人对数个文学题，某人对数学题有学题有80%80%把握，对文学题有把握，对文学题有90% 90% 把握，随机抽一个签：把握，随机抽一个签： A -A -数学数学, , 则抽到一个数学签的概率是：则抽到一个数学签的概率是： B -B -文学文学, , 则抽到一个文学签的概率是：则抽到一个文学签的概率是： C -C -回答正确回答正确, 则则80%80%和和90%90%是条件概率：是条件概率： 抽到数学题且回答正确抽到数学题且回答正确 的概率是的概率是P(AC)=0.48 P(AC)=0.48 ： “抽到文学题且回答正确抽到文学题且回答正确”的概率的概率是是: : 引例：引例：1010个签，其中个

14、签，其中6 6个数学题，个数学题，4 4个文学题，某人对数个文学题，某人对数学题有学题有80%80%把握，对文学题有把握，对文学题有90% 90% 把握，随机抽一个签：把握，随机抽一个签： A -A -数学数学, , 则抽到一个数学签的概率是：则抽到一个数学签的概率是： B -B -文学文学, , 则抽到一个文学签的概率是：则抽到一个文学签的概率是： C -C -回答正确回答正确, 则则80%80%和和90%90%是条件概率：是条件概率： 抽到数学题且回答正确抽到数学题且回答正确 的概率是的概率是P(AC)=0.48 P(AC)=0.48 “抽到文学题且回答正确抽到文学题且回答正确”的概率是的

15、概率是P(BC)=0.36 P(BC)=0.36 通常我们要考察的是通常我们要考察的是“回答正确回答正确”的概率，它是上面的概率，它是上面二个概率之和二个概率之和: : ( ( 称称A, BA, B为样本空间为样本空间的一个完备事件组的一个完备事件组 ) ) 这样做的依据是什么，事实上，我们把样本这样做的依据是什么，事实上，我们把样本空间空间作完全分割，作完全分割，ABAB= = 且且 于是于是C C被分割为：被分割为： 这就是全概率公式。这就是全概率公式。 iii121212,( ),1,2, ;( ).,.nijnnEB BBEB Bij i jnBBBB BB = = = = 定义设为试

16、验 的样本空间为的一组事件 若则称为样本空间的一个划分(1) 样本空间的划分样本空间的划分1B2B3B1 nBnB(2) 全概率公式全概率公式12,()0(1, 2, ),niEAEBBBP Bin = =定理设试验的样本空间为为的事件为的一个划分 且则11( )()() ()nniiiiiP AP ABP B P A B=A1B2B3B1 nBnB= =jiBB由由= =)(jiABAB)()()()(21nABPABPABPAP = =图示图示A1B2B3B1 nBnB证明证明12()nAAABBB= = =.21nABABAB= =).()()()()()(2211nnBPBAPBPBA

17、PBPBAP = =化整为零各个击破它可以将一个复杂它可以将一个复杂事件的概率计算问事件的概率计算问题题,分解为若干个分解为若干个简单事件的概率计简单事件的概率计算问题算问题,最后应用最后应用概率的可加性求出概率的可加性求出最终结果最终结果. 某一事件某一事件A的发生有各种可能的原因的发生有各种可能的原因Bi(i=1,2,n),如果如果A是是由原因由原因Bi所引起，所引起，则则A发生的概率是发生的概率是 每一原因每一原因Bi都可能导致都可能导致A发生，故发生，故A发生的概率是各原因引起发生的概率是各原因引起A发生概率发生概率的总和，即的总和，即全概率公式全概率公式.我们还可以从另一个角度去理解

18、全概率公式我们还可以从另一个角度去理解全概率公式： = = =niiiBPBAPAP1)()()()()()(iiiBPBAPABP= = 例例 某工厂有某工厂有4个车间生产同一种产品个车间生产同一种产品,其产品其产品分别占总产量的分别占总产量的15%、20%、30%和和35%，各车间的次品率依次为各车间的次品率依次为0.05、0.04、0.03及及0.02.现从出厂产品中任取一件，问恰好取到次品的概现从出厂产品中任取一件，问恰好取到次品的概率是多少？率是多少？解解 设设 B=恰好取到次品恰好取到次品, Ai=恰好取到第恰好取到第 i 个车间的产品个车间的产品，i=1,2,3,4P(A1)=1

19、5%,P(A2)=20%,P(A3)=30%,P(A1)=35%,题目中的条件概率如下题目中的条件概率如下构成一个样本空间的划分构成一个样本空间的划分, 且且 P(BA1)=0.05, P(BA2)=0.04, P(BA3)=0.03, P(BA4)=0.02, 由全概率公式可得由全概率公式可得41( )() ()15%0.0520%0.0430%0.0335%0.020.0315iiiP AP A P B A= = = = 实际中还有下面一类问题，是实际中还有下面一类问题，是“已知结果求原因已知结果求原因” 这一类问题在实际中更为常见，它所求这一类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是

20、已知某结果发生条件下，的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生可能性大小求各原因发生可能性大小. 某工厂有某工厂有4 4个车间生产同一种产品个车间生产同一种产品, ,其产品分别占总其产品分别占总产量的产量的15%、20%、30%和和35%，各车间的次品率依次各车间的次品率依次为为0.05、0.04、0.03及及0.02。现从出厂产品中任取一件，现从出厂产品中任取一件，发觉该产品是次品而且其标志已脱落，厂方应如何处理发觉该产品是次品而且其标志已脱落，厂方应如何处理此事较为合理？此事较为合理？分析分析 设设 B=恰好取到次品恰好取到次品， Ai=恰好取到第恰好取到第 i 个车间的产品个车

21、间的产品，i=1,2,3,4 事件事件B已成为现实，需考虑是哪一个已成为现实，需考虑是哪一个“原因原因”所致的可能性大小，即求条件概率所致的可能性大小，即求条件概率P(Ai B). 解：解： 1()P A B = =1563= =,6318)(3= =BAP.6314)(4= =BAP同理同理6316)()()()(222= = =BPABPAPBAP1()( )P A BP B= =1141() ()() ()iiiP A P B AP A P B A= = 称此为称此为贝叶斯公式贝叶斯公式., 2 , 1,)()()()()(), 2 , 1(, 0)(, 0)(,.121niBPBAPB

22、PBAPABPniBPAPSBBBEASEnjjjiiiin= = = = = =则则且且的的一一个个划划分分为为的的事事件件为为的的样样本本空空间间为为设设试试验验定定理理 (3) 贝叶斯公式贝叶斯公式证明证明)()()(APABPABPii= =,)()()()(1 = = =njjjiiBPBAPBPBAP., 2 , 1ni= =该公式于该公式于1763年由贝叶斯年由贝叶斯(Bayes)给出给出. 它它是在观察到事件是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率发生的每个原因的概率. 例例 3 3 某一地区患有癌症的人占某一地区患有癌症的人占0.

23、0050.005，患者对，患者对一种试验反应是阳性的概率为一种试验反应是阳性的概率为0.950.95，正常人对这，正常人对这种试验反应是阳性的概率为种试验反应是阳性的概率为0.040.04，现抽查了一个，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大有多大? ?则则 表示表示“抽查的人不患癌症抽查的人不患癌症”. CCC已知已知 P(C)=0.005,P( )=0.995, P(A|C)=0.95, P(A| )=0.04求解如下求解如下:设设 C=抽查的人患有癌症抽查的人患有癌症， A=试验结果是阳性试验结果是阳性， 求求P(C|A).现在来分析一下结果的意义现在来分析一下结果的意义.由由贝叶斯公式贝叶斯公式，可得，可得 )|()()|()