概率论与数理统计：2-4常用的连续型分布

1、 24 常用的连续型分布 二、指数分布 三、正态分布 一、均匀分布 一、均匀分布 均匀分布 一个随机变量 X 如果其密度函数为 , 0,1)(其他bxaabxf (265) 则称 X 服从a b上的均匀分布 记作 XUa b 均匀分布的分布函数 ., 1, 0)(bxbxaabaxaxxF (266) 一、均匀分布 均匀分布 一个随机变量 X 如果其密度函数为 , 0,1)(其他bxaabxf (265) 则称 X 服从a b上的均匀分布 记作 XUa b 均匀分布的数字特征 2baEX (267) 12)(2abDX (268) . 0, 0, 0,e1)(xxxFx (270) 一个随机变

2、量 X 如果其密度函数为 , 0, 0, 0,e)(xxxfx (269) 其中0 为参数 则称X 服从参数为的指数分布 记作Xe() 二、指数分布 指数分布 指数分布的分布函数 指数分布的数字特征 一个随机变量 X 如果其密度函数为 , 0, 0, 0,e)(xxxfx (269) 其中0 为参数 则称X 服从参数为的指数分布 记作Xe() 二、指数分布 指数分布 1EX (271) 21DX (272) 二、指数分布 指数分布 定理25(指数分布的无记忆性 ) 非负连续型随机变量X服从指数分布的充要条件是 对任意正实数r和s 有 PXrs|XsPXr (273) 一个随机变量 X 如果其密

3、度函数为 , 0, 0, 0,e)(xxxfx (269) 其中0 为参数 则称X 服从参数为的指数分布 记作Xe() 二、指数分布 若某产品寿命若某产品寿命 服从指数分布，假定已使用了服从指数分布，假定已使用了t 年，则再年，则再可用可用 s 年的概率与年的概率与 t 无关。无关。证明证明：所求概率为：所求概率为|Ptst , PtstPt PtsPt 11PtsPt ()1 (1)1 (1)s ttee()s tteese . 0, 0, 0,e1)(1000 xxxFx 例222 某元件的寿命X服从指数分布 已知其平均寿命为1000 h 求3个这样的元件使用1000 h 至少已有一个损坏

4、的概率 由题设知 EX1000 h 于是该指数分布的参数为 100011EX 从而X的分布函数为 e1 1F(1000) 1PX1000 PX1000 由此得各元件的寿命是否超过1000 h是独立的 于是3个元件使用1 000h都未损坏的概率为e3 从而至少有一个已损坏的概率为1e3 解 三、正态分布 正态分布 正态分布的数字特征 可见 正态分布的两个参数实际上分别为其数学期望和方差 正态分布的期望和方差为 EX DX 2 (276) 一个连续型随机变量 X 如果其密度函数为 ,e 21)(222)(xx x (274) 其中 为常数 且0 则称 X 服从参数为和 2的正态分布 记作 XN(

5、2) 说明 正态分布的密度函数的特征 正态分布的“钟型”特征与实际中很多随机变量的“中间大 两头小”的分布规律相吻合 (x)具有钟型的图像 且以 x 轴为渐近线 关于 x对称 在 x处达到函数最大值 21 说明 正态分布的密度函数的特征 比如考察一群人的身高 个体的身高作为一个随机变量 其分布的特点是 在平均身高附近的人较多 特别高和特别矮的人较少 (x)具有钟型的图像 且以 x 轴为渐近线 关于 x对称 在 x处达到函数最大值 21 说明 正态分布的密度函数的特征 一个班的一次考试成绩、测量误差等均有类似的特征 进一步的理论研究表明 一个变量如果受到大量的独立因素的影响(无主导因素) 则它一

6、般服从正态分布 (x)具有钟型的图像 且以 x 轴为渐近线 关于 x对称 在 x处达到函数最大值 21 1 正态分布的分布函数 正态分布的密度函数的特征 (x)具有钟型的图像 且以 x 轴为渐近线 关于 x对称 在 x处达到函数最大值 21 正态分布的密度函数(x)的原函数没有解析表达式 因而其分布函数(记作 (x) xxttttxde 21d)()(222)( (278) 不能表示为解析式 当0 21 时 即 XN(0 1) 称 X 服从标准正态分布 其密度函数记作0(x) 即 202e 21)(xx (277) 标准正态分布 2 标准正态分布表 在附录中列出了标准正态分布的密度函数值表和分

7、布函数值表 但表中只列出x0时0(x)和0(x)的值 这是因为由正态分布的对称性可以导出0(x)和0(x)在x0时的值 标准正态分布表 标准正态分布 2 标准正态分布表 标准正态分布表 对于0(x)而言 直接由其对称性有 0(x)0(x) 因而 当x0时 0(x)0(x) 在表中查0(x)即得0(x) 当0 21 时 即 XN(0 1) 称 X 服从标准正态分布 其密度函数记作0(x) 即 202e 21)(xx (277) 提示 标准正态分布 2 标准正态分布表 标准正态分布表 对于0(x) 由于0(x)关于x0对称 有 0(x)0(x)1 (280)特别地 有0(0)05 当x0时 由0(

8、x)10(x) 查表得0(x) 即可得0(x) 当0 21 时 即 XN(0 1) 称 X 服从标准正态分布 其密度函数记作0(x) 即 202e 21)(xx (277) )(1d)(d)()(0000 xttttxxx (279) 例223 设XN(0 1) (1)求PX196 PX196 P|X|196 P1X2 (2)已知PXa07019 P|x|b09242 PXc02981 求a b c 解 (1)直接查表可得根据0(x)的对称性 有097725084131081855 0(2)0(1)1PX1960(196) 0975 PX1960(196) 10(196) 109750025

9、P|X|196P196X196 0(196)0(196) 20(196)1 209751095 P1X20(2)0(1)0(2)1(1) 得 9621. 0)9242. 01 (21)(0b 例223 设XN(0 1) (1)求PX196 PX196 P|X|196 P1X2 (2)已知PXa07019 P|x|b09242 PXc02981 求a b c 解 (2)直接查表可得a053P|X|b20(b)109242 由查表即得 b178 查表得c0530(c)10(c)07019 所以c0 根据对称性 有 由于PXc0298105 c053 提示 3 一般正态分布与标准正态分布的关系 定理

10、26(正态分布的线性变换) 设XN( 2) YaXb a b为常数 且a0 则 YN(ab a2 2) 推论1 如果 XN( 2) 则) 1 . 0(NX 通常称为X的标准化 推论2 XN( 2)的充要条件是存在一个随机变量N(0 1) 使得X 推论3 设XN( 2) (x) (x)分别为其分布函数与密度函数 0(x) 0(x)是标准正态分布的分布函数和密度函数 则有 )()(0 xx (287) )(1)(0 xx (288) 4 一般正态分布的概率计算 一般正态分布与标准正态分布的关系 为一般正态分布的概率计算提供了有效的途径 对于一般正态分布的有关问题 尤其是概率计算 都可以转化为标准正

11、态分布来解决 例224 已知XN(8 052) 求 (1)(9)(7) (2)P75X10 (3)P|X8|1 (4)P|X9|05 (1) 解 (9)PX9 25 . 085 . 0895 . 08XPXP0(2) 097725 (7)PX7 25 . 085 . 0875 . 08XPXP0(2) 10(2) 002275 25 . 085 . 0895 . 08XPXP25 . 085 . 0875 . 08XPXP 例224 已知XN(8 052) 求 (1)(9)(7) (2)P75X10 (3)P|X8|1 (4)P|X9|05 5 . 08105 . 085 . 085 . 71

12、05 . 7XPXP(2) 解 45 . 081XP 09999708413108413 0(4)0(1)10(4)0(1)5 . 08105 . 085 . 085 . 7105 . 7XPXP 例224 已知XN(8 052) 求 (1)(9)(7) (2)P75X10 (3)P|X8|1 (4)P|X9|05 (3) 解 2|5 . 08|1| 8|XPXP20(2)1 09545 20.977251 (4) 35 . 0815 . 95 . 85 . 0| 9|XPXPXP0(3)0(1) 01573 09986508413 2|5 . 08|1| 8|XPXP 35 . 0815 .

13、 95 . 85 . 0| 9|XPXPXP35 . 0815 . 95 . 85 . 0| 9|XPXPXP 例225 某种型号电池的寿命X近似服从正态分布N(2) 已知其寿命在250小时以上的概率和寿命不超过350小时的概率均为9236% 为使其寿命在x和x之间的概率不小于09 x至少为多大？ 由PX250PX350 解 根据密度函数关于x对称有3002250350 又由 9236. 0)50(3003503003500XPXP查表得43. 150, 于是 35 故 XN(300 352) 又 9 . 01)(2|0 xxXPxXxP即95. 029 . 1)(0 x 查表得3002250

14、350 又由 9236. 0)50(3003503003500XPXP9236. 0)50(3003503003500XPXP9236. 0)50(3003503003500XPXP 43. 150, 于是 35 故 XN(300 352) 又 , 于是 35 故 XN(300 352) 又 , 于是 35 故 XN(300 352) 又 9 . 01)(2|0 xxXPxXxP9 . 01)(2|0 xxXPxXxP9 . 01)(2|0 xxXPxXxP 95. 029 . 1)(0 x 查表得645. 1x 于是 x1645355758 645. 1x 于是 x1645355758 补例

15、补例1 1 将将 个球放入个球放入 个盒子中，设每个球落入各个盒个盒子中，设每个球落入各个盒子是等可能的，求有球的盒子数子是等可能的，求有球的盒子数 的数学期望。的数学期望。 nMX解解引入随机变量引入随机变量1,0,iX第第i个盒子中有球，个盒子中有球，第第i个盒子中无球，个盒子中无球，1,2,iM1MiiXX则则1MiiEXEX所以问题归结为求所以问题归结为求 。 iEX每一个随机变量每一个随机变量 都服从两点分布。都服从两点分布。 iX 由于每一个球落入每个盒子是等可能的，均为由于每一个球落入每个盒子是等可能的，均为 ，1M 则对第则对第 i 盒子，一个球不落入这个盒子中的概率为盒子，一个球不落入这个盒子中的概率为 ，11M 个球都不落入这个盒子中的概率为个球都不落入这个盒子中的概率为 n1(1)nM即即10(1) , 1,2,niP XiMM从而从而111 (1) , 1,2,niP XiMM 所以所以11 (1) , 1,2,niEXiMM 补例补例2 某抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）某抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似地服从正态分布，平均成绩为近似地服从正态分布，平均成绩为72分，分，96分以上的占考生总分以上的占考生总数的数的