概率论课件：2-4连续型随机变量及其概率密度

1、2.4连续型随机变量连续型随机变量 及其概率密度及其概率密度连续型随机变量的概念连续型随机变量的概念三种重要的连续型随机三种重要的连续型随机变量变量小结小结 引例引例 一个靶子是半径为一个靶子是半径为2米的圆盘，设击中米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘的概率与该圆盘的面积成正靶上任一同心圆盘的概率与该圆盘的面积成正比，射击均能中靶，用比，射击均能中靶，用X 表示弹着点与圆心的表示弹着点与圆心的距离。试求距离。试求X 的分布函数的分布函数.解：由题意有解：由题意有当当x 0时时, F(x) = P Xx = P( ) = 0.当当x 2时时, F(x) = P Xx = P( ) = 1.Xx 当

2、当0 x 2时时, 由题意知由题意知 P 0 Xx = k x2其中其中k为一常数为一常数. 另一方面另一方面 1 = P 0 X 2 = 4 k k = .F(x) = P Xx = P X0 + P 0 Xx = 241x分布函数为分布函数为: :单调不降单调不降有界连续函数有界连续函数20,0;( ),02;41,2.xxF xxx x1O2F(x)1考虑函数考虑函数 f ( x )= x/2 , 0 x 2;0, 其它其它f (x)的变上限积分为的变上限积分为0, x 13). 1,0;(),01;1,1xxaexFxbxaex 0lim()(0)xF xF 0limxxaeb ab

3、1lim()(1)xF xF 又1ba 12ab 故，(2)X的密度函数的密度函数( )( )f xFx 1212121,0;(),01;1,1xxexFxxex 又 120121,0;(),01;,1xxexfxxex (3)P(X13).131()( )3P Xf x dx (1)112xedx 12 11()1()33P XP X11( )3F11122或例例 设随机变量设随机变量X 的密度函数为的密度函数为02,1;()1,1;axfxxx 求求(1)常数常数a ;(2)P(-12X12).;(2)X的分布函数的分布函数解解 (1)由密度函数的性质由密度函数的性质1( )f x dx

4、1121adxx 102121adxx 102 arcsinax a 1a 11(2)()22PX121211()( )22PXf x dx 12122111dxx 12021121dxx 1202arcsin x 13 (3)()F X求()( )xF Xf t dt 021,1;()1,1;xfxxx 而-1x 当时()( )xF Xf t dt 0 xdt 0 1x当-1时()( )xF Xf t dt 12111xdtt 11arcsinxt 11arcsin2x (3)()F X求()( )xF Xf t dt 021,1;()1,1;xfxxx 而-1x 当时()( )xF Xf

5、t dt 0 1x当-1时()( )xF Xf t dt 11arcsin2x 1x 当时()( )xF Xf t dt 112111dtt 111arcsin1t 2. 三种重要的连续型随机变量三种重要的连续型随机变量).,(,),(, 0,1)(baUXbaXbxaabxfX记为记为上服从均匀分布上服从均匀分布在区间在区间则称则称其它其它具有概率密度具有概率密度设连续型随机变量设连续型随机变量定义定义 () 均匀分布均匀分布)(xfab 即对于即对于( c, c + l ) (a, b ) ，有有1c lcP cxcldxba lba 均匀分布的分布函数：均匀分布的分布函数： 特点：特点：

6、随机变量随机变量X 落在落在 (a, b ) 的子区间的的子区间的概率与位置无关，仅与测度（即长度）成正比概率与位置无关，仅与测度（即长度）成正比. .0,;(),;1,xaxaFxaxbbaxb 均匀分布常见于下列情形：均匀分布常见于下列情形： 如在数值计算中，由于四舍五如在数值计算中，由于四舍五 入，小数入，小数点后某一位小数引入的误差，例如对小数点点后某一位小数引入的误差，例如对小数点后第一位进行四舍五后第一位进行四舍五 入时，那么一般认为误入时，那么一般认为误差服从（差服从（-0.5, 0.5）上的均匀分布。）上的均匀分布。如公交系统中乘客随机乘车的等车时间如公交系统中乘客随机乘车的等

7、车时间解解 设设X表示他到站的时刻（以分计），则表示他到站的时刻（以分计），则X是一个随机变量，且是一个随机变量，且X的概率密度为的概率密度为例例（等待时间）公共汽车从上午（等待时间）公共汽车从上午7 7点开始每点开始每1515分钟按时分钟按时有汽车到站，一乘客在有汽车到站，一乘客在7:00到到7:30随机到达车站随机到达车站. .求求(1)(1)他等车时间不超过他等车时间不超过5 5分钟的概率分钟的概率(2)(2)超过超过1010分钟的概率分钟的概率. .(0,30).XU1,010,( )300,.xf x 其它(1) 10152530PXPX15301025113030dtdt13 1,

8、010,( )300,.xf x 其它(2) 051520PXPX520015113030dtdt13 例例 设随机变量设随机变量X U( 0, 5 ) , 求方程求方程4 r2 + 4X r + X + 2 = 0 有实根的概率有实根的概率 p .解解：p = P ( 4 X )2 44 ( X+ 2 ) 0 = P X2 (X + 2)0 = P ( X 2 )( X + 1 )0 = P( X 1 X 2 ) = P X 1 + P X 2 = P 2 X 5 5 25=35=例例 设随机变量设随机变量 X 在在 2, 5 上服从均匀分布上服从均匀分布, 现对现对 X 进行三次独立观测进

9、行三次独立观测 ,试求至少有两次观测值大于试求至少有两次观测值大于3 的的概率概率. X 的密度函数为的密度函数为 ., 0, 52,31)(其他其他xxf设设 A 表示表示“对对 X 的观测值大于的观测值大于 3 ”, Y 表示表示3次独次独立观测中观测值大于立观测中观测值大于3的次数的次数.解解3)( XPAP由由于于,32d3153 x则则2 B3,.3Y 2 YP.2720 因而有因而有32()kP Yk 333222( ) (1)33kkkkC (2) 指数分布指数分布 设随机变量设随机变量X 的概率密度函数为的概率密度函数为称随机变量称随机变量X 服从参数为服从参数为 l l 的的

10、指数分布指数分布.( l l 0 0),0;()0,.xexf xl ll l 其他指数分布的分布函数：指数分布的分布函数：0,0;()10 xxFxexl l 指数分布的重要性质指数分布的重要性质 :“无记忆性无记忆性”.有有对于任意对于任意, 0t , s .|tXPsXtsXP |sXtsXP证明证明)()(SXPsXtsXP )SXPtsXP xs txsedxedxl ll ll ll l |xs txseel ll l ()s tseel ll l tel l tXP|xtel l xtedxl ll l tel l 而而于是于是.|tXPsXtsXP 指数分布的无记忆性是使其具有

11、广泛应用指数分布的无记忆性是使其具有广泛应用的重要原因！的重要原因！ 指数分布在可靠性理论中描绘设备工作的指数分布在可靠性理论中描绘设备工作的可靠时间可靠时间. .在排队论中它被广泛地用于描绘等待时间在排队论中它被广泛地用于描绘等待时间, ,如电话通话时间、各种随机服务系统的服务时如电话通话时间、各种随机服务系统的服务时间、等待时间等间、等待时间等. .例例 某种电子元件的寿命某种电子元件的寿命(以小时计以小时计) X 服从指数分服从指数分布布,其概率密度为其概率密度为(1) 求元件寿命至少为求元件寿命至少为200小时的概率小时的概率. (2) 将将3只这种元件联接成为一个系统，设系统工作只这

12、种元件联接成为一个系统，设系统工作的方式是至少的方式是至少2只元件失效时系统失效，又设只元件失效时系统失效，又设3只元只元件工作相互独立件工作相互独立.求系统的寿命至少为求系统的寿命至少为200小时的概小时的概率率. ., 00,1001)(100其它其它xexfx200 XP 200)(dxxfdxex1002001001 2200| 0000 eex解解 (1)(1)元件寿命至少为元件寿命至少为200200小时的概率为小时的概率为2 2只及只及2 2只以上元件的寿命大于只以上元件的寿命大于200200小时的概率为小时的概率为23222232()() (1)P YeCee0.050. 故系统

13、的寿命至少为故系统的寿命至少为200200小时的概率为小时的概率为0.050.p (2)(2)以以Y Y记记3 3只元件中寿命大于只元件中寿命大于200200小时的元件的只数小时的元件的只数. . 由于各元件的工作相互独立，又由由于各元件的工作相互独立，又由(1)(1)知一元件的寿知一元件的寿命大于命大于200200小时的概率为小时的概率为e e-2-2, ,故有故有2(3,).YBe 正态分布是最常见最重要的一种分布正态分布是最常见最重要的一种分布,例如例如测量误差测量误差, 人的生理特征尺寸如身高、体重等人的生理特征尺寸如身高、体重等 ;正常情况下生产的产品尺寸正常情况下生产的产品尺寸:直

14、径、长度、重量直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布高度等都近似服从正态分布.正态分布的应用与背景正态分布的应用与背景 (3) 正态分布正态分布(高斯分布高斯分布).,(,)0(,e21)(22)(22NXXxxfXx记记为为的的正正态态分分布布或或高高斯斯分分布布服服从从参参数数为为则则称称为为常常数数其其中中的的概概率率密密度度为为设设连连续续型型随随机机变变量量 正态分布的定义正态分布的定义正态概率密度函数的几何特征正态概率密度函数的几何特征;)1(对称对称曲线关于曲线关于x ;21)(,)2(xfx取得最大值取得最大值时时当当 ; 0)(,)3(xfx时时当当;)4(处有拐点处有拐点

15、曲线在曲线在x ;,)(,)6(轴作平移变换轴作平移变换着着只是沿只是沿图形的形状不变图形的形状不变的大小时的大小时改变改变当固定当固定xxf;)5(轴轴为为渐渐近近线线曲曲线线以以 x.,)(,)7(图形越矮越胖图形越矮越胖越大越大图形越高越瘦图形越高越瘦越小越小而形状在改变而形状在改变不变不变图形的对称轴图形的对称轴的大小时的大小时改变改变当固定当固定xf正态分布的分布函数正态分布的分布函数txFxtde21)(222)( 正态分布下的概率计算正态分布下的概率计算txFxtde21)(222)( xXP ? 原函数不是原函数不是初等函数初等函数方法一方法一:利用统计软件计算利用统计软件计算

16、方法二方法二:转化为标准正态分布查表计算转化为标准正态分布查表计算).1, 0(,1, 0),(2NN记为记为态分布态分布的正态分布称为标准正的正态分布称为标准正这样这样时时中的中的当正态分布当正态分布 标准正态分布的概率密度表示为标准正态分布的概率密度表示为,e21)(22 xxx 3. 标准正态分布标准正态分布标准正态分布的分布函数表示为标准正态分布的分布函数表示为.,de21)(22 xtxxt标准正态分布的图形标准正态分布的图形),5 . 02 . 0()1( XP),2 . 1()2( XP)34. 0|(|)( XP(0,1)XN例设求)5 . 02 . 0()( XP)2 . 0

17、()5 . 0( 5793. 06915. 0 1122. 0 查表标准正态分布函数表查表标准正态分布函数表(2)由标准正态分布概率密度图形的对称性易知：由标准正态分布概率密度图形的对称性易知：).(1)(xx 即即xXP .1xXP xXPxx)2 . 1( (1.2)P X )2 . 1(1 1151. 08849. 01 0.340.34PX )34.0|(|)( XP )34. 0()34. 0( (0.34)1(0.34) 16331. 02 1)34. 0(2 2662. 0 它的依据是下面的定理：它的依据是下面的定理： 标准正态分布的重要性在于，任何一个标准正态分布的重要性在于，

18、任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布标准正态分布. . 根据定理根据定理1,1,只要将标准正态分布的分布只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题率计算问题. .定理定理1 12( ,),(0,1)XXNYN 设则2( ,),XN 若若XY N(0,1) 若若 XN(0,1),()aXbP()P aXb( )( )ba ()()ba ()P aXb()abPY求求设设例例),60,500(32NX)( 0 0 XP|)( 0 00 0 0 00 0 XP., 1 .

19、0)3(xxXP求求若若 )1(00 XP解解00 XP 6050056060500XP 605005601 )1(1 1587. 08413. 01 0 00 0 0 00 0 |)2(XP 0 00 0 0 00 0 | XP 0 00 0 0 00 0 0 00 0 XP700300 XP 6050070060500605003001XP 3103101 131021 00 0 00 00 0 0 0 0 0 .).(, 1 . 0)3( xXP要求要求1 . 060500 x 即即需需 . 060500 x 为为单单调调函函数数因因为为)( ,.60500 x故故需需92.576 x即即).( 例例2 公共汽车车门的高度是按男子与车门公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在顶头碰头机会在0.01以下来设计的以下来设计的. .设男子设男子身高身高XN( (170, ,62),),问车门高度应如何确定问车门高度应如何确定? ? 解解: : 设车门高度为设车门高度为h cm, ,按设计要求按设计要求P(X h)0.