第一二节时间响应和状态响应矩阵

1、3/18/20221第七章 状态空间分析法3/18/20222n时间响应n状态转移矩阵 n状态转移矩阵（矩阵指数）的运算n系统的能控性和能观测性n对偶原理n能控性和能观测性与传递函数的关系3/18/202237.1 引言 用状态空间法对线性系统进行定量和定性的分析。定量分析给出系统对给定输入响应的解析表达式，讨论状态转移矩阵的性质和计算方法。定性分析讨论线性系统的能控性和能观测性及稳定性。7.2 时间响应与状态转移矩阵一、状态方程的求解（时间响应）及状态转移矩阵的性质： 线性定常连续系统的状态方程为： ，给定初值 和输入 ，要求确定状态变量的未来的变化。即求出 -时间响应。uBxAx)0(x)

2、(tu)(tx3/18/20224两端拉氏变换得： ，整理得：)()()0()(sbUsaXxssX)()0()(suasbasxsX拉氏反变换得：ttaatdbuexetx0)()()0()(这里用到了拉氏变换的卷积性质: 若tdftftftftfsFsFsF0212121)()()(*)()(),()()(则式中，kkattkatataate! 3! 213322回忆标量方程： （初值为 ）的求解： )()()(tbutaxtx)0(x3/18/20225同样，对于状态方程，两边求拉氏变换得：)()0()()(),()()0()(sUBxsXAsIsUBsXAxsXs两边左乘 得：1)(

3、AsI)()()0()()(11sUBAsIxAsIsX)()()0()()(1111sUBAsILxAsILtx参考右边的标量式：32211xaxaxax上式右边是等比级数之和（初值= ， ）。其和为x1xaq ax1我们也可以将 写成上述形式：1)( AsIkksAsAsAsIAsI3221)(3/18/20226那麽，t AkkektAtAtAt AIAsIL! 3! 2)(332211ttAt AduBexetx0)()()0()(它由两部分组成：一部分是由初始状态 引起的自由解，也叫零输入解，即是齐次方程 的解， 。另一部分是由输入 引起的强迫解。也叫零状态解，即 时的解。)0(x)

4、()(txAtx)0()(xetxt A0)0(x)(tu若初始时刻为 ，可以不加证明的说明如下：0ttttAttAduBexetx00)()0()()()(我们称 为状态转移矩阵，或叫矩阵指数。它是维方阵。)(00)(ttAettnnttduBtxtttx0)()()0()()(0方程 称为状态转移方程。3/18/20227 表明了系统从初始状态 到任意状态 的转移特征。它只取决于状态阵 而与输入 无关。 )(0tt )(0tx)(NtxA)(tu讨论齐次方程 ， 的解：)()(00txtxtt)()(txAtx)()()(00txtttx，则有：)()()(0022txtttx)(0tx)

5、(12tt )(02tt )(2tx)(01tt )(1tx如上图，若将 看作 的初值，则有： )()()()()()(001121122txtttttxtttx)(1tx)(2tx所以， ，它表示了随着时间 的推移，状态的转移过程。状态可以在时间轴上分段。)()()(011202ttttttt3/18/20228转移矩阵的性质：q对于任意的 方阵 ，恒有 ，式中， 为标量。可以用定义证明之。 nnA)(tAAt Aeeet ,q ，用定义证明。IeeAttA0)(q矩阵指数 总是非奇异的，即其逆存在，且 。证明：t Aet At Aee1)(IeeeteeeAAtt AtAAt A0)(，有

6、，令t At Aee1)(同样，)()()(010)()(1)(000tttteeettAttAttA3/18/20229q对于矩阵指数 ，有：t AeAeeAdtdet At At A，可以用定义证明。用途：对于齐次方程 ，有：)(| )(,00txtxxAxtt)()()(00txtttx)()()()()()(0000txttAtxAtxtttx)()(00ttAttAIAAtt)0()0(,0有令由此性质可以看出:已知矩阵指数 可求 ，方法为：A0| )(0ttttA3/18/202210q对方阵 ，当nnnnBA,tBt AtBAeeeABBA )(时，有tBt AtBAeeeABB

7、A)(时，q若有n阶方阵 ，及n阶非奇异阵 ，且 ，则： 。 APBPAP11PePetBt A上面性质告诉我们：若求 较复杂，而求 简单时，可用此法。比如可以令 t AetBe)()(约当阵或对角阵JBB3/18/202211状态和矩阵指数的关系：当没有输入时（ ），有：0)(tu)()()(00txtttxq给定 及一组 ，可求出 。)(t)(0tx)(txq给定两组 及 ，可求出 。)(t)(0tx)(tx例7-2-1已知某二阶系统齐次状态方程为： ，其解为：)()(txAtxttttttteeteetxxeetxx2)(11)0(,2)(12)0(时，时，试求矩阵指数 。)(t解：设

8、，则：22211211)(t)0()0()()(212221121121xxtxtx3/18/2022121121222221121122211211ttttttteeteeee及即由上述四个方程可以解出21, 21,jiij也可以写成下列形式：11122222211211ttttttteeeteee则： 122211211111222ttttttteeeteee3/18/202213例7-2-2：已知： ，求 。 11)0(,22222222xeeeeeeeeettttttttt A)(tx解：ttttttttttt Aeeeeeeeeeextxetx222222112222)0()()0(

9、)(3/18/202214二、矩阵指数的计算：q直接级数求和法： ，适用于数值运算。0!kkkt AkAteq拉氏变换法：11)()(AsIett AL例7-2-3：若 ，求：3210At Ae解：,321ssAI s)2)(1(321|ssssAIs,213)(*ssAI s。ssssAI s213)2)(1(1)(13/18/202215ttttttttt AeeeeeeeessssssssLe2222122222211221221112112q 标准型法（特征值，特征向量法）：这个方法是根据 的性质而得到的：若 ，则： ，可以分为两步求解：t AeBPAP11PePetBt A3/18/

10、202216b、如何求解 或 。tet Jea、取适当的变换阵 ，使 （对角阵）或 （约当阵）。当 有互异特征根时， 可化为 ；当 有相同特征根时， 只能化为 ；关于 的求法已在上面介绍过了。 PPAP1JPAP1AAAJP下面根据四种情况分别说明：、 有互异特征根，则 ，若对角阵为：PAP1ttttnneeee000000,0000002121则：A3/18/202217证明：tttkknkkkknnkktneeetktktkttttttItktttIe21!1!1!1! 21! 21! 21!1! 31! 2121222222212133221PePett A：有根据矩阵指数的性质，3/1

11、8/202218、 有全重特征根，则 ，若约当阵为：JPAP11222121000001000! 2100)!2(! 210)!1(! 210010001PePetttntttnttteeJt Jt Anntt J，所以，则，：A3/18/202219、当 中有m个重特征根 ，n-m个互异根 时， 可化为：1nmm,21AA111PeeePetttJt Anm则：,111nmJPAP1111111J式中：3/18/202220 中有 个重根 ， 个重根 ，其余互异根 时。、A1m2m12nmm121nmmJJPAP121121112111PeeeePetttJtJt Anmm依次类推。3/18

12、/202221例7-2-4：设 ,求3210At Ae解： 的特征方程：A0321, 0即AI解得：2, 121同理，当 时，求得： 22212P转换阵：1112, 1| ,211121PPPPP11,32101211121112111PPPPPPP取即：求特征向量：当 时，有 ， 为对应的特征向量。11111PPA1P3/18/20222211121PPP那麽tttttttttttt AeeeeeeeeeooePePe2222212222111221113/18/202223例7-2-5：设 求,452100010At Ae2, 1, 04521001, 0321解得：AI所以 不能选范德蒙

13、阵。P解： 是可控标准型，我们以前讲过，当特征根互异时，转换成对角阵的转换阵 是范德蒙矩阵。我们先求特征根。AP3/18/202224求 时的特征向量：设为 121)2(1)1 (1,PP111452100010, 0)()1(1312111312111)1(11PPPPPPPPAI：得由同理，由 ，得： 。求 时的特征向量： ，得 )1(1)2(11)(PPAITP) 101()2(1230)(33PAI由TP4213411201111P转换阵3/18/20222512110000101,21011PetePPePeJPAPttt Jt A：则3/18/202226q凯莱哈密尔顿法（待定系数

14、法）：凯莱哈密尔顿定理：设 阶方阵 的特征多项式为：nA。：。oIaAaAaAoAfaaaafnnnnnnnn0111012211)(,)(即有成立则。，。：的线性组合来表示都可由也就是说由此知121121,),(AAAAAAAAfAnnnnnnn。：，1)()()(!1110nAtAtItetAkt AIent Akkt A可表示为因此3/18/202227当 有互异的特征根 时，有：An,1tttnnnnnnnneeettt211121222211211110111)()()(上述定理可由凯莱-哈密而顿定理证明（略）。当 有重特征根时，较繁，略去。A3/18/202228例7-2-6：设

15、，求 。t Ae3210A解：21032121，：，得由AItttttttteeeeeeeett2222110211122111)()(：则AeeIeeettttt A)()2(223/18/202229q 信号流图法： 为了避免矩阵求逆的运算，可以根据状态方程，画出信号流图，再用梅逊公式求出矩阵指数 。)(t 因 只与 阵有关，因此讨论 的解：)(tA)0()()(xttx)()(txAtx，其拉氏变换为：)0()()(xssx以二阶系统为例说明：)0()()0()()()0()()0()()()0()0()()()()()(222121221211112122211211xsxssxxsx

16、ssxxxsssssx上式中， 表示以 为输入， 为输出的传递函数。在信号流图上可以用梅逊公式求 和 之间的传递函数 ，即可得出 ，进而求出 。)(sij)0(jx)(sxi)0(jx)(sxi)(sij)(s)()(1sLt3/18/202230例7-2-7：状态方程为：)0(1) 1 . 5 . 2(1121221xxLRxLxuCxCx初值见例解：两边求拉氏变换得： )()(1)0()()(1)(1)0()(2122211sxLRsxLxssxsuCsxCxssx)()(1)0()()(1)0()(, 0)(2122211sxsLRsxsLsxsxsxCssxsxsu则有令3/18/20

17、2231233)0()()(231)31 (1)0()(31,231, 1,)0()(2111121111112111111sssxsxsssssxsxsssppsxsx故：式中，：)(),0(: )(1111sxxs输出为输入为求信号流图为：令21, 1, 3CLR1s1s1123)(1tx )(2tx)(1tx)(2tx 1sx)0(1sx)0(2)(2sx)(1sxssxssxsxsxsxssxsx)(3)()0()()(2)0()(21222113/18/202232)(),0(: )(1212sxxs输出为输入为求232)0()()(231121)0()(1,2,231,)0()(2211221221212212221ssxsxsssssxsxspsspsxsx，故：式中：)(),0(: )(2121sxxs输出为输入为求231)0()()(1,)0()(