电磁场的基本规律

1、 本节讨论的内容本节讨论的内容：电荷模型、电流模型、电荷守恒定律：电荷模型、电流模型、电荷守恒定律 电磁场物理模型中的基本物理量可分为源量和场量两大类。电磁场物理模型中的基本物理量可分为源量和场量两大类。电荷电荷电流电流电场电场磁场磁场（运动）（运动） 源量为电荷源量为电荷 和和电流电流 ，分别用来描述产生电磁效分别用来描述产生电磁效应的两类场源。电荷是产生电场的源，电流是产生磁场的源。应的两类场源。电荷是产生电场的源，电流是产生磁场的源。),(trq),(trI2.1 电荷守恒定律电荷守恒定律 电荷是物质基本属性之一。电荷是物质基本属性之一。 1897年英国科学家年英国科学家汤姆逊汤姆逊(J

2、.J.Thomson)在实验中发现了在实验中发现了电子。电子。 1907-1913年间，美国科学家年间，美国科学家密立根密立根(R.A.Miliken)通过油通过油滴实验，精确测定电子电荷的量值为滴实验，精确测定电子电荷的量值为 e =1.602 177 3310-19 (单位：单位：C )确认了电荷的量子化概念。换句话说，确认了电荷的量子化概念。换句话说，e 是最小的电荷，而任是最小的电荷，而任何带电粒子所带电荷都是何带电粒子所带电荷都是e 的整数倍。的整数倍。 宏观分析时，电荷常是数以亿计的电子电荷宏观分析时，电荷常是数以亿计的电子电荷e的集合，故的集合，故可不考虑其量子化的事实，而认为电

3、荷量可不考虑其量子化的事实，而认为电荷量q可任意连续取值。可任意连续取值。2.1.1 电荷和电荷密度电荷和电荷密度 理想化实际带电系统的电荷分布形态分为四种形式：理想化实际带电系统的电荷分布形态分为四种形式： 点电荷、体分布点电荷、体分布电荷、电荷、面分布电荷、线分布电荷面分布电荷、线分布电荷VrqVrqrVd)(d)(lim)(0VVrqd)(单位：单位：C/m3 (库库/米米3 ) 根据电荷密度的定义，如果已知根据电荷密度的定义，如果已知某空间区域某空间区域V 中的电荷体密度，则区中的电荷体密度，则区域域V 中的总电荷中的总电荷q为为 电荷连续分布于体积电荷连续分布于体积V 内，用电荷体密

4、度来描述其分布内，用电荷体密度来描述其分布qVyxzorV1. 电荷体密度电荷体密度 若电荷分布在薄层上若电荷分布在薄层上，当仅考虑薄层外、距薄层的距离要当仅考虑薄层外、距薄层的距离要比薄层的厚度大得多处的电场，而不分析和计算该薄层内的电比薄层的厚度大得多处的电场，而不分析和计算该薄层内的电场时，可将该薄层的厚度忽略，认为电荷是面分布。面分布的场时，可将该薄层的厚度忽略，认为电荷是面分布。面分布的电荷可用电荷面密度表示电荷可用电荷面密度表示。 单位单位: C/m2 (库库/米米2) 如果已知某空间曲面如果已知某空间曲面S 上的电荷上的电荷面密度，则该曲面上的总电荷面密度，则该曲面上的总电荷q

5、为为SsSrqd)(SrqSrqrSSd)(d)(lim)(0yxzorqSS2. 电荷面密度电荷面密度 若电荷分布在细线上，若电荷分布在细线上，当仅考虑细线外、距细线的距离要当仅考虑细线外、距细线的距离要比细线的直径大得多处的电场，而不分析和计算线内的电场时，比细线的直径大得多处的电场，而不分析和计算线内的电场时，可将线的直径忽略，认为电荷是线分布。可将线的直径忽略，认为电荷是线分布。线分布的电荷可用电线分布的电荷可用电荷线密度表示。荷线密度表示。 lrqlrqrlld)(d)()(lim0 如果已知某空间曲线上的电荷线如果已知某空间曲线上的电荷线密度，则该曲线上的总电荷密度，则该曲线上的总

6、电荷q 为为 Cllrqd)(单位单位: C / m (库库/米米)yxzorql3. 电荷线密度电荷线密度 对于总电荷为对于总电荷为 q 的电荷集中在很小区域的电荷集中在很小区域 V 的情况，当不分的情况，当不分析和计算该电荷所在的小区域中的电场，而仅需要分析和计算析和计算该电荷所在的小区域中的电场，而仅需要分析和计算电场的区域又距离电荷区很远，即场点距源点的距离远大于电电场的区域又距离电荷区很远，即场点距源点的距离远大于电荷所在的源区的线度时，小体积荷所在的源区的线度时，小体积 V 中的电荷可看作位于该区域中的电荷可看作位于该区域中心、电荷为中心、电荷为 q 的点电荷。的点电荷。 点电荷的

7、电荷密度表示点电荷的电荷密度表示)()(rrqryxzorq4. 点电荷点电荷说明说明：电流通常是时间的函数，不随时间变化的电流称为电流通常是时间的函数，不随时间变化的电流称为恒定恒定 电流电流，用，用I 表示。表示。 存在可以自由移动的电荷存在可以自由移动的电荷; ; 存在电场。存在电场。单位单位: A （安）（安）电流方向电流方向: : 正电荷的流动方向正电荷的流动方向0lim ()ddtiqtqt 电流电流 电荷的定向运动而形成，用电荷的定向运动而形成，用i 表示，其大小定义为：表示，其大小定义为： 单位时间内通过某一横截面单位时间内通过某一横截面S 的电荷量，即的电荷量，即形成电流的条

8、件形成电流的条件：2.1.2 电流和电流密度电流和电流密度 一般情况下，在空间不同的点，电流的大小和方向往往是不一般情况下，在空间不同的点，电流的大小和方向往往是不同的。在电磁理论中，常用同的。在电磁理论中，常用体电流体电流、面电流面电流和和线电流线电流来描述电流来描述电流的状态。的状态。 nn0dlimdSiiJeeSS 电荷在某一体积内定向运动所形电荷在某一体积内定向运动所形成的电流称为体电流，用成的电流称为体电流，用电流密度矢电流密度矢量量 来描述。来描述。J单位单位：A / m2 （安（安/米米2） 。流过任意曲面流过任意曲面S 的电流为的电流为体电流密度矢量体电流密度矢量JneS正电

9、荷运动的方向正电荷运动的方向SJiSd1. 体电流体电流 电荷在一个厚度可以忽略的电荷在一个厚度可以忽略的薄层内定向运动所形成的电流称薄层内定向运动所形成的电流称为面电流，用面电流密度矢量为面电流，用面电流密度矢量 来描述其分布来描述其分布SJ面电流密度矢量面电流密度矢量d 0tenelSJ0htt0dlimdSliiJeell 单位：单位：A/m （安（安/米）米） 。通过薄导体层上任意有向曲线通过薄导体层上任意有向曲线 的电流为的电流为l正电荷运动的方向正电荷运动的方向)d(nleJilS2. 面电流面电流 电荷在一个横截面可以忽略的细线中定向运动所形成电荷在一个横截面可以忽略的细线中定向

10、运动所形成的电流称为线电流。的电流称为线电流。3. 线电流线电流电荷守恒定律电荷守恒定律:电荷既不能被创造，也不能被消灭，只能从物体电荷既不能被创造，也不能被消灭，只能从物体 的一部分转移到另一部分，或者从一个物体转移的一部分转移到另一部分，或者从一个物体转移 到另一个物体。到另一个物体。电流连续性方程电流连续性方程积分形式积分形式微分形式微分形式流出闭曲面流出闭曲面S S 的电流的电流等于体积等于体积V V 内单位时内单位时间所减少的电荷量间所减少的电荷量恒定电流的连续性方程恒定电流的连续性方程0t恒定电流是无源场，电恒定电流是无源场，电流线是连续的闭合曲线，流线是连续的闭合曲线，既无起点也

11、无终点既无起点也无终点电荷守恒定律是电磁现象中的基本定律之一。电荷守恒定律是电磁现象中的基本定律之一。VSVttqSJddddddtJ0dSSJ、0 J2.1.3 电荷守恒定律（电流连续性方程）电荷守恒定律（电流连续性方程）静电场静电场：由静止电荷产生的电场。由静止电荷产生的电场。重要特征重要特征：对位于电场中的电荷有电场力作用。对位于电场中的电荷有电场力作用。2.2 真空中静电场的基本规律真空中静电场的基本规律1. 库仑（库仑（Coulomb）定律）定律(1785年年) 真空中静止点电荷真空中静止点电荷 q1 对对 q2 的作用力的作用力:yxzo1r1q2r12R12F2q ，满足牛顿第三

12、定律。，满足牛顿第三定律。2112FF 大小与两电荷的电荷量成正比，大小与两电荷的电荷量成正比， 与两电荷距离的平方成反比；与两电荷距离的平方成反比； 方向沿方向沿q1 和和q2 连线方向，连线方向， 同性电荷相排斥，异性电荷相吸引；同性电荷相排斥，异性电荷相吸引；312012212120211244RRqqRqqeFR2.2.1 库仑定律库仑定律 电场强度电场强度 电场力服从叠加定理电场力服从叠加定理()iiRrr 真空中的真空中的N个点电荷个点电荷 （分别位于（分别位于 ）对点电荷对点电荷 （位于（位于 ）的作用力为）的作用力为12Nqqq、 、 、q12Nrrr、 、 、rqq1q2q3

13、q4q5q6q7NiiiiNiqqqRRqqFFi13014 空间某点的电场强度定义为置于该点的单位点电荷（又称空间某点的电场强度定义为置于该点的单位点电荷（又称试验电荷）受到的作用力，即试验电荷）受到的作用力，即00)(lim)(0qrFrEq304)(RRqrE 根据上述定义，真空中静止点根据上述定义，真空中静止点电荷电荷q 激发的电场为激发的电场为()Rrr 描述电场分布的基本物理量描述电场分布的基本物理量 电场强度矢量电场强度矢量E0q试验正电荷试验正电荷 yxzorqrREM2. 电场强度电场强度小体积元中的电荷产生的电场小体积元中的电荷产生的电场( )rVyxzoriVrM体密度为

14、体密度为 的体分布电荷产生的电场强度的体分布电荷产生的电场强度)(riiiiiRRVrrE304)()(VVRRrd)(4130)(rS面密度为面密度为 的面分布的面分布电荷的电场强度电荷的电场强度)(rl线密度为线密度为 的线分布的线分布电荷的电场强度电荷的电场强度SSSRRrrEd)(41)(30CllRRrrEd)(41)(3002lE 22 3 20(0,0, )2()lza zEzaz+（无限长）（无限长）（有限长）（有限长）lyxzoMa均匀带电圆环均匀带电圆环l1zM2均匀带电直线段均匀带电直线段均匀带电直线段的电场强度均匀带电直线段的电场强度：均匀带电圆环轴线上的电场强度：均匀

15、带电圆环轴线上的电场强度：120210(coscos)4(sinsin)4llzEErrr-3. 几种典型电荷分布的电场强度几种典型电荷分布的电场强度5330013()( )2cossin44rp r rpPE reerrr pql电偶极矩电偶极矩Er+q电偶极子电偶极子zolq电偶极子的场图电偶极子的场图等位线等位线电场线电场线 电偶极子是由相距很近、带等值异号的两个点电荷组成的电偶极子是由相距很近、带等值异号的两个点电荷组成的电荷系统，其远区电场强度为电荷系统，其远区电场强度为 电偶极子的电场强度：电偶极子的电场强度：例例2.2.1 计算均匀带电的环形薄圆盘轴线上任意点的电场强度。计算均匀

16、带电的环形薄圆盘轴线上任意点的电场强度。 解解：如图所示，环形薄圆盘的内半径为如图所示，环形薄圆盘的内半径为a 、外半径为、外半径为b，电荷，电荷面密度为面密度为 。在环形薄圆盘上取面积元在环形薄圆盘上取面积元 ，其位置矢量为其位置矢量为 ，它所带的电量为它所带的电量为 。而薄圆盘轴线上的场点而薄圆盘轴线上的场点 的位置的位置矢量为矢量为 ，因此有，因此有Sd d d Sredd d d SSqS (0,0, )Pzzre z222 3/200( )dd4()bzSae zeE rz P(0,0,z)brRyzx均匀带电的环形薄圆盘均匀带电的环形薄圆盘dSadE故故223/222 1/222

17、1/200d11( )2()2()()bSSzzazzzzazb E ree2200dcossin)d0 xye(ee由于由于VSVrSrE)d(1d)(0高斯定理表明高斯定理表明：静电场是有源场，电力线起始于正电荷，终止静电场是有源场，电力线起始于正电荷，终止 于负电荷。于负电荷。静电场的散度静电场的散度（微分形式）（微分形式）1. 静电场散度与高斯定理静电场散度与高斯定理静电场的高斯定理静电场的高斯定理（积分形式）（积分形式）( )0E r 环路定理表明环路定理表明：静电场是无旋场，是保守场，电场力做功与路径静电场是无旋场，是保守场，电场力做功与路径 无关。无关。静电场的旋度静电场的旋度（

18、微分形式）（微分形式）2. 静电场旋度与环路定理静电场旋度与环路定理静电场的环路定理静电场的环路定理（积分形式）（积分形式）0d)(ClrE0)()(rrE2.2.2 静电场的散度与旋度静电场的散度与旋度 在电场分布具有一定对称性的情况下，可以利用高斯定理计在电场分布具有一定对称性的情况下，可以利用高斯定理计算电场强度。算电场强度。 3. 利用高斯定理计算电场强度利用高斯定理计算电场强度具有以下几种对称性的场可用高斯定理求解：具有以下几种对称性的场可用高斯定理求解： 球对称分布球对称分布：包括均匀带电的球面，球体和多层同心球壳等。：包括均匀带电的球面，球体和多层同心球壳等。带电球壳带电球壳多层

19、同心球壳多层同心球壳均匀带电球体均匀带电球体aO0 无限大平面电荷无限大平面电荷：如无限大的均匀带电平面、平板等。：如无限大的均匀带电平面、平板等。 轴对称分布轴对称分布：如无限长均匀带电的直线，圆柱面，圆柱壳等。：如无限长均匀带电的直线，圆柱面，圆柱壳等。 例例2.2.2 求真空中均匀带电球体的场强分布。已知球体半径求真空中均匀带电球体的场强分布。已知球体半径为为a ，电，电 荷密度为荷密度为 0 。 解解：（1）球外某点的场强球外某点的场强0300341daqSES（2）求球体内一点的场强）求球体内一点的场强VSEVSd1d00ar0rrEa20303raE( r a )330234341

20、4raqEr003rE （r a 时，因时，因 ，故，故223/23()zaz2200223/2223/20( )d 4()2()zIaIae aB zzaza2200d( cossin )d0 xyeee由于由于 ，所以，所以 在圆环的中心点上，在圆环的中心点上，z = 0，磁感应强度最大，磁感应强度最大:)()(0rJrBISrJlrBSC00d)(d)(1. 恒定磁场的散度与磁通连续性原理恒定磁场的散度与磁通连续性原理磁通连续性原理磁通连续性原理表明表明：恒定磁场是无源场，磁感应线是无起点和恒定磁场是无源场，磁感应线是无起点和 终点的闭合曲线。终点的闭合曲线。恒定场的散度恒定场的散度（微

21、分形式）（微分形式）磁通连续性原理磁通连续性原理（积分形式）（积分形式）安培环路定理表明安培环路定理表明：恒定磁场是有旋场，是非保守场、电流是磁恒定磁场是有旋场，是非保守场、电流是磁 场的旋涡源。场的旋涡源。恒定磁场的旋度恒定磁场的旋度（微分形式）（微分形式）2. 恒定磁场的旋度与安培环路定理恒定磁场的旋度与安培环路定理安培环路定理安培环路定理（积分形式）（积分形式）0d)(SSrB0)(rB2.3.2 恒定磁场的散度与旋度恒定磁场的散度与旋度 在磁场分布具有一定对称性的情况下，可以利用安培环路在磁场分布具有一定对称性的情况下，可以利用安培环路定理计算磁感应强度。定理计算磁感应强度。 3. 利

22、用安培环路定理计算磁感应强度利用安培环路定理计算磁感应强度 解解：分析场的分布，取安培环路如图，则：分析场的分布，取安培环路如图，则 根据对称性，有根据对称性，有 ，故，故 12BBB00000202SySyJexBJex 例例2.3.2 求电流面密度为求电流面密度为 的无限大电流薄板产生的磁的无限大电流薄板产生的磁感应强度。感应强度。0SzSJe JlJlBlBlBSC0021dC1B2BOxy 解解 选用圆柱坐标系，则选用圆柱坐标系，则()Be B应用安培环路定理，得应用安培环路定理，得21022IBa例例2.3.3 求载流无限长同轴电缆产生的磁感应强度。求载流无限长同轴电缆产生的磁感应强

23、度。(1) 0a22122IIIaa取安培环路取安培环路 ，交链的电流为，交链的电流为()a0122IBea abcII(3) bc应用安培环路定理，得应用安培环路定理，得220322()2I cBcb(4) c(2) ab202 BI222232222bcIIIIcbcb40I 2203222I cBecb022IBe40B acb02Ib02IaO1. 电介质的极化现象电介质的极化现象 电介质的分子分为无极分子和有电介质的分子分为无极分子和有极分子。在电场作用下，介质中无极极分子。在电场作用下，介质中无极分子的束缚电荷发生位移，有极分子分子的束缚电荷发生位移，有极分子的固有电偶极矩的取向趋

24、于电场方向，的固有电偶极矩的取向趋于电场方向，这种现象称为电介质的极化。通常，这种现象称为电介质的极化。通常，无极分子的极化称为位移极化，有极无极分子的极化称为位移极化，有极分子的极化称为取向极化。分子的极化称为取向极化。2.4.1 电介质的极化电介质的极化 电位移矢量电位移矢量无极分子无极分子有极分子有极分子无外加电场无外加电场 媒质对电磁场的响应可分为三种情况：媒质对电磁场的响应可分为三种情况：极化极化、磁化磁化和和传导传导。 描述媒质电磁特性的参数为：描述媒质电磁特性的参数为： 介电常数介电常数、磁导率磁导率和和电导率电导率。无极分子无极分子有极分子有极分子有外加电场有外加电场E2.4

25、媒质的电磁特性媒质的电磁特性2. 极化强度矢量极化强度矢量)mC(2P0limiVpPnpV 极化强度矢量极化强度矢量 是描述介质极化程是描述介质极化程 度的物理量，定义为度的物理量，定义为Ppql 分子的平均电偶极矩分子的平均电偶极矩 P 的物理意义：单位体积内分子电偶的物理意义：单位体积内分子电偶 极矩的矢量和。极矩的矢量和。 极化强度与电场强度有关，其关系一般比较复杂。在线性、极化强度与电场强度有关，其关系一般比较复杂。在线性、 各向同性的电介质中，各向同性的电介质中， 与电场强度成正比，即与电场强度成正比，即Pe0PE e(0) 电介质的电极化率电介质的电极化率 EpnPipp 由于极

26、化，正、负电荷发生位移，在电介质内部可能出现由于极化，正、负电荷发生位移，在电介质内部可能出现净余的极化电荷分布，同时在电介质的表面上有面分布的极化净余的极化电荷分布，同时在电介质的表面上有面分布的极化电荷。电荷。3. 极化电荷极化电荷( 1 ) 极化电荷体密度极化电荷体密度 在电介质内任意作一闭合面在电介质内任意作一闭合面S，只只有电偶极矩穿过有电偶极矩穿过S 的分子对的分子对 S 内的极化内的极化电荷有贡献。由于负电荷位于斜柱体内电荷有贡献。由于负电荷位于斜柱体内的电偶极矩才穿过小面元的电偶极矩才穿过小面元 dS ，因此，因此dS对极化电荷的贡献为对极化电荷的贡献为Pdd cosd cos

27、dqqnl SP SPS S 所围的体积内的极化电荷所围的体积内的极化电荷 为为PqVSPVPSPqddPP E SPSdV( 2 ) 极化电荷面密度极化电荷面密度pnSP e 紧贴电介质表面取如图所示的闭合曲面，则穿过面积元紧贴电介质表面取如图所示的闭合曲面，则穿过面积元 的极化电荷为的极化电荷为dSPdd cosd cosdqqnl SP SPS故得到电介质表面的极化电荷面密度为故得到电介质表面的极化电荷面密度为nedSSP4. 电位移矢量电位移矢量 介质中的高斯定理介质中的高斯定理 介质的极化过程包括两个方面：介质的极化过程包括两个方面：q 外加电场的作用使介质极化，产生极化电荷；外加电

28、场的作用使介质极化，产生极化电荷；q 极化电荷反过来激发电场，两者相互制约，并达到平衡状极化电荷反过来激发电场，两者相互制约，并达到平衡状 态。无论是自由电荷，还是极化电荷，它们都激发电场，服态。无论是自由电荷，还是极化电荷，它们都激发电场，服 从同样的库仑定律和高斯定理。从同样的库仑定律和高斯定理。VpSVSE)d(1d00pE自由电荷和极化电荷共同激发的结果自由电荷和极化电荷共同激发的结果 介质中的电场应该是外加电场和极化电荷产生的电场的叠介质中的电场应该是外加电场和极化电荷产生的电场的叠加，应用高斯定理得到：加，应用高斯定理得到：PED0任意闭合曲面电位移矢任意闭合曲面电位移矢量量D的通

29、量等于该曲面的通量等于该曲面包含自由电荷的代数和包含自由电荷的代数和 小结小结：静电场是有源无旋场，电介质中的基本方程为：静电场是有源无旋场，电介质中的基本方程为 0EP引入电位移矢量（单位：引入电位移矢量（单位：C/m2 ) )pP 将极化电荷体密度表达式将极化电荷体密度表达式 代入代入 ，有，有0PED则有则有 VSVSDdd其积分形式为其积分形式为 0DE （微分形式），（微分形式）， （积分形式）（积分形式） 0dddCVSlEVSDEPe0EEED0re0)1 (在这种情况下在这种情况下0re0)1 (er1其中其中 称为介质的介电常数，称为介质的介电常数， 称为介称为介质的相对介电

30、常数（无量纲）。质的相对介电常数（无量纲）。* * 介质有多种不同的分类方法介质有多种不同的分类方法，如：，如：均匀和非均匀介质均匀和非均匀介质各向同性和各向异性介质各向同性和各向异性介质时变和时不变介质时变和时不变介质线性和非线性介质线性和非线性介质确定性和随机介质确定性和随机介质5. 电介质的本构关系电介质的本构关系E 极化强度极化强度 与电场强度与电场强度 之间的关系由介质的性质决定。之间的关系由介质的性质决定。对于线性各向同性介质，对于线性各向同性介质， 和和 有简单的线性关系有简单的线性关系PEP1. 磁介质的磁化磁介质的磁化 介质中分子或原子内的电子运动形介质中分子或原子内的电子运

31、动形成分子电流，形成分子磁矩成分子电流，形成分子磁矩无外加磁场无外加磁场外加磁场外加磁场B 在外磁场作用下，分子磁矩定向在外磁场作用下，分子磁矩定向排列，宏观上显示出磁性，这种现象排列，宏观上显示出磁性，这种现象称为磁介质的称为磁介质的磁化磁化。mpi S 无外磁场作用时，分子磁矩不规无外磁场作用时，分子磁矩不规则排列，宏观上不显磁性。则排列，宏观上不显磁性。mpi S 2.4.2 磁介质的磁化磁介质的磁化 磁场强度磁场强度mm0limVpMnpVB2. 磁化强度矢量磁化强度矢量M 磁化强度磁化强度 是描述磁介质磁化是描述磁介质磁化程度的物理量，定义为单位体积中程度的物理量，定义为单位体积中的

32、分子磁矩的矢量和，即的分子磁矩的矢量和，即 MmMnp单位为单位为A/m。3. 磁化电流磁化电流 磁介质被磁化后，在其内部磁介质被磁化后，在其内部与表面上可能出现宏观的电流分与表面上可能出现宏观的电流分布，称为磁化电流。布，称为磁化电流。 考察穿过任意围线考察穿过任意围线C 所围曲面所围曲面S 的电流。只有分子电流与围的电流。只有分子电流与围线相交链的分子才对电流有贡献。与线元线相交链的分子才对电流有贡献。与线元dl 相交链的分子，中心相交链的分子，中心位于如图所示的斜圆柱内，所交链的电流位于如图所示的斜圆柱内，所交链的电流MmddddIni SlnplMl BCdldlmpS穿过曲面穿过曲面

33、S 的磁化电流为的磁化电流为（1 1） 磁化电流体密度磁化电流体密度MJSCCSMlMIIdddMMMJMMMdSIJS由由 ，即得到磁化电流体密度，即得到磁化电流体密度MttddddIMlMelMl 在紧贴磁介质表面取一长度元在紧贴磁介质表面取一长度元d dl，与此交链的磁化电流为，与此交链的磁化电流为（2） 磁化电流面密度磁化电流面密度MSJMtSJM则则即即MnSJMe的切向分量的切向分量MMSJneMld4. 磁场强度磁场强度 介质中安培环路定理介质中安培环路定理 0M()BJJ SMCSJJlBd)(d0MJJ、分别是传导电流密度和磁化电流密度。分别是传导电流密度和磁化电流密度。 将

34、极化电荷体密度表达式将极化电荷体密度表达式 代入代入 ， 有有MJM0M()BJJ JMB)(0)(0MHB, 即即 外加磁场使介质发生磁化，磁化导致磁化电流。磁化电流同外加磁场使介质发生磁化，磁化导致磁化电流。磁化电流同样也激发磁感应强度，两种相互作用达到平衡，介质中的磁感应样也激发磁感应强度，两种相互作用达到平衡，介质中的磁感应强度强度B 应是所有电流源激励的结果：应是所有电流源激励的结果： MBH0定义磁场强度定义磁场强度 为：为：H)()(rJrHSCSrJlrHd)(d)(0)(rB0d)(SSrB则得到介质中的安培环路定理为：则得到介质中的安培环路定理为：磁通连续性定理为磁通连续性

35、定理为小结小结：恒定磁场是有源无旋场，磁介质中的基本方程为：恒定磁场是有源无旋场，磁介质中的基本方程为 （积分形式）（积分形式） （微分形式）（微分形式）0)()()(rBrJrH0d)(d)(d)(SSCSrBSrJlrHHMmHHB)1 (m0m其中，其中， 称为介质的磁化率（也称为磁化系数）。称为介质的磁化率（也称为磁化系数）。这种情况下这种情况下0rm0)1 (mr1其中其中 称为介质的磁导率，称为介质的磁导率， 称为介质称为介质的相对磁导率（无量纲）。的相对磁导率（无量纲）。顺磁质顺磁质抗磁质抗磁质铁磁质铁磁质磁介质的分类磁介质的分类1r5. 磁介质的本构关系磁介质的本构关系 磁化强

36、度磁化强度 和磁场强度和磁场强度 之间的关系由磁介质的物理性质决之间的关系由磁介质的物理性质决定，对于线性各向同性介质，定，对于线性各向同性介质， 与与 之间存在简单的线性关系：之间存在简单的线性关系：MHHM1r1rIHC2dlH磁场强度磁场强度02IHe磁化强度磁化强度00020IaaeBMH磁感应强度磁感应强度0022IaIaeBeHMB 例例2.4.1 有一磁导率为有一磁导率为 ，半径为，半径为a 的无限长导磁圆柱，其的无限长导磁圆柱，其轴线处有无限长的线电流轴线处有无限长的线电流 I，圆柱外是空气（，圆柱外是空气（0 ），试求圆柱内），试求圆柱内外的外的 、 和和 的分布。的分布。

37、解解 磁场为平行平面场磁场为平行平面场, ,且具有轴对称性，应用安培环路定理，且具有轴对称性，应用安培环路定理，得得 对于线性和各向同性导电媒质，媒质内任一点的电流密度矢对于线性和各向同性导电媒质，媒质内任一点的电流密度矢量量 J 和电场强度和电场强度 E 成正比，表示为成正比，表示为EJ这就是欧姆定律的微分形式。式中的比例系数这就是欧姆定律的微分形式。式中的比例系数 称为媒质的电称为媒质的电导率，单位是导率，单位是S/m（西（西/米）。米）。晶格晶格带电粒子带电粒子 存在可以自由移动带电粒子的介质称为存在可以自由移动带电粒子的介质称为导电媒质导电媒质。在外场作。在外场作用下，导电媒质中将形成

38、定向移动电流。用下，导电媒质中将形成定向移动电流。 2.4.3 媒质的传导特性媒质的传导特性 电磁感应定律电磁感应定律 揭示时变磁场产生电场。揭示时变磁场产生电场。 位移电流位移电流 揭示时变电场产生磁场。揭示时变电场产生磁场。 重要结论重要结论： 在时变情况下，电场与磁场相互激励，形成统一在时变情况下，电场与磁场相互激励，形成统一 的电磁场。的电磁场。2.5 电磁感应定律和位移电流电磁感应定律和位移电流 自从自从1820年奥斯特发现电流的磁效应之后，人们开始研究相年奥斯特发现电流的磁效应之后，人们开始研究相反的问题，即磁场能否产生电流反的问题，即磁场能否产生电流。 1881年年法拉第发现，当

39、穿过导体回路的磁通量发生变化时，法拉第发现，当穿过导体回路的磁通量发生变化时，回路中就会出现感应电流和电动势，且感应电动势与磁通量的变回路中就会出现感应电流和电动势，且感应电动势与磁通量的变化有密切关系，由此总结出了著名的法拉化有密切关系，由此总结出了著名的法拉第第电磁感应定律。电磁感应定律。 2.5.1 电磁感应定律电磁感应定律负号表示感应电流产生的磁场总是阻止磁通量的变化。负号表示感应电流产生的磁场总是阻止磁通量的变化。inddt 1. 法拉第电磁感应定律的表述法拉第电磁感应定律的表述 SSBd 设任意导体回路设任意导体回路 C 围成的曲面为围成的曲面为S，其，其单位法向矢量为单位法向矢量

40、为 ，则穿过回路的磁通为，则穿过回路的磁通为 neindddSBSt 当通过导体回路所围面积的磁通量当通过导体回路所围面积的磁通量 发发生变化时，回路中产生的感应电动势生变化时，回路中产生的感应电动势inin的大的大小等于磁通量的时间变化率的负值，方向是小等于磁通量的时间变化率的负值，方向是要阻止回路中磁通量的改变，即要阻止回路中磁通量的改变，即 ne B CS dlin,i 导体回路中有感应电流，表明回路中存在感应电场导体回路中有感应电流，表明回路中存在感应电场 ，回路，回路中的感应电动势可表示为中的感应电动势可表示为inE因而有因而有SCSBtlEddddinClEdinin 感应电场是由

41、变化的磁场所激发的电场。感应电场是由变化的磁场所激发的电场。 感应电场是有旋场。感应电场是有旋场。 感应电场感应电场不仅存在于导体回路中，也存在于导体回路之外的不仅存在于导体回路中，也存在于导体回路之外的 空间。空间。 对空间中的任意回路（不一定是导体回路）对空间中的任意回路（不一定是导体回路）C ，都有，都有 对感应电场的讨论对感应电场的讨论：SCSBtlEddddin这就是这就是推广的法拉第电磁感应定律推广的法拉第电磁感应定律。SCSBtlEdddd0dcClE 若空间同时存在由电荷产生的电场若空间同时存在由电荷产生的电场 , ,则总电场则总电场 应为应为 与与 之和，即之和，即 。由于。

42、由于 ，故有，故有 EinEincEEEcEcE相应的微分形式为相应的微分形式为(1) 回路不变，磁场随时间变化回路不变，磁场随时间变化ddddSSBBSStt2. 引起回路中磁通变化的几种情况引起回路中磁通变化的几种情况磁通量的变化由磁场随时间变化引起，因此有磁通量的变化由磁场随时间变化引起，因此有BEt SCStBlEdd称为动生电动势，这就是发电机工作原理。称为动生电动势，这就是发电机工作原理。( 2 ) 导体回路在恒定磁场中运动导体回路在恒定磁场中运动( 3 ) 回路在时变磁场中运动回路在时变磁场中运动CClBvlEd)(dinCSCStBlBvlEdd)(din （1） ，矩形回路静

43、止；，矩形回路静止；0cos()zBe Btxbaoyx均匀磁场中的矩形环均匀磁场中的矩形环LvBin00dcos()dsin()zzSSBSe Bte SabBttt （3） ，且矩形回路，且矩形回路上的可滑动导体上的可滑动导体L以匀速以匀速 运动。运动。vevx)cos(0tBeBz 解解：(1) 均匀磁场均匀磁场 随时间作简谐随时间作简谐变化，而回路静止，因而回路内的感应变化，而回路静止，因而回路内的感应电动势是由磁场变化产生的，故电动势是由磁场变化产生的，故B 例例2.5.1 长为长为 a、宽为、宽为 b 的矩形环中有均匀磁场的矩形环中有均匀磁场 垂直穿过，垂直穿过，如图所示。在以下三

44、种情况下，求矩形环内的感应电动势。如图所示。在以下三种情况下，求矩形环内的感应电动势。B （2） ，矩形回路的宽边，矩形回路的宽边b = 常数，但其长边因可滑动常数，但其长边因可滑动导体导体L以匀速以匀速 运动而随时间增大；运动而随时间增大；0BeBzxve v ( 3 ) 矩形回路中的感应电动势是由磁场变化以及可滑动导体矩形回路中的感应电动势是由磁场变化以及可滑动导体 L在磁场中运动产生的，故得在磁场中运动产生的，故得00sin()cos()vt bBtvbBt ( 2 ) 均匀磁场均匀磁场 为恒定磁场，而回路上的可滑动导体以匀速为恒定磁场，而回路上的可滑动导体以匀速运动，因而回路内的感应电

45、动势全部是由导体运动，因而回路内的感应电动势全部是由导体 L 在磁场中运动产在磁场中运动产生的，故得生的，故得B或或in00ddd()ddSBSbB vtbB vtt CyzxCvbBleBevelBv00ind)(d)(CSStBlBvdd)(inCSzzyzxSetBetBletBeved)cos(d)cos(00 （1）线圈静止时的感应电动势；）线圈静止时的感应电动势； 解解: （1）线圈静止时，感应电动势是由时变磁场引起，故）线圈静止时，感应电动势是由时变磁场引起，故 （2）线圈以角速度）线圈以角速度 绕绕 x 轴旋转时的感应电动势。轴旋转时的感应电动势。ab 例例 2.5.2 在时变

46、磁场在时变磁场 中，放置有一个中，放置有一个 的的矩形线圈。初始时刻，线圈平面的法向单位矢量矩形线圈。初始时刻，线圈平面的法向单位矢量 与与 成成角，如角，如图所示。试求：图所示。试求： 0sin()yBe Btneye0sin()dynSe BteSt 0cos()cos dSBtS 0cos()cosB abt xyzabB时变磁场中的矩形线圈时变磁场中的矩形线圈neCSStBlEddin 假定假定 时时 ，则在时刻，则在时刻 t 时，时， 与与y 轴的夹角轴的夹角 ，故故0t 0net 方法一：利用式方法一：利用式 计算计算indddSBSt 00d1sin(2)cos(2)d2B ab

47、tB abtt （2）线圈绕）线圈绕 x 轴旋转时，轴旋转时， 的指向将随时间变化。线圈内的的指向将随时间变化。线圈内的感应电动势可以用两种方法计算。感应电动势可以用两种方法计算。ne0n0ddsin()dsin()cos()ddySe BteSabBtttt indddSBSt 0sin()sinB abt0022000cos()cossin()sincos ()sin ()cos(2)inabBtB abtB abtBabtB abt 上式右端第二项与上式右端第二项与( 1 )相同，第二项相同，第二项xyzabB时变磁场中的矩形线圈时变磁场中的矩形线圈ne12 234 方法二：利用式方法二

48、：利用式计算。计算。xetBebelBvxyCd)sin()2(d)(012nxetBebexyd)sin()2(034nCSStBlBvdd)(in 在时变情况下，安培环路定理是否要发生变化？有什么变在时变情况下，安培环路定理是否要发生变化？有什么变 化？即化？即问题问题：随时间变化的磁场要产生电场，那么随时间变化的电场：随时间变化的磁场要产生电场，那么随时间变化的电场 是否会产生磁场？是否会产生磁场？ 静态情况下的电场基本方程在非静态时发生了变化，即静态情况下的电场基本方程在非静态时发生了变化，即0EtBE 这不仅是方程形式的变化，而是一个本质的变化，其中包含这不仅是方程形式的变化，而是一

49、个本质的变化，其中包含了重要的物理事实，即了重要的物理事实，即时变磁场可以激发电场时变磁场可以激发电场 。JH（恒定磁场）（恒定磁场）?H（时变场）（时变场）2.5.2 位移电流位移电流1. 全电流定律全电流定律而由而由JH非时变情况下，电荷分布随时间变化，由电流连续性方程有非时变情况下，电荷分布随时间变化，由电流连续性方程有 )(DtJ发生矛盾发生矛盾在时变的情况下不适用在时变的情况下不适用 解决办法解决办法： 对安培环路定理进行修正对安培环路定理进行修正由由 D0)(HJ0)(tDJ0tJ将将 修正为：修正为： JHtDJH矛盾解决矛盾解决时变电场会激发磁场时变电场会激发磁场全电流定律：全

50、电流定律：tDJH 微分形式微分形式StDJlHCsd)(d 积分形式积分形式 全电流定律揭示不仅传导电流激发磁场，变化的电场也可全电流定律揭示不仅传导电流激发磁场，变化的电场也可以激发磁场。它与变化的磁场激发电场形成自然界的一个对偶以激发磁场。它与变化的磁场激发电场形成自然界的一个对偶关系。关系。dtDJ2. 位移电流密度位移电流密度q 电位移矢量随时间的变化率，能像电电位移矢量随时间的变化率，能像电流一样产生磁场，故称流一样产生磁场，故称“位移电流位移电流”。注注：在绝缘介质中，无传导电流，但有位移电流。在绝缘介质中，无传导电流，但有位移电流。 在理想导体中，无位移电流，但有传导电流。在理

51、想导体中，无位移电流，但有传导电流。 在一般介质中，既有传导电流，又有位移电流。在一般介质中，既有传导电流，又有位移电流。q 位移电流只表示电场的变化率，与传位移电流只表示电场的变化率，与传导电流不同，它不产生热效应。导电流不同，它不产生热效应。q 位移电流的引入是建立麦克斯韦方程组的至关重要的一步，它位移电流的引入是建立麦克斯韦方程组的至关重要的一步，它揭示了时变电场产生磁场这一重要的物理概念。揭示了时变电场产生磁场这一重要的物理概念。dJ 例例 2.5.3 海水的电导率为海水的电导率为4 S/m ，相对介电常数为，相对介电常数为 81 ，求频，求频率为率为1 MHz 时，位移电流振幅与传导

52、电流振幅的比值。时，位移电流振幅与传导电流振幅的比值。 解解：设电场随时间作正弦变化，表示为设电场随时间作正弦变化，表示为则位移电流密度为则位移电流密度为其振幅值为其振幅值为传导电流的振幅值为传导电流的振幅值为故故mcosxEe Etd0rmsin()xDJeEtt 3dm0rmm4.5 10JEE cmmm4JEE3dmcm1.125 10JJmcos()(A/m)xHe Htkzdm2m()cos()sin()(A/m )xyzxxxyyyDJHeeee HtxyzHeeHtkzzze kHtkz m000m011dsin()dcos()(V/m)yyDDEte kHtkzttkeHtkz

53、 式中的式中的 k 为常数。试求：位移电流密度和电场强度。为常数。试求：位移电流密度和电场强度。 例例 2.5.4 自由空间的磁场强度为自由空间的磁场强度为 解解 自由空间的传导电流密度为自由空间的传导电流密度为0，故由式，故由式 , 得得DHt 例例 2.5.5 铜的电导率铜的电导率 、相对介电常数、相对介电常数 。设铜中的传导电流密度为设铜中的传导电流密度为 。试证明：在无线。试证明：在无线电频率范围内，铜中的位移电流与传导电流相比是可以忽略的。电频率范围内，铜中的位移电流与传导电流相比是可以忽略的。75.8 10 S/mr12mcos() A/mxJe Jtdr0r0mr0mcos()s

54、in()xxDEJe EteEtttt dmr0mJE 而传导电流密度的振幅值为而传导电流密度的振幅值为mmJE通常所说的无线电频率是指通常所说的无线电频率是指 f = 300 MHz以下的频率范围，即使以下的频率范围，即使扩展到极高频段（扩展到极高频段（f = 30300 GHz），从上面的关系式看出比），从上面的关系式看出比值值 Jdm/Jm 也是很小的，故可忽略铜中的位移电流。也是很小的，故可忽略铜中的位移电流。 解解：铜中存在时变电磁场时，位移电流密度为：铜中存在时变电磁场时，位移电流密度为位移电流密度的振幅值为位移电流密度的振幅值为1213dmr0mm7mmm21 8.854 109

55、.58 105.8 10JEfEfJEE VSVSJdd 宏观电磁现象所遵循的基本规律，是电宏观电磁现象所遵循的基本规律，是电 磁场的基本方程。磁场的基本方程。SVSCSCSdVSDSBStBlEStDJlHd0dddd)(d2.6 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组DBtBEtDJH0麦克斯韦第一方程，表明传导电麦克斯韦第一方程，表明传导电流和变化的电场都能产生磁场流和变化的电场都能产生磁场麦克斯韦第二方程，表麦克斯韦第二方程，表明变化的磁场产生电场明变化的磁场产生电场麦克斯韦第三方程表明磁场是麦克斯韦第三方程表明磁场是无源场，磁感线总是闭合曲线无源场，磁感线总是闭合曲线麦克斯韦第四方程，麦克斯韦

56、第四方程，表明电荷产生电场表明电荷产生电场2.6.2 麦克斯韦方程组的微分形式麦克斯韦方程组的微分形式EDHBEJ)(0)()()(EHHtEEtEH代入麦克斯韦方程组中，有代入麦克斯韦方程组中，有0/EHEtHEtHE 限定形式的麦克斯韦方程限定形式的麦克斯韦方程（均匀媒质）（均匀媒质）各向同性线性媒质的本构关系为各向同性线性媒质的本构关系为2.6.3 媒质的本构关系媒质的本构关系q 时变电场的激发源除了电荷以外，还有变化的磁场；而时变时变电场的激发源除了电荷以外，还有变化的磁场；而时变磁场的激发源除了传导电流以外，还有变化的电场。电场和磁场的激发源除了传导电流以外，还有变化的电场。电场和磁

57、场互为激发源，相互激发磁场互为激发源，相互激发。q 时变电磁场的电场和磁场不时变电磁场的电场和磁场不再相互独立，而是相互关联，再相互独立，而是相互关联，构成一个整体构成一个整体 电磁场。电磁场。电场和磁场分别是电磁场的电场和磁场分别是电磁场的两个分量。两个分量。q 在离开辐射源（如天线）的无源空间中，电荷密度和电流密在离开辐射源（如天线）的无源空间中，电荷密度和电流密度矢量为零，电场和磁场仍然可以相互激发，从而在空间形度矢量为零，电场和磁场仍然可以相互激发，从而在空间形成电磁振荡并传播，这就是电磁波。成电磁振荡并传播，这就是电磁波。q 在无源空间中，两个旋度方程分别为在无源空间中，两个旋度方程

58、分别为tDHtBE, 可以看到两个方程的右边相差一个负号，而正是这个负号可以看到两个方程的右边相差一个负号，而正是这个负号使得电场和磁场构成一个相互激励又相互制约的关系。当磁场使得电场和磁场构成一个相互激励又相互制约的关系。当磁场减小时，电场的旋涡源为正，电场将增大；而当电场增大时，减小时，电场的旋涡源为正，电场将增大；而当电场增大时，使磁场增大，磁场增大反过来又使电场减小。使磁场增大，磁场增大反过来又使电场减小。麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组时变场时变场静态场静态场0t0t缓变场缓变场迅变场迅变场电磁场电磁场(EM)准静电场准静电场(EQS)准静磁场准静磁场(MQS)0tD0tB小结小结： 麦

59、克斯韦方程适用范围麦克斯韦方程适用范围：一切宏观电磁现象。：一切宏观电磁现象。静磁场静磁场(MS)静电场静电场(ES)恒定电场恒定电场(SS)cmmddsin()ddcos()uiCCUtttCUt=msin()UtDEd 解解：( 1 ) 导线中的传导电流为导线中的传导电流为忽略边缘效应时，间距为忽略边缘效应时，间距为d 的两平行板的两平行板之间的电场为之间的电场为E = u / d ，则，则 msinuUt 例例 2.6.1 正弦交流电压源正弦交流电压源 连接到平行板电容器连接到平行板电容器的两个极板上，如图所示。的两个极板上，如图所示。(1) (1) 证明电容器两极板间的位移电流证明电容

60、器两极板间的位移电流与连接导线中的传导电流相等；与连接导线中的传导电流相等；(2)(2)求导线附近距离连接导线为求导线附近距离连接导线为r 处的磁场强度。处的磁场强度。CPricu平行板电容器与交平行板电容器与交流电压源相接流电压源相接与闭合线铰链的只有导线中的传导电流与闭合线铰链的只有导线中的传导电流 ，故得，故得cmcos()iC Utm2cos()rHCUt ( 2 ) 以以 r 为半径作闭合曲线为半径作闭合曲线C，由于连接导线本身的轴对称，由于连接导线本身的轴对称性，使得沿闭合线的磁场相等，故性，使得沿闭合线的磁场相等，故ddddSSDiJSSt式中的式中的S0为极板的面积，而为极板的