电磁场与电磁波(第三版之4)

1、 第第 4 4 章章 静态场边值问题的解法静态场边值问题的解法 静电场和恒定电场的边值问题，可归结为在给定边界条件下求解拉普拉斯静电场和恒定电场的边值问题，可归结为在给定边界条件下求解拉普拉斯方程或泊松方程。方程或泊松方程。 常用的方法有常用的方法有 本章在解析法中将介绍分离变量法；数值法中将介绍有限差分法；而间接本章在解析法中将介绍分离变量法；数值法中将介绍有限差分法；而间接法中将介绍镜像法。法中将介绍镜像法。直接法直接法间接法间接法解析法解析法数值法数值法4.1 4.1 直角坐标系中的分离变量法直角坐标系中的分离变量法4.2 4.2 圆柱坐标系中的分离变量法圆柱坐标系中的分离变量法4.3

2、4.3 球坐标系中的分离变量法球坐标系中的分离变量法4.4 4.4 镜像法镜像法4.5 4.5 有限差分法有限差分法4.1 4.1 直角坐标系中的分离变量法直角坐标系中的分离变量法 如果问题的边界面与直角坐标系的坐标面吻合，则可采用直角坐标系中的分如果问题的边界面与直角坐标系的坐标面吻合，则可采用直角坐标系中的分离变量法。离变量法。下面通过例子具体说明该方法。下面通过例子具体说明该方法。例例4.1.14.1.1 求如图所示二维长方形内的电位函数。求如图所示二维长方形内的电位函数。解：根据题意，所求区域的电位函数满足解：根据题意，所求区域的电位函数满足的方程及边界条件为的方程及边界条件为2000

3、00,000,xx ayy bxaybUx xa ayb b0U000? 12sincosxxf xAk xAk x只与只与x有关有关只与只与y有关有关 直角坐标系中方程直角坐标系中方程 可写为可写为2022220 xy（二维问题，与（二维问题，与z z无关）无关） 分离变量法的前提即假设分离变量法的前提即假设待求函数有分离变量形式的待求函数有分离变量形式的解：解： , x yfx g y 2222dd0ddfxg yg yfxxy上式两端同除以上式两端同除以 g y fx 2222dd110ddfxg yfxxg yy因此该式成立的条件：因此该式成立的条件： 222222d1dd1dxyfx

4、kfxxg ykg yy且且220 xykk xk为实数为实数yk为虚数为虚数xk为虚数为虚数yk为实数为实数 xk为零为零yk为零为零 xk为实数为实数xk为虚数为虚数xxkjxk为零为零 1fxC xC 1212sinhcoshxxxxxxfxBxBxfxBeB e或或同样的讨论适用于函数同样的讨论适用于函数 。为。为满足满足x=0和和x= =a的边界条件，应选取的边界条件，应选取 g y 12sincosxxf xAk xAk x则则 12sinhcoshyyg yByBy因为222200 xyxyyxkkkjk由边界条件由边界条件 000000 xfg yf由边界条件由边界条件 000

5、 x af a g yf a20A 1sin01,2,3.xxAk ankna于是于是 1sinnf xAxaxnka称为边值问题称为边值问题200000,000,xx ayy bxaybU的的本征值本征值。它的意义是：在上述边界。它的意义是：在上述边界条件下，分离常数条件下，分离常数 只有取这些特只有取这些特定值时，方程才有非零解。其解的函定值时，方程才有非零解。其解的函数形式数形式 称为称为本征函数本征函数。xksinnxa对于对于 12sinhcoshyyg yByBy因为yxnka由边界条件由边界条件 000000yfx gg20B 于是于是 1sinhng yBya得得 11,sin

6、sinhsinsinhx yf x g ynnABxyaannCxyaa由于由于 故故 的一般形式的一般形式 1,2,3.n , x y1,sinsinhnnnnx yCxyaa将边界条件将边界条件0y bU01sinsinhnnnnUCxbaa 这实际上是将一已知函数展为这实际上是将一已知函数展为傅里叶级傅里叶级数数。利用傅里叶级数的系数公式得。利用傅里叶级数的系数公式得000042sinhsind214sinh21annUnnCbUxxaaanUCnbna原问题的解原问题的解014,sinsinhsinh21nUnnx yxynaabna仅是仅是 的函数的函数仅是仅是r的函数的函数4.2

7、4.2 圆柱坐标系中的分离变量法圆柱坐标系中的分离变量法圆柱坐标系中的拉普拉斯方程为圆柱坐标系中的拉普拉斯方程为22222110rr rrrz对于二维平面场，即对于二维平面场，即 与与z无关，这时拉普拉斯方程变为无关，这时拉普拉斯方程变为222110rr rrr设设 具有分离变量形式的解为具有分离变量形式的解为, r , rf r g 2220gf rf rgrrrrr 2rf r g用用同乘以上式，得同乘以上式，得 2210f rgrrf rrrg上式若成立，必须上式若成立，必须 2222dd0ddfrfrrrn frrr（欧拉方程）（欧拉方程） 2221f rgrrf rrrg 222d0

8、dgg其解为其解为 sincosgAB 如果研究的区域是如果研究的区域是 ，因为函数，因为函数 必须满足单值性要求，即必须满足单值性要求，即 则则 （整数）（整数）2 n02 sincosgAnBn 2dd0ddf rrrn f rrr即即其解为其解为 000ln0nnf rCrDrnf rCDrn圆柱坐标系中，二维场 的通解1sincossincosnnnnnnnrAnBnrCnDn 例：例：4.2.14.2.1 一根半径为一根半径为 ，介电常数为，介电常数为 的无限长介质圆柱体置于均的无限长介质圆柱体置于均匀外电场匀外电场 中，且与中，且与 垂直。设外电场方向为垂直。设外电场方向为 轴方向

9、，圆柱轴与轴方向，圆柱轴与 轴重轴重合，求圆柱内外的电位函数。合，求圆柱内外的电位函数。( (教材例教材例4.2.1)4.2.1)a0E0Exzax0E, ,rz0o解：在圆柱坐标系中解：在圆柱坐标系中cosxr外电场外电场00 xEe对应的电位对应的电位00cdosxxxExree 设圆柱外和圆柱内内的电位分别为设圆柱外和圆柱内内的电位分别为12, ，其满足的方程和边界条件为，其满足的方程和边界条件为有限有限 212221012120000cosr ar arararrrEaarr 11sincossincosnnnnnnnrAnBnrCnDn得得由条件由条件10cosrrE 得得111co

10、scosDB rr且且10BE 21sincossincosnnnnnnnrAnBnrCnDn有限有限, ,得得20r由条件由条件: :21sincosnnnnrAnBn因为因为 12aa则有则有111001sincoscos coscoscoocssnnnnDB aE aaAnBnDE aaa 120r ar arr又由又由11002coscoscosDBEa 得得于是于是200101002,cosDa EB圆柱体外和圆柱体内的电位分布圆柱体外和圆柱体内的电位分布2010001coscosE ra Er 02002cosE r , rf r g4.3 4.3 球坐标系中的分离变量法球坐标系中

11、的分离变量法球坐标系中的拉普拉斯方程为球坐标系中的拉普拉斯方程为2222222111sin0sinsinrrrrrr设设 具有分离变量形式的解为具有分离变量形式的解为, r 2rf r g用用同乘以上式，得同乘以上式，得设问题与设问题与 无关，这时拉普拉斯方程变为无关，这时拉普拉斯方程变为22211sin0sinrrrrr 222sin0singf rf rgrrrrr仅是仅是 的函数的函数仅是仅是r 的函数的函数 211sin0sinf rgrf rrrg上式若成立，必须上式若成立，必须 2d1dddf rrf rrr d1dsinsinddgg引入新自变量引入新自变量cosx该方程变为该方

12、程变为 2dd10ddg xxg xxx勒让德方程勒让德方程其解其解 Pmg xAx10,1,2,.m mm 20122011dP12!dPcosPcossin d02Pcossin dPd21mmmmmmnmmxxmxxxm Pmx勒让德多项式勒让德多项式: :关于该方程关于该方程 21f rrf rrr 而方程而方程的解的解1m m 1mmmmf rA rB r球坐标系中拉氏方程的通解球坐标系中拉氏方程的通解 10,Pcosmmmmmmrf r gA rB r 例：例：4.3.14.3.1 一半径为一半径为 ，介电常数为，介电常数为 的介质球置于均匀外电场的介质球置于均匀外电场 中，中，设

13、外电场方向为设外电场方向为 轴方向，求球内外的电位函数。（教材例轴方向，求球内外的电位函数。（教材例4.3.1)4.3.1)a0Ez外电场外电场00zEe对应的电位对应的电位00cdoszzzEzE ree 设圆柱外和圆柱内的电位分别为设圆柱外和圆柱内的电位分别为12, ，满足的方程和边界条件，满足的方程和边界条件az0E, ,r 0o解：在球坐标系中解：在球坐标系中coszr有限有限 212221012120000cosr ar arararrrEaarr 由条件由条件10cosrrE 得得2111cosArB r且且10AE 通解通解110,PcosmmmmmmrA rB r有限有限, ,

14、得得20r由条件由条件: :通解通解120,PcosmmmmmmrArBr20,PcosmmmmrAr2202012,PccoscoossmmmmrArE aAB a 120r ar arr又由又由 12aa和和得得2201320001coscoscoscos2cosAEB aAEB a 于是于是300102003,22Ba EA球外、内球外、内电位分布电位分布30102001cos2Erar 02003cos2E r 由条件由条件 12aa得得4.4 4.4 镜像法镜像法 待求区域的电位由其电荷分布与边界条件共同决定。待求区域的电位由其电荷分布与边界条件共同决定。 镜像法则是在研究区域之外，

15、用一些假想的电荷分布代替场问题的边界。镜像法则是在研究区域之外，用一些假想的电荷分布代替场问题的边界。 这些假想的电荷称为像电荷，大多是一些点电荷或线电荷。这些假想的电荷称为像电荷，大多是一些点电荷或线电荷。 镜像法只适用于一些特殊边界。镜像法只适用于一些特殊边界。 镜像法求解电位问题的理论依据是惟一性定理。镜像法求解电位问题的理论依据是惟一性定理。 本节将分别讨论平面镜像、球面镜像和柱面镜像。本节将分别讨论平面镜像、球面镜像和柱面镜像。平面镜像平面镜像 设无限大接地导体平面（设无限大接地导体平面（z=0）附近有一点电荷）附近有一点电荷q，与导体平面的距离为，与导体平面的距离为z=h，求求上半

16、空间的电位。上半空间的电位。 假设导体平面不存在，在假设导体平面不存在，在z= =0平面平面下面与点电荷下面与点电荷q 对称地放置一个电量对称地放置一个电量为为- -q 的点电荷，仍能保证的点电荷，仍能保证z=0的平面的平面电位为零。电位为零。则在则在z0区域中任意一点区域中任意一点P 的电位的电位011220222222114114qRRqxyzhxyzhqhz0hqRRP球面镜像球面镜像 球外区域任意一点的电位由球外区域任意一点的电位由点电荷点电荷 和导体球和导体球表面的感应电荷表面的感应电荷决定。决定。 像电荷的位置及大小由以下原则决定像电荷的位置及大小由以下原则决定: :点电荷与像电荷

17、的共同作用应使球面的电位点电荷与像电荷的共同作用应使球面的电位为零。为零。 一半径为一半径为a的接地导体球，在与球心的接地导体球，在与球心O 相距相距 的的 点有一点电荷点有一点电荷 ，求球外的电，求球外的电位分布。位分布。1d1P1q2S2d1d1R1S2Rao2PPr2q1P1q 在在求解区域外求解区域外（球内）用一点电荷（球内）用一点电荷 （像电荷）（像电荷）代替球面上感应电荷的影响代替球面上感应电荷的影响。2q球外任意一点球外任意一点P P 的电位的电位1201214qqRR 为确定像电荷的位置及大小，可在球为确定像电荷的位置及大小，可在球面上取两个特殊点面上取两个特殊点 、 。它们的

18、电位。它们的电位均为零。均为零。1S2S1201212012104104qqadadqqdaad联立求解得联立求解得211221aqqdadd 于是球外任意点的电位于是球外任意点的电位12101201121144qqqaRRRd R柱面镜像柱面镜像于是圆柱外任意点的电位于是圆柱外任意点的电位 采用球坐标系，取原点为球心采用球坐标系，取原点为球心 O 点，点，Z 轴与轴与 重合，则球外任意点重合，则球外任意点 处有处有, ,P r 1oP122211112222222cos2cosRrdrdRrdrd 如图，半径为如图，半径为 的接地导体圆柱的接地导体圆柱外有一根和它平行的线电荷，密度外有一根和

19、它平行的线电荷，密度为为 ，与圆柱轴线相距为，与圆柱轴线相距为 。求空间。求空间的电位函数。的电位函数。a1l1d1201ln2lrCr21ll 代入代入解得解得221add12010212010211lnln02211lnln022llllCadadCdaad 分析方法与球面镜像相同，并用分析方法与球面镜像相同，并用的关系进行试探求解。同样在圆周上取两的关系进行试探求解。同样在圆周上取两个特殊点个特殊点 、 ，因为圆柱接地，它们，因为圆柱接地，它们的电位为零。的电位为零。221add2S1S1d1l1P1rP2r1Sr2S2d2P2lao4.5 4.5 有限差分法有限差分法 有限差分法是求解

20、电磁场问题的数值方法。有限差分法是求解电磁场问题的数值方法。 对于边界条件过于复杂的电磁场问题，无法求得解析解。对于边界条件过于复杂的电磁场问题，无法求得解析解。 有限差分法是将求解区域划分成网格，把区域内连续的场分布用网格节点上有限差分法是将求解区域划分成网格，把区域内连续的场分布用网格节点上的离散的数值解代替。的离散的数值解代替。 应用有限差分法计算静态场边值问题，需要把微分方程用差应用有限差分法计算静态场边值问题，需要把微分方程用差分方程代替。分方程代替。 网格的划分有不同的方法，我们只讨论正方形网格划分。网格的划分有不同的方法，我们只讨论正方形网格划分。故点故点1 1的电位的电位点点3

21、 3的电位的电位232302300011000.2!3!xxxxxxx232302300011.2!3!xhhhxxx232302300011.2!3!xhhhxxx03124hhhh设设x轴上邻近轴上邻近O点的一点的电位为点的一点的电位为 ，用泰勒公式展开为，用泰勒公式展开为x于是于是同理同理将以上二式相加将以上二式相加得得若所求区域电荷分布为零，则若所求区域电荷分布为零，则二维拉氏方程的有限差分形式二维拉氏方程的有限差分形式 上式表示任意一点的电位等于围绕它上式表示任意一点的电位等于围绕它的的4 4个点的电位的平均值。个点的电位的平均值。对每一网格点写出类似的式子，得到对每一网格点写出类似

22、的式子，得到方程数与未知电位的网格点数相等的线方程数与未知电位的网格点数相等的线性方程组。性方程组。将边界条件离散化，作为边界上节点将边界条件离散化，作为边界上节点的已知电位。的已知电位。22130202.hx22130202hx22240202hy222123402204hxy考虑考虑，4 4阶以上的高阶小量可以忽略，得阶以上的高阶小量可以忽略，得0h 将电位满足的二维泊松方程将电位满足的二维泊松方程2222xy 201234/4Fh式中式中F01234/443.8V0V0V0V0V0V0V0V0V0V0V0V100V100V100V50V50V123456789 已知一正方形截面的无限长金属盒。盒子两侧及底部电位为零，顶部电位为已知一正方形截面的无限长金属盒。盒子两侧及底部电位为零，顶部电位为100V，求盒内的电位分布。，求盒内的电位分布。根据二维拉氏方程的有限差分根据二维拉氏方程的有限差分形式得点形式得点5 5的电位为的电位为一、简单迭代法一、简单迭代法 对每一网格点赋初值对每一网格点赋初值: :点点1 1、3 3电位为电位为点点7 7、9 9电位为电位为点点4 4、6 6电位为电位为点点2 2电位为电位为点点8 8电位为电位为 81002543.843.8