高数复习重点

1、高等数学（二）重点高等数学（二）重点2、显函数的一阶偏导数、二阶导数显函数的一阶偏导数、二阶导数第第8章：多元函数微分法章：多元函数微分法3、复合函数二阶偏导数复合函数二阶偏导数4、隐函数的全微分隐函数的全微分6、方向导数与梯度问题方向导数与梯度问题5、切平面问题切平面问题1. 多元函数的极限存在问题多元函数的极限存在问题 7. 二元函数极值问题二元函数极值问题多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导1. 多元函数连续，偏导存在的关系多元函数连续，偏导存在的关系 xyxfyxxfxzx),(),(lim0可

2、以看出: 定义zx时, 变量 y 是不变的, 实际上,是对函数),(yxf, 将 y 视为常数, 关于变量 x 按一元函数导数的定义进行的：xyxfyxxfxzxyx),(),(lim00000),(000d),(d0 xxxyxf2、显函数的一二阶偏导数、显函数的一二阶偏导数)( 1.点的偏导数用此法求！注意：分段点，不连续用定义先代值后求导 2.).( 3.此法使用最多值先求偏导函数再代函数2）计算方法）计算方法22( , ),xxzzfx yxxx22( , ),yyzzfx yyyy2( , ),xyzzfx yyxx y ).,(2yxfxyzyzxyx 3）二阶偏导定义与计算方法）

3、二阶偏导定义与计算方法3. 复合函数的二阶偏导数复合函数的二阶偏导数关键是掌握好关键是掌握好复合函数求导的链式法则复合函数求导的链式法则！分具体函数和抽象函数两种分具体函数和抽象函数两种 总结：总结：关于多元复合函数求偏导问题关于多元复合函数求偏导问题用图示法表示出函数的复合关系用图示法表示出函数的复合关系函数对某个自变量的偏导数的结构函数对某个自变量的偏导数的结构（项数及项的构成）（项数及项的构成）口诀口诀 : 分线相加分线相加,连线相乘连线相乘求抽象函数的偏导数时，一定要设中间变量求抽象函数的偏导数时，一定要设中间变量的合并问题的合并问题视题设条件而定。视题设条件而定。,uvvuff 的结

4、构是求抽象的复合函的结构是求抽象的复合函数的二阶偏导数的关键数的二阶偏导数的关键 ),(),(vufvufvu弄清弄清 ),(),(vufvufvu即仍是以即仍是以 u , v 为中间变量，以为中间变量，以 x , y 为自变量的为自变量的复合函数复合函数的复合结构与原来的的复合结构与原来的 f (u,v) 完全相同完全相同抽象复合函数求偏导注意事项抽象复合函数求偏导注意事项4. 隐函数的偏导数或全微分隐函数的偏导数或全微分1）全微分的定义及求法）全微分的定义及求法定理定理1 1(必要条件必要条件)若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微可微 ,则该函数在该点偏导数yzxz,y

5、dyzxdxzzd必存在,且有求法求法1法法2、全微分形式不变性、全微分形式不变性 设设函函数数),(vufz 具具有有连连续续偏偏导导数数，则则有有全全微微分分dvvzduuzdz ;当当),(yxu 、),(yxv 时时，有有dyyzdxxzdz .2）隐函数的偏导数）隐函数的偏导数0),()2( zyxF 0),(0),()4(vuyxGvuyxF 0),(0),() 3(zyxzyxF 0),()1( yxF求导方法：求导方法： 1. 直接法直接法,2. 公式法。公式法。*5. 切平面切平面000000000(,),(,),(,)xyznF xyzF xyzF xyz切平面方程为切平面

6、方程为000(,)P xy z点点处的法向量为处的法向量为法一法一设曲面的方程为 ( , , )0 F x y z 0)()()(000zzPFyyPFxxPFzyx 如果空间曲面方程形为如果空间曲面方程形为),(yxfz 曲面在曲面在M处的切平面方程为处的切平面方程为,)(,()(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx ,),(),(zyxfzyxF 令令法二法二法向量法向量) 1, ),(, ),(0000yxfyxfnyx,),(),(处可微在点若函数zyxPzyxf定理定理:则函数在该点则函数在该点沿任意方向沿任意方向 l 的方向导数存在的方向导数存在 ,coscoscoszf

7、yfxflf.,的方向角为其中l6、方向导数与梯度、方向导数与梯度定定义义 设设函函数数),(yxfz 在在平平面面区区域域 D 内内具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数，则则对对于于每每一一点点DyxP ),(，都都可可定定出出一一个个向向量量jyfixf ，这这向向量量称称为为函函数数),(yxfz 在在点点),(yxP的的梯梯度度，记记为为 ),(yxgradfjyfixf .sin,cos, yfxf sincosyfxflf eyxgradf ),(,cos| ),(| yxgradf 其中其中),(,eyxgradf 当当1),(cos( eyxgradf时时，lf 有有最最大大值

8、值.gradfgradf P极值极值问题问题无条件极值无条件极值: :条件极值条件极值: :对自变量只有对自变量只有定义域限制定义域限制对自变量除定义域对自变量除定义域限制外限制外, ,还有其他条还有其他条件限制件限制7.二元函数的极值二元函数的极值第第一一步步： 求求出出驻驻点点（及及偏偏导导数数不不全全存存在在的的点点）. 第第二二步步：对对于于每每一一个个驻驻点点，求求出出二二阶阶偏偏导导数数的的值值A、B、C. 定定出出2BAC 的的符符号号，再再判判定定是是否否是是极极 值值点点. （此此法法判判定定不不了了的的点点及及偏偏导导数数不不全全存存在在的的点点，用用定定义义或或其其他他方

9、方法法判判定定是是否否为为极极值值点点）. 定理定理 2 2（充分条件充分条件） 设设 ),(yxfz 在在),(00yx有连续的二阶偏导数，有连续的二阶偏导数，),(00yx 为驻点。记为驻点。记 Ayxfxx ),(00，Byxfxy ),(00，Cyxfyy ),(00， 5/20引入引入辅助函数辅助函数0 xxxfF0yyyfF0F则极值点满足则极值点满足:条件极值的求法：拉格朗日乘数法条件极值的求法：拉格朗日乘数法. .( , )( , )Ff x yx y可得可得到条到条件极件极值的值的可疑可疑点点 . dzzyxxyz处全微分在) 1, 0 , 1 (,2222例例12222uu

10、xy，试求：例例3 已知dzyxzxyzez则全微分的函数是确定了,1例例2dydx2xyexzdyyzdxz2222222111yxxyuyxxu xxx解：2222211yxyxuyy22212yxuuyyxx 221lnyxzf r ( )rxyuf r22,( )2222uxuy例例4 设具有二阶连续导函数，而=frrfr( )( )1uf x y z( , , )zz x y ( , )yxezzdu例例5 设具有一阶连续偏导数，其中由方程所确定，求。ddddufxfyfz123xyzezzddddyeffxeffuzzd1d1d3231解：曲面32xyezz在（1，2，0）处切平面

11、方程为 240 xy例例6 xxyxyz 9( , , )12 3例例7 求曲面在点处的切平面和法线方程 。2 , 4 , 9n9142230()()()xyz94223xyzxyz192432解：对应的切平面法向量 切平面方程 法线方程或 uexyzP010ppP1例例8 求函数在点(1，0，1)处沿方向的方向导数，其中的坐标为（2，1，1）P P0111012120, ,coscoscosuxyzeuyxzePxyzPPxyzP000001 uzxyePxyzP000ul 12所以 解：22yxz1zyx解：设解：设(x,y,z)为椭圆上一点为椭圆上一点,则则 x,y,z 满足满足 及及距

12、离距离222dxyz) 1()(2221222zyxyxzzyxF10202202222212121zyxyxzzFyyFxxFzyx解得解得:32,231zyx359,35921dd最长距离最长距离最短距离最短距离9. 抛物面抛物面 被平面被平面 截成一个椭圆截成一个椭圆, 求原点到椭圆的最长和最短距离。求原点到椭圆的最长和最短距离。22yxz1zyx第第9章：重积分章：重积分1、二、二重积分极坐标系计算重积分极坐标系计算2、三重积分直角坐标系，柱面坐标系，三重积分直角坐标系，柱面坐标系，球面坐标系计算球面坐标系计算 二重积分的计算方法是累次积分法，化二重二重积分的计算方法是累次积分法，化二

13、重积分为累次积分的步骤是：积分为累次积分的步骤是：作出积分区域的草图作出积分区域的草图选择适当的坐标系选择适当的坐标系选定积分次序，定出积分限选定积分次序，定出积分限1）. 关于坐标系的选择关于坐标系的选择 这要从积分区域的形状和被积函数的特点这要从积分区域的形状和被积函数的特点两个方面来考虑两个方面来考虑1、二、二重积分极坐标系计算重积分极坐标系计算被积函数呈被积函数呈 )(),(22xyfyxf 常用极坐标常用极坐标其它以直角坐标为宜其它以直角坐标为宜2. 关于积分次序的选择关于积分次序的选择积分区域为积分区域为圆形、扇形、圆环形圆形、扇形、圆环形极坐标系极坐标系积分次序一般是积分次序一般

14、是 后先r过极点过极点O作任一极角为作任一极角为 ),( 的射线的射线从从D的边界曲线的边界曲线 )(1 r穿入穿入,从从 )(2 r穿出穿出.)(1 r内下限内下限)(2 r内上限内上限具体可分为三种情况具体可分为三种情况)()(,21 rrr 极点在极点在D的边界上的边界上)(0 ,2rr 是边界在极点处的切线的极角是边界在极点处的切线的极角 ,极点在极点在D的内部的内部)(0 ,20 rr 化累次积分后化累次积分后外限是常数外限是常数内限是外层积分变量的函数或常数内限是外层积分变量的函数或常数极坐标系下勿忘极坐标系下勿忘 r极点在极点在D的外部的外部三重积分的计算先一后二(投影法),Dx

15、oy面面上上的的投投影影为为闭闭区区域域在在闭闭区区域域 ),(:),(:2211yxzzSyxzzS ,),(作直线作直线过点过点Dyx 穿穿出出穿穿入入，从从从从21zz函函数数，则则的的只只看看作作看看作作定定值值，将将先先将将zzyxfyx),(, ),(),(21),(),(yxzyxzdzzyxfyxFzxyD),(2yxzz ),(1yxzz 上上的的二二重重积积分分在在闭闭区区间间计计算算DyxF),(.),(),(),(),(21 DyxzyxzDddzzyxfdyxF ,),()(:21bxaxyyxyD ( , , )f x y z dv.),()()(),(),(212

16、1 baxyxyyxzyxzdzzyxfdydx也称为“投影穿线法”（ 先z次y后x ）截面法（先二后一）截面法（先二后一）1_c2_cxyzzzD2_1_),(:czcDyxz 21)(),(),(cczDdxdyzyxfdzdvzyxf )(zDdxdy 就是截面的面积，就是截面的面积，如截面为圆、椭圆、三角形、正方形等，面积较易计算如截面为圆、椭圆、三角形、正方形等，面积较易计算 。 当当 f ( x , y , z ) 与与 x , y 无关时，无关时，2、三重积分柱坐标系下的计算法、三重积分柱坐标系下的计算法的柱面坐标的柱面坐标就叫点就叫点个数个数，则这样的三，则这样的三的极坐标为的

17、极坐标为面上的投影面上的投影在在为空间内一点，并设点为空间内一点，并设点设设MzrrPxoyMzyxM,),( .,sin,coszzryrx xyzo),(zyxM),(rPr规定：规定：,0 r,20 . z柱面坐标系中的体积元柱面坐标系中的体积元,dzrdrddv dxdydzzyxf),(.),sin,cos( dzrdrdzrrf 然后再把它化为三次积分来计算然后再把它化为三次积分来计算三、在球坐标系下的计算法的球面坐标就叫做点，个数面上的投影，这样的三在点为的角，这里段逆时针方向转到有向线轴按轴来看自为从正轴正向所夹的角，与为有向线段间的距离，点与为原点来确定，其中，可用三个有次序

18、的数则点为空间内一点，设MrxoyMPOPxzzOMMOrrMzyxM),(Pxyzo),(zyxMr zyxA .cos,sinsin,cossin rzryrx规定:,0 .20 为常数为常数r球 面为常数为常数 圆锥面为常数为常数 半平面0,r Pxyzo),(zyxMr zyxA如图，球面坐标系中的体积元素为如图，球面坐标系中的体积元素为,sin2 ddrdrdv drxyzodr dsinr rd d d sinr dxdydzzyxf),( .sin)cos,sinsin,cossin(2 ddrdrrrrf然后把它化成对然后把它化成对 的三次积分的三次积分 , r具体计算时需要将

19、具体计算时需要将 用球坐标系下的不等式组表示用球坐标系下的不等式组表示 积分次序通常是积分次序通常是 后后次次先先r注注: :选择合适的坐标系是计算三重积分的关键选择合适的坐标系是计算三重积分的关键(1).区域由平面围成,常选择直角坐标系;一般的:(3).区域由球面锥面围成,被积函数形如 常选择球面坐标系.)(222zyxf(2).区域由圆柱面围成,被积函数形如 常选择柱面坐标系;)(22yxf补充：利用对称性简化三重积分计算补充：利用对称性简化三重积分计算使用对称性时应注意：使用对称性时应注意：、积分区域关于坐标面的对称性；、积分区域关于坐标面的对称性；、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴

20、的、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的奇偶性奇偶性“你你对称，对称，我我奇偶奇偶” dvzyxfI),(对对 若若关于关于 xoy 面对称面对称时时当当) ,(),()1(zyxfzyxf 0 I时时当当),(),()2(zyxfzyxf 1),(2 dvzyxfI 0,),( | ),(1 zzyxzyx 若若关于关于 xoz 面对称面对称时时当当),(),()1(zyxfzyxf 0 I时时当当),(),()2(zyxfzyxf 2),(2 dvzyxfI )0,( | ),(2 yzyxzyx 若若关于关于 yoz 面对称面对称时时当当),(),()1(zyxfzyxf 0 I时时当

21、当),(),()2(zyxfzyxf 3),(2 dvzyxfI 0,),( | ),(3 xzyxzyx 解03 xy32 yyx422 sin4 r03 yx61 yyx222 sin2 rdxdyyxD)(22 36sin4sin22rdrrd).32(15 练习：用截面法计算zdxdydz其中 由 224zxyz及 围成。zdxdydz40zDzdzdxdy3644解0,4zz易见 介于之间22( ):D zxyz1 设为球体x2+y2+z21,f(x,y,z)在上连续，I=x2yzf(x,y2,z3),则I=(A) 4x2yzf(x,y2z3)dv (B) 4x2yzf(x,y2,z

22、3)dv(C) 2x2yzf(x,y2,z3)dv (D) 0D2. 试求由x2+y2=az与 (a0)所围立体的体积。3. 设F(t)=，其中f(t)在(,+).上连续，求解：,0 ,40 ,20:Rr Rdrrrdddvx0222240202sinsincos)122532(515R 例 计算dvx2其中 由222yxRz围成.22yxz与第第10章：曲线积分与曲面积分章：曲线积分与曲面积分1、 第二类曲线积分第二类曲线积分 GREEN公式，公式，与路径无关与路径无关2、第二类曲面积分第二类曲面积分 GAUSS公式公式一、对坐标曲线积分一、对坐标曲线积分(第二类曲线积分第二类曲线积分) 的

23、计算的计算定理定理:),(, ),(yxQyxP设在有向光滑弧 L 上有定义且L 的参数方程为)()(tytx,:t则曲线积分LyyxQxyxPd),(d),( )(),(ttP)(t)(ttd)(),(ttQ连续,存在, 且有 二、二、 Green 公式公式定理定理1 1格格林林公公式式的的实实质质: : 沟沟通通了了沿沿闭闭曲曲线线的的积积分分与与二二重重积积分分之之间间的的联联系系.如果在区域如果在区域G内有内有 1LQdyPdx 2LQdyPdxyxoG1L2LAB否否则则与与路路径径有有关关. .三、曲线积分与路径无关的定义三、曲线积分与路径无关的定义曲线积分与路径无关的条件曲线积分

24、与路径无关的条件定理定理2 2与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题条条件件在在单单连连通通开开区区域域D上上),(),(yxQyxP具具有有连连续续的的一一阶阶偏偏导导数数, ,则则以以下下四四个个命命题题成成立立. .等等价价命命题题 LQdyPdxD与与路路径径无无关关内内在在)1( CDCQdyPdx闭闭曲曲线线, 0)2(QdyPdxduyxUD 使使内内存存在在在在),()3(xQyPD ,)4(内内在在第二类曲线积分的解题思路1.若未封闭曲线则首选格林公式2.若不是封闭曲线，则考虑是否与路径无关。3.若不与路径无关，则考虑用直接法（计划成定积分计算）( , , ) ,

25、, ( , )xyDR x y z dxdyR x y z x y dxdy 则则有有给给出出由由如如果果,),(zyxx yzDdydzzyzyxPdydzzyxP,),(),(则则有有给给出出由由如如果果,),(xzyy zxDdzdxzxzyxQdzdxzyxQ),(,),(注意注意: :对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分, ,必须注意曲面所取的侧必须注意曲面所取的侧. .五、五、对坐标的曲面积分（第二类曲面积分）的计对坐标的曲面积分（第二类曲面积分）的计 算法算法( , ),zz x y如果 由给出 则有注注积分曲面的方程必须表示为积分曲面的方程必须表示为单值显函数单值显函数 否则分片计

26、算，结果相加否则分片计算，结果相加确定正负号的原则：确定正负号的原则： 曲面取曲面取上上侧、侧、前前侧、侧、右右侧时为侧时为正正 曲面取曲面取下下侧、侧、后后侧、侧、左左侧时为侧时为负负定理定理dSRQPdvzRyQxP)coscoscos()( 或或这这里里 是是 的的整整个个边边界界曲曲面面的的外外侧侧， cos,cos,cos是是 上上点点),(zyx处处的的法法向向 量量的的方方向向余余弦弦. . 六、六、 Gauss 公式公式 公式成立的条件公式成立的条件封闭曲面封闭曲面 )1(方方向向取取外外侧侧 )2(连连续续zRyQxP ,)3( 根据根据Gauss 公式，用三重积分来计算曲面

27、积分公式，用三重积分来计算曲面积分是比较方便的，但是比较方便的，但Gauss 公式同时也说明，可用公式同时也说明，可用曲面积分来计算三重积分曲面积分来计算三重积分.注注第二类曲面积分的解题思路1.若是封闭曲面首选高斯公式。2.若不封闭，考虑填上与坐标面平行的辅助平面，使之变成封闭再利用高斯公式。3.若前两种都不好用则用直接法（即转化成二重积分计算）例例1 设L是圆周 x2+y2=a2 (a0)负向一周，则曲线积分 （ ）A例例2解：解：例例4例例3 计算 ，其中C是星形线 的顺时针方向，a和b都是正数。解：例例4 计算 ，式中L是椭圆 ， 取正向。解解xxyxyyP2)2(2 xyxxxQ2)

28、(42 xQyP ，原原积积分分与与路路径径无无关关 故故原原式式 101042)1(dyydxx.1523 解解,),(2xyyxP ),(),(xyyxQ ,2)(2xyxyyyP ),()(xyxyxxQ 积积分分与与路路径径无无关关xQyP ，由由xyxy2)( cxx 2)(由由0)0( ，知知0 c 2)(xx .故故 )1 , 1()0,0(2)(dyxydxxy 10100ydydx.21 例例7 计算zdxdyydzdxxdydz23其中为球面x2+y2+z2=1的外侧。dv) 123(86 V解： 设围成球，由高斯公式例例8 计算其中为锥面 及平面z=1,z=2所围立体的表

29、面外侧。解：例例9 试计算曲面积分其中是抛物面z=x2+y2(0z1)的上侧。解：添一平面 取下侧，221:1(1)zxy1则 够成一封闭曲面。(取内侧)因此例例10 设空间闭区域由曲面z=a2x2y2平面z=0所围成，为的表面外侧，V是的体积，a为正数。试证明：解： 由高斯公式第第11章：无穷级数章：无穷级数1、正项级数敛散性讨论、正项级数敛散性讨论、4、FOURIER级数展开的收敛定理。级数展开的收敛定理。任意项级数敛散性讨论。任意项级数敛散性讨论。2、幂级数收敛半径及区间、幂级数收敛域幂级数收敛半径及区间、幂级数收敛域 3、幂级数求和函数，函数展成幂级数幂级数求和函数，函数展成幂级数 （

30、逐项求导，积分）（逐项求导，积分）一一. 正项级数敛散性讨论正项级数敛散性讨论、正正 项项 级级 数数任意项级数任意项级数1.2.4.充要条件充要条件5.比较法比较法6.比值法比值法7.根值法根值法4.绝对收敛绝对收敛5.交错级数交错级数(莱布尼茨定理莱布尼茨定理)3.按基本性质按基本性质;,则则级级数数收收敛敛若若SSn;, 0,则级数发散则级数发散当当 nun任意项级数敛散性讨论任意项级数敛散性讨论。1.比较审敛法比较审敛法均均为为正正项项级级数数，和和设设 11nnnnvu且且), 2, 1( nvunn, ,若若 1nnv收收敛敛, ,则则 1nnu收收敛敛； 反反之之，若若 1nnu

31、发发散散，则则 1nnv发发散散. . 发发散散时时当当收收敛敛时时当当级级数数,1,1ppP重要参考级数重要参考级数: : 几何级数几何级数, P-, P-级数级数, , 调和级数调和级数. . 发发散散时时当当收收敛敛时时当当,1,10qqaqnn2.2.比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式: :设设 1nnu与与 1nnv都是正项级数都是正项级数, , 如果如果则则(1) (1) 当当时时, , 二级数有相同的敛散性二级数有相同的敛散性; ; (2) (2) 当当时，若时，若收敛收敛, , 则则收敛收敛; ; (3) (3) 当当时时, , 若若 1nnv发散发散, , 则则 1nn

32、u发散发散; ;,limlvunnn l00 l l 1nnv 1nnu设设 1nnu是是正正项项级级数数, ,如如果果 nnnulim )( 为为数数或或 , , 则则1 时时级级数数收收敛敛; ; 1 时时级级数数发发散散; ; 1 时时失失效效. . 1 1. .当当1 时时比比值值审审敛敛法法失失效效; ;注意注意:2 2. .条条件件是是充充分分的的, ,而而非非必必要要. . 5、交错级数及其审敛法、交错级数及其审敛法定义定义: : 正、负项相间的级数称为交错级数正、负项相间的级数称为交错级数. . nnnnnnuu 111)1()1(或或)0( nu其中其中6. 绝对收敛与条件收

33、敛绝对收敛与条件收敛定义定义: : 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数正项和负项任意出现的级数称为任意项级数. .定定义义: :若若 1nnu收收敛敛, , 则则称称 1nnu为为绝绝对对收收敛敛; ; 若若 1nnu发发散散, ,而而 1nnu收收敛敛, , 则则称称 1nnu为为条条件件收收敛敛. . 注：对于正项级数绝对收敛注：对于正项级数绝对收敛=收敛收敛注意注意一般而言，由一般而言，由 发散，并不能推出发散，并不能推出 1|inu 1inu发散发散但如果但如果 发散是由比值法或根值法而审定，发散是由比值法或根值法而审定， 1|inu则则 必定发散。必定发散。 1inu1. 定理定

34、理 1. ( Abel定理定理 ) 若幂级数若幂级数,0点收敛在xx 则对满足不等式则对满足不等式0 xx 的一切的一切 x 幂级数都绝对收敛幂级数都绝对收敛.反之反之, 若当若当0 xx 0 xx 的一切的一切 x , 该幂级数也发散该幂级数也发散 . 时该幂级数发散时该幂级数发散 ,则对满足不等式则对满足不等式ox发发 散散发发 散散收收 敛敛收敛收敛 发散发散二、二、幂级数收敛半径及区间、幂级数收敛域幂级数收敛半径及区间、幂级数收敛域幂级数在幂级数在 (, +) 收敛收敛 ;由由Abel 定理可以看出定理可以看出, 0nnnxa中心的区间中心的区间. 用用R 表示幂级数收敛与发散的分界点

35、表示幂级数收敛与发散的分界点,的收敛域是以原点为的收敛域是以原点为则则R = 0 时时, 幂级数仅在幂级数仅在 x = 0 收敛收敛 ;R = 时时,0 R幂级数在幂级数在 (R , R ) 收敛收敛 ;(R , R ) 加上收敛的端点称为收敛域加上收敛的端点称为收敛域.R 称为收敛半径称为收敛半径 ， 在在R , R 可能收敛也可能发散可能收敛也可能发散 .Rx外发散外发散; 在在(R , R ) 称为收敛区间称为收敛区间.2. 收敛半径，收敛区间，收敛域定义收敛半径，收敛区间，收敛域定义0nnnxa的收敛半径为的收敛半径为1limnnnaaR3 收敛半径求法：收敛半径求法：1. 不缺项时不

36、缺项时法一：法一：法一：法一：2. 缺项时利用缺项时利用,| )(| )(|lim1xuxunnn比值审敛法求收敛半径比值审敛法求收敛半径.通过讨论下面极限通过讨论下面极限大于大于1和小于和小于1来确来确定收敛半径定收敛半径4 收敛域求法：收敛域求法：先求出收敛半径先求出收敛半径R，从而有收敛区间（，从而有收敛区间（-R，R）。）。 再讨论收敛区间两端点的敛散性，收敛区间加上再讨论收敛区间两端点的敛散性，收敛区间加上收敛的端点即为收敛域。收敛的端点即为收敛域。 三、幂级数求和函数，幂级数展开三、幂级数求和函数，幂级数展开 （逐项求导，积分）（逐项求导，积分）)(0 xf)(00 xxxf200

37、)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)(为为f (x) 的泰勒级数的泰勒级数 . 则称则称当当x0 = 0 时时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数泰勒级数又称为麦克劳林级数 .若函数若函数的某邻域内具有任意阶导数的某邻域内具有任意阶导数, 0)(xxf在1.）幂级数展开定义）幂级数展开定义2）、函数展开成幂级数）、函数展开成幂级数 展开方法：展开方法：间接展开法间接展开法 通过求导通过求导, 求积分等运算求积分等运算,将要展开的函数转将要展开的函数转化成已知展开式的函数，再进行展开。化成已知展开式的函数，再进行展开。注：求展开式时别忘同时给出展开式成立的范围，注：求展开式时别忘同时给

38、出展开式成立的范围，即展成的级数的收敛域。即展成的级数的收敛域。3）、求幂级数和函数）、求幂级数和函数求和函数方法：将要求和的幂级数通过求和函数方法：将要求和的幂级数通过逐项求导，逐项求导，逐项求积分等逐项求积分等运算转化为已知和函数的幂级数，运算转化为已知和函数的幂级数，从而求出和函数。求和函数时也从而求出和函数。求和函数时也不要忘记写出和不要忘记写出和函数的定义域函数的定义域，即原来幂级数的收敛域。，即原来幂级数的收敛域。 常用函数的幂级数展开式常用函数的幂级数展开式xe1),(x)1 (lnxx1, 1(xx2!21x,!1nxn221x331x441x11) 1(nnxn! ) 12(

39、) 1(12nxnnxsinx!33x!55x!77xxcos1!22x!44x!66x! )2() 1(2nxnn),(x),(xmx)1 ( 1xm2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(当当 m = 1 时时x11,) 1(132nnxxxx) 1, 1(x) 1, 1(x和函数的运算性质和函数的运算性质: :(1) 幂幂级级数数 0nnnxa的的和和函函数数)(xs在在收收敛敛区区间间 ),(RR 内内连连续续,在在端端点点收收敛敛,则则在在端端点点单单侧侧连连续续. (2) 幂幂级级数数 0nnnxa的的和和函函数数)(xs在在收收敛敛区区间间),(RR 内内可可积积,且

40、且对对),(RRx 可可逐逐项项积积分分.(3) 幂幂级级数数 0nnnxa的的和和函函数数)(xs在在收收敛敛区区间间 ),(RR 内内可可导导, 并并可可逐逐项项求求导导任任意意次次. 常用已知和函数的幂级数常用已知和函数的幂级数;11)1(0 xxnn ;11)1()2(202xxnnn ;11)3(202xxnn 前面的常用展开式也可作为和函数的公式前面的常用展开式也可作为和函数的公式四、四、FOURIER级数展开的收敛定理级数展开的收敛定理周期为周期为2 的傅里叶级数的傅里叶级数10)sincos(2)(nnnnxbnxaaxf傅里叶系数傅里叶系数 ), 2 , 1(,sin)(1)

41、, 2 , 1 , 0(,cos)(1nnxdxxfbnnxdxxfann1.2.2.狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)(Dirichlet)充分条件充分条件( (收敛定理收敛定理) )( (1 1) ) 当当x是是)(xf的的连连续续点点时时, ,级级数数收收敛敛于于)(xf; ;3、正弦级数和余弦级数定义、正弦级数和余弦级数定义 定理定理 . 对周期为对周期为 2 的奇函数的奇函数 f (x) , 其傅里叶其傅里叶级数为级数为 周期为周期为2 的偶函数的偶函数 f (x) , 其傅里叶级数为余弦级数其傅里叶级数为余弦级数 ,),2,1,0( dcos)(20nxnxxfan),3,2,

42、1( 0nbn),2,1,0( 0nan0),3,2,1(dsin)(2nxnxxfbn它的傅它的傅里里叶系数为叶系数为正弦级数正弦级数,它的傅它的傅里里叶系数为叶系数为4. 4. 在在0,0, 上的函数展成正弦级数与余弦级数上的函数展成正弦级数与余弦级数,0),(xxf)(xF周期延拓周期延拓 F (x)( )F x f (x) 在在 (0 , ) 上展成上展成周期延拓周期延拓 F (x)余弦级数余弦级数奇延拓奇延拓偶延拓偶延拓xoy正弦级数正弦级数 f (x) 在在 (0 , )上展成上展成xoy), 0(),(xxf0, 0 x)0,(),(xxf(),(, 0)fxx , 0),(xx

43、f设周期为设周期为2l 的周期函数的周期函数 f (x)满足收敛定理条件满足收敛定理条件,则它的傅里叶展开式为则它的傅里叶展开式为10sincos2)(nnnlxnblxnaaxf(在在 f (x) 的连续点处的连续点处)naxlxnxflbllndsin)(1其中其中5.定理定理.l1xlxnxflldcos)(),2, 1,0(n),2, 1(n1. 判别级数 的敛散性 nnnncos2132nnnnncos2322nnn21limlimnnnnnnuunn1112212nnn21nnnncos2132由于而级数满足因此收敛，所以级数收敛。 2.判别级数 的敛散性。11tannnnnnun

44、1tan111tanlimlimnnunnnunn1解设，于是故发散。 3.判别下列级数的敛散性，任意项级数说明是绝对收敛还是条件收敛。111ln()nnn112)12(nnnn114) 1(nnnn1!2nnn11)1ln(1) 1(nnn收敛，收敛，收敛，收敛， 收敛，收敛，条件收敛，绝对收敛条件收敛，绝对收敛sinsinnnnn4421绝对收敛。绝对收敛。81lim1nnnaa03nnnxa2x8x81x21x4、如果,则幂级数(A)当时,收敛；(B) 当时,收敛；时,发散；(D) 当时,发散； (C) 当答(A )0nnnxaRaannn1limRaannn1limRannlim5、若

45、幂级数的收敛半径为R,那么 ( ),(B) ,(C)(A)Dnnnnxn1) 1(3如,lim1nnaannnnalim极限不存在，但收敛半径极限不存在，但收敛半径为为1/4注意注意: nnnaa1lim,(D)不一定存在 .nnxax 6.如果幂级数= -2处条件收敛，则收敛半径为R= - 27.设 为任意实数， 为非负实数，判别级数的敛散性。nnn1limlimnnnnnuunnn11101, 解：由于故当为任意实数时，原级数发散1, 11, 11, 当为任意实数时，原级数收敛时，原级数收敛。时，原级数发散。 8.试求幂级数 的收敛域。1213nnnnx132nann3lim1nnnaa3

46、1R31x1211nn31x1211nnn31,31解设，因为，所以 当时，级数化为，发散，当时，级数化为，收敛，故收敛域为。 9.求幂级数nnxn)32(11的收敛域。31) 1(33limlim11nnaannnnnn3R1x5x5 , 1解：由于，所以收敛半径且当时，级数收敛，级数发散， 收敛域是10.级数 的和函数为（ ） 02!2) 1(nnnnx2)1(2xe.21,21(,21,2121|12) 1()1ln()21ln()1)(21ln()21ln(1112级数的收敛域为敛时，对应常数项级数收当对应常数项级数发散；时当xxxxnxnxxxxxxnnnnnn的幂级数并求收敛域展开

47、成将xxx)21ln(.11212.试将函数 展开为 的幂数。231)(2xxxfxx0102) 1() 1(2111)(nnnnnnnxxxxxf01)211 () 1(nnnnx解解： （-1，1）。 ).7 , 3(,7,373135125)5(3121) 1(3511312511213)5(12)5(12131)3)(2(16510112级数的收敛域为散时，对应常数项级数发当对应常数项级数发散；时当xxxxxxxxxxxxxxxxnnnnn的幂级数展开为5651.132xxx14.在 内把函数 展开成以 为周期的余弦级数。 , 0 xxf)(2f xxx( ),0, ) 0bnn012

48、 3, , ,axx002()d , 3 , 2 , 1,) 1(1 2cos2dsin2sin)(2dcos)(2202000nnnxnxnxnnxxnxnxxann解：对在内作偶延拓，所以aannnn2212042112 3,(), , , 0f xxnxnn( )cos()()24212121所以，所以在 内 这一年里和大家相处得很开心，希望这一年里和大家相处得很开心，希望你们都能考出好成绩。也祝愿大家在你们都能考出好成绩。也祝愿大家在未来的大学四年能各自有各自的收获，未来的大学四年能各自有各自的收获，当然不仅是知识上的收获当然不仅是知识上的收获第第12章：微分方程习题课章：微分方程习题

49、课一、一阶微分方程求解一、一阶微分方程求解 1. 一阶标准类型方程求解 关键关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤2. 一阶非标准类型方程求解 (1) 变量代换法 代换自变量自变量代换因变量因变量代换某组合式某组合式(2) 积分因子法 选积分因子, 解全微分方程五个标准类型: 可分离变量方程, 齐次方程, 线性方程, 伯努力方程，全微分方程 dxxfdyyg)()( 形形如如(1) 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程解法解法 dxxfdyyg)()(分离变量法分离变量法 一阶微分方程的解法一阶微分方程的解法)(xyfdxdy 形形如如(2) 齐次方程齐次方程解法解法xyu 作变量代换作变

50、量代换)()(xQyxPdxdy 形形如如(3) 一阶线性微分方程一阶线性微分方程, 0)( xQ当当上方程称为齐次的上方程称为齐次的上方程称为非齐次的上方程称为非齐次的., 0)( xQ当当齐次方程的通解为齐次方程的通解为.)( dxxPCey（使用分离变量法）（使用分离变量法）解法解法非齐次微分方程的通解为非齐次微分方程的通解为)()()(CdxexQeydxxPdxxP（常数变易法常数变易法）(4) 伯努利伯努利(Bernoulli)方程方程nyxQyxPdxdy)()( 形如形如)1 , 0( n方程为线性微分方程方程为线性微分方程.时时，当当1 , 0 n 方程为非线性微分方程方程为

51、非线性微分方程.时时，当当1 , 0 n解法解法 需经过变量代换化为线性微分方程需经过变量代换化为线性微分方程,1 nyz 令令. )1)()()1()()1(1 CdxenxQezydxxPndxxPnn0),(),( dyyxQdxyxP其中其中dyyxQdxyxPyxdu),(),(),( 形如形如(5) 全微分方程全微分方程xQyP 全全微微分分方方程程注意：注意：解法解法(a)应用曲线积分与路径无关应用曲线积分与路径无关. yyxxdyyxQxdyxPyxu00),(),(),(0,),(),(000 xdyxPdyyxQxxyy .),(Cyxu (b) 用直接凑用直接凑全微分的方

52、法全微分的方法.通解为通解为二、两类二阶微分方程的解法二、两类二阶微分方程的解法 1. 可降阶微分方程的解法可降阶微分方程的解法 降阶法降阶法)(dd22xfxy)dd,(dd22xyxfxy令xyxpdd)(),(ddpxfxp)dd,(dd22xyyfxy令xyypdd)(),(ddpyfypp逐次积分求解 2. 二阶线性微分方程的解法二阶线性微分方程的解法 常系数情形齐次非齐次),(0为常数qpyqypy ,02qrpr特征方程:xrxreCeCy212121,:rr特征根21rr 实根 221prrxrexCCy1)(21ir,21)sincos(21xCxCeyx特 征 根通 解以上

53、结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .二阶齐次线性微分方程的通解二阶齐次线性微分方程的通解若特征方程含 k 重复根,ir若特征方程含 k 重实根 r , 则其通解中必含对应项xrkkexCxCC)(121xxCxCCekkxcos)( 121sin)(121xxDxDDkk则其通解中必含对应项)(01) 1(1)(均为常数knnnnayayayay特征方程: 0111nnnnararar),(均为任意常数以上iiDC高阶齐次线性微分方程的通解高阶齐次线性微分方程的通解xmexPyqypy)(. 1 为特征方程的 k (0, 1, 2) 重根,xmkexQxy)(*则设特解为sin)(cos)(. 2xxPxxPeyqypynlx 为特征方程的 k (0, 1 )重根, ixkexy*则设特解为sin)(cos)(xxRxxRmmnlm,max3. 上述结论也可推广到高阶方程的情形.二阶非齐次线性微分方程的通解二阶非齐次线性微分方程的通解本章复习重点1、一阶线性方程一阶线性方程2、可降阶方程可降阶方程3二阶常系数线性非齐次微分方程二阶常系数线性非齐次微分方程（综合题与变上限）（综合题与变上限） xxf)(0( )xf t dt)(xf)(xf例例1 设,是连续函数，求解：( )1( ),( )( )1,( )1xfxf xfxf