高数第一节导数的概念

1、微积分学的创始人微积分学的创始人: 德国数学家德国数学家 Leibniz 微分学微分学导数导数描述函数变化的快慢程度描述函数变化的快慢程度微分微分描述函数改变量的近似值描述函数改变量的近似值是微积分学的一个重要组成部分是微积分学的一个重要组成部分导数与微分导数与微分英国数学家英国数学家 Newton上页 下页 结束 始页 末页一、导数产生的背景一、导数产生的背景二、导数的定义二、导数的定义四、导数的几何意义四、导数的几何意义五、可导与连续的关系五、可导与连续的关系三、单侧导数三、单侧导数 第二章第二章 一一. .导数产生的背景导数产生的背景1.1.物理背景物理背景2.2.几何背景几何背景1.1

2、.物理背景物理背景000)()(lim0gttttStStt 自由落体运动的瞬时速度问题自由落体运动的瞬时速度问题0tt 0,t求求 时时刻刻的的瞬瞬时时速速度度t如图如图,0tt 的的时时刻刻取取一一邻邻近近于于, t 运动时间运动时间Svt 平平均均速速度度).(20ttg ,0时时当当tt 取极限得取极限得瞬时速度是位移函数关于时间变化率的极限。瞬时速度是位移函数关于时间变化率的极限。00)()(tttStS 0limtSvt 瞬瞬时时速速度度2 2、 几何背景几何背景 曲线的切线斜率曲线的切线斜率 割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置如图如图, 点点Q 沿曲线沿曲线L趋向趋向P

3、点时点时, ,割线割线Q的极限位置的极限位置极限位置极限位置 PT 切线切线LPQT割线割线PQ切线切线PT切点切点当点当点 Q 沿曲线沿曲线L趋向于点趋向于点 P时，时， x 0， ， 即割线斜率即割线斜率 tan 趋向趋向切线切线 PT 的斜率的斜率 tan ，.)()(limlimtanlimtan0000 xxfxxfxyxx 设设T P PQ Qx0 0 x0 0+ + xyOx N L x yy = f (x).,(),(0000yyxxQyxP 1. 瞬时速度瞬时速度2.切线斜率切线斜率.)()(limlim0000 xxxfxfxykxxx 两类问题的共性两类问题的共性.)()

4、(limlim)(00000tttstststvttt 所求量为函数增量与自变量增量之比的极限所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 . .二、导数的定义二、导数的定义0 xxdydx 0()fx ，设函数设函数f (x)在在U(x0)有定义有定义, ,且且x0+ x U(x0).则称函数则称函数f (x)在点在点x0处可导处可导, ,极限值称为极限值称为f (x)在在如果极限如果极限存在存在, , 点点x0处的导数。记为处的导数。记为0000()()limlimxxf xxf xyxx 0 xxy ，)(00 xfyxx xyx 0limxxfxxfx )()(lim000hxfhxfh)(

5、)(lim000 00)()(lim0 xxxfxfxx (k 0)0000()()()limxf xk xf xfxk x 如果函数如果函数f (x)在点在点x0 处可导处可导, ,则则1.自由落体运动的瞬时速度问题自由落体运动的瞬时速度问题0000limt tttSSvtt 瞬瞬时时速速度度0( ).S t 2.切线问题切线问题切切线线的的斜斜率率为为.)()(limtan000 xxxfxfkxx 0().fx 关于导数的说明：关于导数的说明：若函数在开区间若函数在开区间I I内每点都可导内每点都可导, ,此时导数值构成的新函数称为此时导数值构成的新函数称为导函数导函数. .称函数称函数

6、在在I I内可导内可导. . ;y ;)(xf ;dxdy.)(xdxdf0()( )limxf xxf xyx 即即注意注意: :.)()(00 xxxfxf 由定义求导数的三步法由定义求导数的三步法: :求增量求增量: :算比值算比值: :求极限求极限: :);()(xfxxfy ;)()(xxfxxfxy .)()(limlim00 xxfxxfxyyxx 常用函数导数表常用函数导数表0)(. 1 Cxxcos)(sin. 5 1)(. 2 nnnxx)()(1Rxx )( xx21 )(1 x21x aaaxxln)(. 3 xxee )(xx1)(ln 14.(log)lnaxxa

7、xxsin)(cos 三、三、2.右导数右导数:单侧导数（左右导数）单侧导数（左右导数）1.左导数左导数:0000( )()()limxxf xf xfxxx 0000( )()()limxxf xf xfxxx sin ,0( )( ).,0 x xf xfxx x 已已知知函函数数，求求解解0( )( )xfxx 时时，1, 0(0)(0)(0)limhfhffh 0sinlim1,hhh 0( )(sin )xfxx 时时，cos , x 0 x 下下面面求求时时的的导导数数：0(0)(0)(0)limhfhffh 0lim1,hhh 例例2 2(0)1,f 综综上上得得：cos ,0(

8、 )1,0 x xfxx 四、导数的几何意义四、导数的几何意义oxy)(xfy T0 xM)(,tan)(,)(,()()(0000为倾角为倾角即即切线的斜率切线的斜率处的处的在点在点表示曲线表示曲线 xfxfxMxfyxf切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为000()(),yyfxxx ).()(1000 xxxfyy 例例3 311( ,2)2,.yx 求求等等轴轴双双曲曲线线在在点点处处的的切切线线的的斜斜率率 并并写写出出在在该该点点处处的的切切线线方方程程和和法法线线方方程程解解21 xyk21)1( xx2121 xx. 4 所求切线方程为所求切线方程为法线方程为法线方程为),

9、21(42 xy),21(412 xy. 044 yx即即. 01582 yx即即五、可导与连续的关系五、可导与连续的关系注意注意: : 反之不成立反之不成立,即连续不一定可导。即连续不一定可导。可可导导定理定理1 1连续连续 y O x | xy 如如在在0 x点处不可导。点处不可导。)1)0(, 1)0( ff f (x) 在在 x = 0 处可导处可导,从而从而 f (x) =1 + bx, x0e x, x 0f (0) = 1 f (x) 在在 x = 0 处连续处连续, f (0) = a .解解 . 1 , 1lim)(lim 00 aexfxxx故故又又设设a + bx, x0求求 a, b 之值之值.e x, x 0y =在在 x = 0 可导可导,例例4 4由可导性：由可导性：故故 b = 1, 此时函数为此时函数为f (x) =1 x , x 0e x, x 0 xexfxfxxx 1lim)0()0(lim00bxxbxfxfxx 1)1(lim)0()0(lim001lim0 xxx . 1 , 1ba小结小结1. 导数的实质导数的实质: 增量比的极限增量比的极限;4. 导数的几何意义导数的几何意义: 切线的斜