§21平面几何名定理

1、智浪教育普惠英才文库21 平面几何名定理平面几何名定理四个重要定理：梅涅劳斯(Menelaus)定理（梅氏线）ABC 的三边 BC、CA、AB 或其延长线上有点 P、Q、R，则 P、Q、R共线的充要条件是。塞瓦(Ceva)定理（塞瓦点）ABC 的三边 BC、CA、AB 上有点 P、Q、R，则 AP、BQ、CR 共点的充要条件是。托勒密(Ptolemy)定理四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆。西姆松(Simson)定理（西姆松线）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。例题讲解1设 AD 是ABC 的边 BC 上的中线，直线

2、CF 交 AD 于 F。求证：。智浪教育普惠英才文库2过ABC 的重心 G 的直线分别交 AB、AC 于 E、F，交 CB 于 D。求证：。3D、E、F 分别在ABC 的 BC、CA、AB 边上，AD、BE、CF 交成LMN。求 SLMN。4以ABC 各边为底边向外作相似的等腰BCE、CAF、ABG。求证：AE、BF、CG 相交于一点。智浪教育普惠英才文库5已知ABC 中，B=2C。求证：AC2=AB2+ABBC。6已知正七边形 A1A2A3A4A5A6A7。求证：。7ABC 的 BC 边上的高 AD 的延长线交外接圆于 P，作 PEAB 于 E，延长 ED 交 AC 延长线于 F。求证：BC

3、EF=BFCE+BECF。8正六边形 ABCDEF 的对角线 AC、CE 分别被内分点 M、N 分成的比为 AM：AC=CN：CE=k，且B、M、N 共线。求 k。（23-IMO-5）智浪教育普惠英才文库9O 为ABC 内一点，分别以 da、db、dc表示 O 到 BC、CA、AB 的距离，以 Ra、Rb、Rc表示 O到 A、B、C 的距离。求证：（1）aRabdb+cdc;(2) aRacdb+bdc;(3) Ra+Rb+Rc2(da+db+dc)。10ABC 中，H、G、O 分别为垂心、重心、外心。求证：H、G、O 三点共线，且 HG=2GO。（欧拉线）11O1和O2与ABC 的三边所在直

4、线都相切，E、F、G、H 为切点，EG、FH 的延长线交于P。求证：PABC。智浪教育普惠英才文库12如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC 平分BAD。在 CD 上取一点 E，BE 与 AC 相交于 F，延长 DF 交 BC 于 G。求证：GAC=EAC。例题答案：1.分析：CEF 截ABD（梅氏定理）评注：也可以添加辅助线证明：过 A、B、D 之一作 CF 的平行线。2.分析：连结并延长 AG 交 BC 于 M，则 M 为 BC 的中点。DEG 截ABM（梅氏定理）DGF 截ACM（梅氏定理）=1评注：梅氏定理3. 梅氏定理智浪教育普惠英才文库4. 塞瓦定理5. 分析：过 A 作 BC 的平行线交ABC 的外接圆于 D，连结 BD。则 CD=DA=AB，AC=BD。由托勒密定理，ACBD=ADBC+CDAB。评注：托勒密定理6.评注：托勒密定理7.评注：西姆松定理（西姆松线）8.评注：面积法9.评注：面积法10. 评注：同一法11. 证明：连结 BD 交 AC 于 H。对BCD 用塞瓦定理，可得因为 AH 是BAD 的角平分线，由角平分线定理，可得，故。过 C 作 AB 的平行线交 AG 的延长线于 I，过 C 作 AD 的平行线交 AE 的延长线于 J。则，所以，从而 CI=C