机电系统建模与仿真-机电传动系统建模方法

1、机电系统建模与仿真-机电传动系统建模方法2.2 机械传动系统的动力学模型2.2.1 传动机构的仿真分析 仿真步骤： 动力学模型（微分方程） 拉氏变换（传递函数） 控制方框图 仿真模型（Simulink） 仿真实验及结果分析拉氏变换与线性常微分方程的求解1. 拉氏变换的定义 若f(t)是分段光滑的，并存在一个正的常数，使在t趋于无穷大时，et|f(t)|趋于0，则拉普拉斯积分 收敛， s是复变量。并定义拉普拉斯变换 注意到对于大多数常见函数，拉氏变换是存在的；但若f(t)的增长速度超过指数函数，如 ，则其拉氏变换不存在。 0dettfst ttfsFtfLstde02et2. 拉氏 变换 的性

2、质终值定理初值定理卷积定理 0limsssFf sssFflim0 sFsFtftfLtftfLt2102121d3. 拉氏反变换直接查表法部分分式展开法 nmpspspszszszsKsAsBsF2121nnpsapsapsa2211常见函数的拉氏变换（及z变换）4. 应用拉氏变换求解线性常微分方程对微分方程中的每一项作拉氏变换，并应用微分定理，将微分方程变换为s域中的代数方程；由代数方程解出因变量的拉氏变换；对因变量的拉氏变换作拉氏反变换，即得到因变量的时域函数。例1：自由振动方程 初始条件2nn20,1xxx& & 0,0 xa xb& 22nn00200s X

3、ssxxsX sxX s&NoImage 21n2nn2n222ssssabasssbsasXdnn2n2 , 1j1js tstststsssbassssatx1221ee2ee21n2121tabtatddndsincosen例2：强迫振动方程 1，初始条件 仅讨论稳态解（或称非齐次方程的特解） 2nn2xxxf tm& & 0,0 xa xb& msFssssbsasX2nn22nn2n2122 msFssLtx2nn2121tssLtfm02nn21d211 ttttttfmttfmnn0dd0dddsine1dsine1 集中参数系统的控制方框图（1）

4、：质量-阻尼系统 齿轮传动机构及其控制方框图 集中参数系统的控制方框图（2）：弹簧-质量-阻尼系统 同步齿形带传动机构及其控制方框图 集中参数系统的控制方框图（3）：单层隔振系统的简化模型 mx tf tBx tKx t& & 2F smsBsK X s 21X sG sF smsBsK 集中参数系统的控制方框图（4）：单轮汽车支承系统简化模型 集中参数系统的控制方框图（4）：轴系传动 仿真实验及分析： 对驱动力（矩）的动态响应：阶跃输入、脉冲输入、斜坡输入、简谐输入（频响特性）等 系统参数对其动态响应特性的影响：刚度、阻尼、惯性负载等。2.2.2 定轴传动机构的模型 基本构成

5、元件数学模型 质量： 阻尼： 弹簧： 0002xxf tmx tF sms X s 001212xf tB x tx tF sBs X sXs 1212f tK x tx tF sK XsXs 001212T tBttT sBsss 0002T tJtT sJss 1212M tKttsKss转动惯量：阻尼：扭簧： 齿轮传动机构的模型（1）：刚性传动轴情况1 11 112 22 2021221211 12 2iJBMMJBMMnMM 1e 11e 10eiJBMM21e1122JJn J21e1122BBn B0e120Mn M 齿轮传动机构的模型（2）：弹性传动轴情况1 1112221212

6、3 323434424323323223,iJMKJKMJKMJKMMzzn 2232121Jn JK2422n Kn2244422n Jn Knn 齿轮传动机构的模型小结： （1）从动轴上的转动惯量J等效到主动轴上时，Je=n2J，n为由主动轴到从动轴的传动比。 （2）类似地，对于从动轴上的刚度K、阻尼B，等效到主动轴上时， Ke=n2K， Be=n2B。 （3）从动轴上的力矩M等效到主动轴上为nM。 （4）从动轴上的转角折算到主动轴上为/n。 （5）主动轴向从动轴的转换也成立。 备注：齿轮传动系统的模型结构简化的一些前提假设 （1）齿轮具有理想的齿廓几何形状。 （2）齿轮的材质是均匀的，在

7、啮合过程中啮合刚度为常数。 （3）齿轮啮合过程无功率消耗。 （4）齿轮传动过程是平稳的，无脱啮现象。 丝杠螺母传动机构的模型 惯性负载的等效转换：转换前后系统所具有的动能不变。 Je=mL(L/2)2 2iieie2ddddttJT tBtt iieeT sss J sB 备注：其它物理量的等效转换 力（矩）负载的等效转换：转换前后力（矩）负载对系统的作功（功率）不变。 等效刚度：转换前后弹簧的变形能相等。 等效阻尼：转换前后阻尼的耗能功率相等。 同步齿形带传动机构的模型主动轮半径：ri ； 从动轮半径：rL齿形带弹性变形：l= riirLL 对主动轮和从动轮分别列写微分方程，并化简。 举例2

8、：步进电机同步齿形带驱动装置 思考题：机床进给系统及简化K1,K2,K3I,II,III轴的扭转刚度；K4丝杆螺母副及基座的轴向刚度J1,J2,J3I,II,III轴上的转动惯量；Mi驱动马达输入转矩m工作台直线运动部分质量B工作台直线运动速度阻尼x0工作台位移l丝杆螺母的螺距z1,z2,z3,z4齿轮齿数2.3 传动系统的仿真分析2.3.1 基于动力学模型的仿真分析 应用Simulink工具箱建立系统模型，完成仿真。2.3.2 基于SimMechanics模块库的仿真分析2.4 面向实体的传动系统及机构建模2.4.1 基于ADAMS的机械系统建模2.4.2 基于MATLAB的机构建模2.5

9、传动系统及机构试验建模2.5.1 辨识的基本概念 试验建模或系统辨识：根据系统的输入输出数据建立系统数学模型。确定数学模 型结构和估计数学模型参数。 离线辨识与在线辨识。 试验建模的方法：频率响 应法、脉冲试验法、随机 信号试验法2.5.2 最小二乘辨识方法 最小二乘法的定义（1）：数学模型的结构 对SISO系统：A(z1)y(k)=B(z1)u(k)+e(k) 将算子A和B的各系数组成向量 =a1, a2, , an, b0, b1, b2, , bnT 并令 (k)=y(k1), , y(kn), u(k), , u(kn)T y(k)= T(k) +e(k) 对N次观测，将k=n+1,

10、, n+N代入上式，得到N个方程组成的线性方程组。 最小二乘法的定义（2）：线性方程组形式的数学模型 令Y=y(n+1), y(n+2), , y(n+N)T e=e(n+1), e(n+2), , e(n+N)T 那么 Y=+e 11112221y nyu nuy nyu nuy n Ny Nu n Nu N 最小二乘法的定义（3）：残差及准则函数 记参数 的估计值为 ，由模型估计y(k)的值 残差：估计值和实际观测的差 准则函数： 或 J( )=(Y)T(Y) 使J( )最小的估计值 称 的最小二乘估计。 T y kk TTT e ky kkke kk 2T1NkJy nknk 最小二乘的

11、解： J( )取极值的条件：J( )=0 T TY=0 T= TY 普通最小二乘估计 TJYYTT22 YYY1TTLS Y 噪声对估计值的影响 假若噪声e(k)是具有不同统计特性的随机变量，则引入加权因子w(k) 或令w=diagw(n+1), w(n+2), , w(n+N) J( )=(Y)Tw(Y) 由J( )=0， 当e(k)是相互独立且具有同分布的随机变量，w=I 普通假定e(k)是与输入无关的白噪声并服从正态分布。 2T1NkJw kny knkn1TTWLS w wY 统计特性：无偏性有效性 当w=R1时，加权最小二乘估计 是最小误差方差估计。一致性：若e(k)是零均值白噪声序

12、列（高斯白噪声）， 是 的一致估计。渐进正态性：若e(k)是高斯白噪声， 服从正态分布。 1TTLSEE eTWLSWLSWLScovE11TTTTTE w weew wWLSWLSWLS 最小二乘递推算法（1）：无矩阵求逆，减少计算量和存储量；跟踪时变系统，实现在线辨识。 对于任意的N次观测，记PN= NT N1，有最小二乘解 增加一组新观测值uN+1=u(n+N+1)，yN+1=y(n+N+1)： YN+1= N+1T +eN+1； 其中，YN+1=YNT, yN+1T， N+1T= NT, N+1， N+1=yn+N, , yN+1, un+N+1, , uN+1T1TTTNNNNNNN

13、N YP Y1TTT11111111NNNNNNNNYPY 最小二乘递推算法（2）：PN+1与PN间的递推关系111TTTT111111T1NNNNNNNNNNNP 1111TTTTTTT1111NNNNNNNNNNNNNN I 1111TTTT1111NNNNNNNNNNI IP PT11T111NNNNNNNP IPP 最小二乘递推算法（2）： 与 间的递推关系1NNTTT1111111T1111NNNNNNNNNNNNNNNyYP P YIPP TT1111T111NNNNNNNNNNNyP IP YP T1111T111NNNNNNNNNNyP IP P TTT1111111111TT

14、1111111NN NNN NN NNNN NN NNNNNN NNN NyyP PP PP P PTT111111T111NNNNNNNNNNNNNNyyP GP 最小二乘递推算法（3）：算法流程由m组数据确定初值 和Pm；或简单令 ，P0=2I， 为大的正数。引入新一组观测数据uN+1和yN+1，构造 N+1=yn+N, , yN+1, un+N+1, , uN+1T计算增益矩阵GN+1=PN N+1/(1+ N+1TPN N+1)计算预报误差 ，满足迭代终止条件时结束计算。不满足迭代终止条件时计算PN+1=PNGN+1 N+1TPN及 ，并转。m00T11NNNyT1111NNNNNNy

15、G 最小二乘适应算法（1）：数据饱和现象 增益矩阵随数据的增长而渐趋于0，使 。 发生数据饱和时如参数估计值距真值偏差尚远，算法因失去修正能力而失效；对时变过程，将导致参数估计值不能跟踪时变参数的变化。 克服数据饱和的方法：设法降低旧数据的影响。对时变系统，在辨识算法中充分利用新数据所包含的信息。1NN 最小二乘适应算法（2）：遗忘因子法 引入遗忘因子（01），并令=2 须为接近于1的正数，适用于常系数或缓慢时变系统。11T11,NNNNNNyYYT1111NNNNNNyGT1111NNNNNNGP P T111NNNNPIGP 最小二乘适应算法（3）：限定记忆法 设长度为N的数据，有 NT=

16、 1, 2, , N，且PN=( NT N)1为已知，此时有估计 。 当有新数据uN+1, yN+1加入，据递推公式有 为保持数据长度为N，在序列中剔除数据u1, y1，并对pN+1作修正，有 存在估计 ，注意此处 N+1T = 2, , N, N+1，YN+1=yn+2, , yn+N, yn+N+1T。TNNNNP YTT111111NNNNNNNNpIP P PTT111111111NNNNPIp ppT1111NNNNP Y 改进的最小二乘算法（1）：增广最小二乘法 在数学模型中引入噪声模型： A(z1)y(k)= B(z1)u(k)+D(z1)e(k)，或y(k)= T(k) +e(

17、k) =a1, a2, , ana, b0, b1, b2, , bnb, d1, d2, , dmT (k)=y(k1), , y(kna), u(k), , u(knb), e(k1), , e(km)T 在此要求e(k)是可测量的。 递推增广增广最小二乘法的算法与RLS的形式一致，只是参数向量的维数扩充了m维。 算法简单，具有一致无偏性。 改进的最小二乘算法（2）：广义最小二乘法 在SISO模型中，将有色噪声e(k)描述为以白噪声序列(k)为输入的线性系统的输出：D(z1)e(k)=(k)，D(z1)=1+d1z1+d2z2 +dmzm 将D(z1)算子作用于SISO模型： A(z1)D

18、(z1)y(k)=B(z1)D(z1)u(k)+D(z1)e(k) 即 A(z1)D(z1)y(k)=B(z1)D(z1)u(k)+(k) 将yf(k)=D(z1)y(k)和uf (k)=D(z1)u(k)视为白化滤波处理后的输出和输入。 A(z1)yf(k)=B(z1)uf(k)+(k) 改进的最小二乘算法（2）：广义最小二乘法求解步骤 令D(z1)=1，利用基本最小二乘法对A(z1)和B(z1)进行估计得到 和 ； 计算 ； 由D(z1)e(k)=(k)，估计 ； 由D(z1)计算yf(k)=D(z1)y(k)及uf(k)=D(z1)u(k)，而后重新估计A(z1)和B(z1)； 重复步骤

19、，直到满足估计精度。 1A z1B z 11e kA zy kB zu k12,.,md dd 改进的最小二乘算法（2）：广义最小二乘法的递推算法 设tk时刻的模型和噪声参数估计分别为 和在tk+1时刻对新加入数据yk+1和uk+1进行滤波： 并令据 和RLS算法将系统参数 修正为计算残差估计 ，并构造残差数据向量据 k+1和RLS算法将系统参数 修正为kkd111111,kkkkyD zyuD zuT111kk nkkk nyyuu 1kk1kT111kkkkey T111kkkk meee kd1kd 改进的最小二乘算法（3）：辅助变量法原理 设存在与 同阶的辅助变量矩阵Z，使 非奇异，且

20、 （Z与e独立） 当矩阵Z的选择与噪声无关而与数据阵 密切相关，并满足上述假设条件时， 即为 的无偏一致估计： 辅助变量的选择方法：迭代辅助变量算法、自适应滤波法、纯滞后和Tally原理等。T1limNNZ T1lim0NNZ e1TTTTTIV YeZ YZ Z eZ Z YIVIVw.p.1N 改进的最小二乘算法（3）：迭代辅助变量法的参数估计流程首先据观测数据 、Y计算最小二乘估计 。将 代入关系式：A(z1)w(k)=B(z1)u(k)，求得w(k)，w(k)为假定的理想系统在u(k)输入下的输出。构造辅助变量矩阵求 ，并以 取代 ，返回步骤反复循环迭代，直至取得满意辨识结果。 11112221w nwu nuw nwu nuw n Nw Nu n Nu NZIVIV2.5.3 频率响应法 线性系统的频率保持性及频响特性 频响函数的测量 依赖于幅