实对称矩阵对角化

1、5.4实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化一、对称矩阵的性质一、对称矩阵的性质(4个个Th)二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法定理定理1 1实对称矩阵的特征值为实数实对称矩阵的特征值为实数. .证明证明, 对对应应的的特特征征向向量量为为复复向向量量的的特特征征值值为为对对称称矩矩阵阵设设复复数数xA . 0, xxAx 即即, 的的表表示示用用 共共轭轭复复数数xAxA 则则 . xxAx 一、对称矩阵性质一、对称矩阵性质, 的的表表示示xx共共轭轭复复向向量量于是有于是有AxxT AxxT xxT ,xxT AxxT 及及 xAxTT xxAT x

2、xT .xxT 两式相减，得两式相减，得 . 0 xxT , 0 x, 0| 121niiniiiTxxxxx,.是实数定理定理1 1的意义：的意义：所以齐次线性方程组为实数的特征值由于实对称矩阵, iA.,0,以取实向量从而对应的特征向量可系知必有实的基础解由是实系数方程组EAi0)( xEAi说明说明：本节所提到的对称矩阵，：本节所提到的对称矩阵， 除非特别说明，均指除非特别说明，均指实对称矩阵实对称矩阵., 221212121正正交交与与则则若若是是对对应应的的特特征征向向量量的的两两个个特特征征值值是是对对称称矩矩阵阵设设定定理理ppppA 证明证明,21222111 AppApp,A

3、AAT 对对称称 TTTAppp11111 ,11ApApTTT 于是于是 22121211ppAppppTTT ,212ppT . 0 2121 ppT ,21 .21正正交交与与即即pp. 021 ppT一、对称矩阵性质一、对称矩阵性质定理定理1:1:实对称矩阵的特征值为实数实对称矩阵的特征值为实数. ., 221212121正正交交与与则则若若是是对对应应的的特特征征向向量量的的两两个个特特征征值值是是对对称称矩矩阵阵设设定定理理ppppA 定理定理1 1的意义：的意义：所以齐次线性方程组为实数的特征值由于实对称矩阵, iA.,0,以取实向量从而对应的特征向量可系知必有实的基础解由是实系

4、数方程组EAi0)( xEAi. , 41素素的的对对角角矩矩阵阵个个特特征征值值为为对对角角元元的的是是以以其其中中使使则则必必有有正正交交矩矩阵阵阶阶对对称称矩矩阵阵为为设设定定理理nAAPPPnA 证明证明,21s 它们的重数依次为它们的重数依次为srrr,21. ,)( , , 3个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量恰有恰有对应特征值对应特征值从而从而的秩的秩则矩阵则矩阵重根重根的特征方程的的特征方程的是是阶对称矩阵阶对称矩阵为为设设定理定理rrnEAREArAnA ).(21nrrrs 由定理由定理1（对称矩阵的特征值为实数对称矩阵的特征值为实数）和定理）和定理3得：得：设设 的

5、互不相等的特征值为的互不相等的特征值为A,21知知由由nrrrs 由定理由定理2知知对应于不同特征值的特征向量正交对应于不同特征值的特征向量正交，., ), 2 , 1( 单单位位正正交交的的特特征征向向量量个个即即得得把把它它们们正正交交化化并并单单位位化化关关的的实实特特征征向向量量个个线线性性无无恰恰有有对对应应特特征征值值rrsiiii PPAPP11.,11个个特特征征值值的的是是恰恰个个个个的的对对角角元元素素含含其其中中对对角角矩矩阵阵nArrss 这样的特征向量共可得这样的特征向量共可得 个个.n故这故这 个单位特征向量两两正交个单位特征向量两两正交.n以它们为列向量构成正交矩

6、阵以它们为列向量构成正交矩阵 ，则，则P根据上述结论，利用正交矩阵根据上述结论，利用正交矩阵P P将对称矩阵将对称矩阵A A化化为对角矩阵，其步骤为对角矩阵，其步骤为：为：二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法将特征向量正交化将特征向量正交化;3.单位化单位化.2. ;, 0的特征向量的特征向量求出求出由由AxEAi 1.;的特征值的特征值求求A即得正交可逆阵即得正交可逆阵P和对角阵和对角阵.4.s ,)1(1特特征征值值求求出出的的全全部部互互不不相相等等的的.)(,11nkkkkss 它它们们的的重重数数依依次次为为,.,0)(,)2(量量两两两两正正

7、交交的的单单位位特特征征向向得得化化再再把把它它们们正正交交个个线线性性无无关关的的特特征征向向量量得得解解系系的的基基础础求求方方程程对对每每个个重重特特征征值值iikkxEA ,1nkks 因因.向向量量个个两两两两正正交交的的单单位位特特征征故故总总共共可可得得 n., )3(T1APPAPPPn便有向量构成正交阵个两两正交的单位特征把这具体详细过程如上：具体详细过程如上：解解 20212022EA 214 0 . 2, 1, 4321得,020212022A例例 1实对称阵实对称阵A，求正交矩阵，求正交矩阵 ，使，使 为对角阵为对角阵.APP1 P(1)第一步第一步 求求 的特征值的特

8、征值A 的的特特征征向向量量求求出出由由第第二二步步AxEAi, 0 得由对, 04, 41xEA 04202320223232121xxxxxxx解之得基础解系解之得基础解系 .1221 得由对, 0, 12xEA 0202202323121xxxxxx解之得基础解系解之得基础解系.2122 得由对, 02, 23xEA 02202320243232121xxxxxxx解之得基础解系解之得基础解系.2213 第三步第三步 将特征向量正交单位化将特征向量正交单位化.,3, 321321故它们必两两正交故它们必两两正交的特征向量的特征向量个不同特征值个不同特征值的的是属于是属于由于由于 A. 3

9、 , 2 , 1, iiii 令令,3132321 得得,3231322 .3232313 ,22121212231,321 P作作.200010004 1 APP则则,011101110A.,1为对角阵使求一个正交阵APPP解解 由由 111111EA21rr 1111011例例2 2设设21cc 21111001)2)(1(2 . )2()1(2 .1,2321的特征值为A,21对应由解方程,0)2(xEA2111211122EAr 000110101由组解方程,0)(xEA111111111EA101,01132基础解系,:,2232取正交化将r000000111,132对应得单位化将得

10、基础解系,11111.111311p2223233,01121101.21121,62031612131612131 APPAPPT1有有.100010002 ),(321pppP 构构成成正正交交矩矩阵阵将将321,ppp.21161,0112132 pp得得,32单单位位化化再再将将 例例3 3.,2112nAA求求设设 解解,可对角化故是实对称阵因AA,及对角阵即有正交可逆阵 p.1 App使使,1ppA于是.1ppAnn从而2112EA342, )3)(1(于是的特征值.3,121A,3001.3001nn,11 对应对应;111 得得,32 对应对应.112 得得r 0011r 0011 1111EA由由 11113EA由由,111121),(2211p并有.1111211p再求出1 ppAnn于是于是11113001111121n.3131313121nnnn1.对称矩阵的性质：对称矩阵的性质：三、小结三、小结 (1) (1)特征值为实数；特征值为实数； (2)(2)属于不同特征值的特征向量正交；属于不同特征值的特征向量正交； (3)(3)特征值的重数和与之对应的线性无关的特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量的个数相等；特征向量的个数相等； (4)(4)必存在正交