高一数学平面向量综合练习题解析版

1、平面向量综合练习一、单选题1若四边形是矩形，则下列说法不正确的是（ ）A与共线B与共线C与模相等，方向相反D与模相等【答案】B【分析】根据向量的共线及模的概念即可求解.【详解】因为四边形是矩形，所以与共线，与模相等，方向相反，与模相等正确，与共线错误，故选：B2已知M(3，2)，N(5，1)，且，则P点的坐标为()A(8,1)BCD(8，1)【答案】B【分析】由向量相等的坐标表示，列方程组求解即可.【详解】解：设P(x，y)，则 (x3，y2)，而(8,1)，所以，解得，即， 故选B.【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算，属基础题.3在平行四边形中，是对角线的中点，则（ ）ABCD【答案】A【

2、分析】根据平面向量的共线定理和减法法则，即可求出结果.【详解】根据题意，作出草图，如下：根据平面向量的共线定理和减法法则，可得.故选：A.【点睛】本题主要考查了平面向量的共线定理和减法法则，属于基础题.4已知，是夹角为60°的单位向量，则（ ）A7B13CD【答案】C【分析】结合单位向量的定义及数量积的公式，求出，进而可求.【详解】解：，所以.故选:C.【点睛】本题考查了单位向量的定义，考查了向量的数量积公式，考查了向量模的求解.本题的关键是求出模的平方.一般求向量的模时，可通过向量的平方等于模的平方这一性质，先求出向量平方的值，再求模；也可由模的坐标表示进行求解.5已知向量，若与共

3、线，则在方向上的投影是（ ）A1BCD【答案】C【分析】利用向量的运算法则求出两个向量的和，利用共线向量求出值，再用在方向上的投影公式即可.【详解】解：因为，因为与共线，所以，解得.所以在方向上的射影.故选: C.【点睛】本题考查向量的运算法则、考查向量共线和向量的投影，属于基础题.6如图，为的外心，为钝角，是边的中点，则的值AB5C6D7【答案】B【分析】取、的中点、，可知，所求，由数量积的定义结合图象可得，代值即可【详解】解：取、的中点、，可知，是边的中点，由数量积的定义可得，而，故；同理可得，故，故选：B【点睛】本题为向量数量积的运算，数形结合并熟练应用数量积的定义是解决问题的关键，属于

4、中档题二、多选题7有下列说法，其中错误的说法为（ ）A若，则B若，则是三角形的垂心C两个非零向量，若，则与共线且反向D若，则存在唯一实数使得【答案】AD【分析】分别对所给选项进行逐一判断即可.【详解】对于选项A，当时，与不一定共线，故A错误；对于选项B，由，得，所以，同理，故是三角形的垂心，所以B正确；对于选项C，两个非零向量，若，则与共线且反向，故C正确；对于选项D，当，时，显然有，但此时不存在，故D错误.故选：AD【点睛】本题考查与向量有关的命题的真假的判断，考查学生对基本概念、定理的掌握，是一道容易题.8若、是空间的非零向量，则下列命题中的假命题是（ ）AB若，则C若，则D若，则【答案】

5、ACD【分析】根据向量数量积的运算律逐一判断即可.【详解】是与共线的向量，是与共线的向量，与不一定共线，A错，若，则与方向相反，B对，若，则，即，不能推出，C错，若，则，与方向不一定相同，不能推出，D错，故选：ACD.三、填空题9已知向量，且，则_.【答案】8【分析】直接由向量数量积的坐标表示可得结果.【详解】因为，且，所以，解得，故答案为：8.10设为单位向量，且，则_.【答案】【分析】由平方后求得，再求可得结论【详解】为单位向量，故答案为：四、解答题11已知向量，（1）若点，三点共线，求的值；（2）若为直角三角形，且为直角，求的值【答案】（1）；（2）【分析】（1）由点，三点共线可得和共线

6、，解关于的方程可得答案；（2）由为直角三角形可得，即，解关于的方程可得答案【详解】（1），点，三点共线，和共线，解得；（2）为直角三角形，且为直角，解得【点睛】方法点睛：利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.12已知单位向量，的夹角为，向量，向量.（1）若，求的值；（2）若，求.【答案】（1）；（2）【分析】（1）由，所以存在唯一实数，使得，建立方程组可得答案；（2）由已知求得，再由得，可解得，再利用向量的模的计算方法可求得答案.【详解】（1）因为，所以存在唯一实数，使得，即，所以，解得；（2）由已知得，由得，即，解得

7、，所以，所以，所以【点睛】本题考查向量平行的条件和向量垂直的条件，以及向量的模的计算，属于中档题.13如图所示，一条河的两岸平行，河的宽度，一艘船从点出发航行到河对岸，船航行速度的大小为，水流速度的大小为，设和的夹角.（1）当多大时，船能垂直到达对岸？（2）当船垂直到达对岸时，航行所需时间是否最短？为什么？【答案】（1）；（2）当时，船的航行时间最短，而当船垂直到达对岸，所需时间并不是最短.【分析】（1）垂直时根据和向量与分向量的位置关系，利用数量积公式求解的值；（2）根据 “时间等于垂直到达对岸时相应的路程与速度的比值”以及三角函数有界性确定时间最小值，然后再进行判断.【详解】（1）船垂直到

8、达对岸，即与垂直，即.所以，即.所以，解得.（2）设船航行到对岸所需的时间为，则.故当时，船的航行时间最短，而当船垂直到达对岸，所需时间并不是最短.【点睛】本题考查行船过河问题中向量问题，难度一般.对实际问题中的垂直问题也要敏感，可以借助数量积的计算完成求解.14如图，在四边形中，为等边三角形，是的中点.设，.（1）用，表示，（2）求与夹角的余弦值.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）利用向量的线性运算即平面向量基本定理确定，与，的关系；（2）解法一：利用向量数量积运算公式求得向量夹角余弦值；解法二：建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标表示确定向量夹角余弦值.【详解】解法一：（1）由图可知.因为E是CD的中点，所以.（2）因为，为等边三角形，所以，所以，所以，.设与的夹角为，则，所以在与夹角的余弦值为.解法二：（1）同解法一.（2）以A为原点，AD所在直线为x轴，过A且与AD垂直的直线为y