高中数学圆锥曲线圆锥曲线的性质对比+知识点梳理

1、精品感谢下载载高考数学圆锥曲线部分知识点梳理一、方程的曲线:在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。点与曲线的关系：若曲线C的方程是f(x,y)=0,则点P0(x0,y0)在曲线C上f(x0,y0)=0;点P0(x0,y0)不在曲线C上f(x0,y0)w0。fi(x0,y。)0两条曲线的交点：若曲线C1,C2的方程分别为fi(x,y)=0,f2(x,y)=0,则点P0(

2、x0,y0)是Ci,C2的交点方程组有f2(x0,y0)0n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点。二、圆：1、定义：点集M|OM|=r,其中定点O为圆心，定长r为半径.2、方程：(1)标准方程：圆心在c(a,b),半径为r的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r2圆心在坐标原点，半径为r的圆方程是x2+y2=r2DE一般万程：当D2+E2-4F0时，一兀二次万程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般万程，圆心为(一，一)半径是化为(x+ )2+(y+ )2= D2_ 2_E 2 - 4F422-2一2，一DE4F。配方，将方程x2+y2+Dx+Ey+

3、F=02当D2+E2-4F=0时，方程表示一个点(-D,-E);22当D2+E2-4F0时，方程不表示任何图形.(3)点与圆的位置关系已知圆心C(a,b),半径为r,点M的坐标为(x0,y0),则| MC | 0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l称为准线，正常数e称为离心率。当0e1时，轨迹为双曲线。四、椭圆、双曲线、抛物线：椭圆双曲线抛物线定义1 .到两定点Fl,F2的距离之和为定彳12a(2a|F1F2I)的点的轨迹2 .与定点和直线的距离之比为定彳1e的点的轨迹.(0e1)1 .到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a(02a1)与定点和直线的距离

4、相等的点的轨迹.轨迹条件点集：(M|MF1+|MF2|=2a,|F1F2|2a.图形卜HL一c”一I.1TbJ1Kr一丁IJ%JIQ1k方程标准方程22xy,TT1(ab0)ab22xyO2-1(a0,b0)ab2-y2px参数方程xacosybsin(参数为离心角)xasecybtan(参数为离心角)x2pt(t为参数)y2pt范围axa,-byb|x|a,yRx0中心原点O(0,0)原点O(0,0)顶点(a,0),(f,0),(0,b),(0,T)(a,0),La,0)(0,0)对称轴x轴,y轴；长轴长2a,短轴长2bx轴，y轴；实轴长2a,虚轴长2b.x轴焦点Fi(c,0),F2(y,0

5、)Fi(c,0),F2(y,0)F,0)2准线2ax=+c准线垂直于长轴，且在椭圆外.2ax=+c准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧.px=2准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等.焦距2c(c=Ja2b2)2c(c=Ta2b2)离心率ce-(0e1)ace(e1)ae=1 .一22等轴双曲线：双曲线 x y【备注1】双曲线:a2称为等轴双曲线，其渐近线方程为yx,离心率e石.共羯双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,2 x叫做已知双曲线的共乐双曲线.a2 y b22J x与-2a2 y b2互为共羯双曲线，它们具有共同的渐近线:2 x 2 a2% 0.共渐近线的双曲线系方程

6、:2X2a2 y b20)的渐近线方程为2X2a2y万0如果双曲线的渐近线为b0时,它的双曲2 x 线方程可设为正 a2 y b20).【备注2】抛物线:(1 )抛物线2 一 ，一、y =2px(p0)的焦点坐标是,0),准线方程x=-开口向右；抛物线y 2 =-2px(p0)的焦点坐标是(,0), 2准线方程x=P 2工，开口向左；抛物线 X =2py(p0)的焦点坐标是 2P(0,：),准线方程y=-卫 一,开口向上;2-),准线方程y=22抛物线x=-2py(p0)的焦点坐标是(0,-2,一一，八一P2,一一，八一(2)抛物线y=2px(p0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离MFX0

7、二；抛物线y=-2px(p0)上的点M(x0,y0)与焦点F2的距离MFpx02,则抛物线的焦点到其顶点的距离为2(3)设抛物线的标准万程为y=2px(p0)pp,顶点到准线的距离,焦点到准线的距离22为p.A、B两点，则线段AB称为焦点弦，设 A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长2(4)已知过抛物线y=2px(p0)焦点的直线交抛物线于AB=x1x2+p或AB2p-2(a为直线AB的倾斜角)，y1y2sin22ppp,x1x2，AFx1(AF叫做焦半径).42五、坐标的变换:(1)坐标变换：在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换.实施坐标变换时

8、，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程(2)坐标轴的平移：坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴(3)坐标轴的平移公式：设平面内任意一点M,它在原坐标手4x设新坐标系的原点 O在原坐标系xOy中的坐标是(h,k),则yxOy中的坐切皂x hx或y ky9x,y),在新坐标系x h y kx O y中的坐标是(x , y ).叫做平移(或移轴)公式.(4)中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表:方程焦点焦线对称轴椭圆22(x-h)(y-k)2-1-.2=1ab(c+h,k)2x=+-+hcx=hy=k(x

9、-h)2(y-k)2,2+2=1ba(h,c+k)2y=1一+kcx=hy=k双曲线(x-h)2(y-k)22-2=1ab(c+h,k)a2x=+kcx=hy=k22(y-k)(x-h)-2-u2=1ab(h,c+h)2y=+kcx=hy=k抛物线(y-k)2=2p(x-h)(+h,k)2x=-+h2y=k(y-k)2=-2p(x-h)(-+h,k)2x=2+h2y=k(x-h)2=2p(y-k)(h,+k)2y=-+k2x=h(x-h)2=-2p(y-k)(h,-+k)2y=+k2x=h六、椭圆的常用结论:1. 点P处的切线PT平分APFIF2在点P处的外角2. PT平分冲尸1尸2在点P处的

10、外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切5.若P0(x0,y0)在椭圆2yx0xy0y。1上，则过Po的椭圆的切线方程是-V岑b2a2b21.6.若吊(X0,y0)在椭圆2y21外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2,b2则切点弦P1P2的直线方程是xx-2-ayyb21.7.2x椭圆a(ab0)的左右焦点分别为F1,F2,点P为椭圆上任意一点F1PF2,则椭圆的焦点角形的面积fpfb2112tan.28.2x椭圆a2L1b2(ab0)的焦半径公式|

11、MF1|aex0,|MF2Iaexo(F1(c,0),F2(c,0)M(%,y0).9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MFXNF.10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,Ai、A2为椭圆长轴上的顶点，AiP和A2Q交于点M,A2P和AiQ交于点N,b2二，即 Kab ab2%a2yo则MFXNF.22_xy11. ab是椭圆二2-1的不平行于对称轴的弦，m(xo,yo)为ab的中点，则MkABab2x12.若F0(x0,y0)在椭圆a2y一、，一，、二1内，则被Po所平分的中点弦的方程是

12、b2xx-2ayy2x0-2ayo2【推论】：2x1、若P0(x0,y0)在椭圆一2a22yx，1内，则过Po的弦中点的轨迹万程是ba2yb2xx-2ay_yb22x椭圆a2y_b21(abo)的两个顶点为A1(a,0)A(a,0),与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是2A1.2x2、过椭圆a2r1b2(a0,b0)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且kBCb2xo2aV。常数).3、若p为椭圆2y21(ab0)上异于长轴痂点的任一点,F1,F2是焦点，PF1F2bPF2F1tancot一.4、设椭圆2x2a

13、b21(ab0)的两个焦点为F1、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上任意一点,在APFiF2中，记F1PF2PF1F2FiF2P-sinc,则有-e.sinsina5、若椭圆21(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L,则当0b0)上任一点，F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则2a|AF2|b2|PA|IPF1I2a|AF1|,当且仅当A,F2,P三点共线时，等号成立.(xx)7、椭圆Aa(yy0)2,(J/1与直线AxByC0有公共点的充要条件是B2b2(AxoBy。C)2.2x8、已知椭圆a2yb21(ab0),O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OPOQ.(1)1_2|OP

14、|2|OQ|(2)|OP|2+|OQ|2的最大值为2.22.24abab-22;(3)Sopq的取小值是一22.abab2x9、过椭圆Fa2J1(ab0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MNb2的垂直平分线交x轴于P,则|PFI|MN|22一xy10、已知椭圆-2-1(ab0),A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0),则ab2.22.2ababXo.aa22、一,xy11、设P点是椭圆-2-1(ab0)上异于长轴端点的任一点，Fi、F2为其焦点记F1PF2,则abIPF1IIPF2I2b.(2)SPF1F2b2tan-.1 cos22 2PAB ,

15、 PBA , BPAxy,一12、设A、B是椭圆21(ab0)的长轴两端点，P是椭圆上的一点,abc、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有2.2ab|cos|,(1)|PA|-22.tantanaccos,21e.Spab2a2b22一2c0tba22xy13、已知椭圆F、1(ab0)的右准线l与x轴相交于点E,过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点，点Ca2b2在右准线l上，且BCx轴，则直线AC经过线段EF的中点.14、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直15、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦

16、半径互相垂直16、椭圆焦三角形中，内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).(注:在椭圆焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)17、椭圆焦三角形中，内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.18、椭圆焦三角形中，半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项七、双曲线的常用结论:1、点P处的切线PT平分PF1F2在点P处的内角.2、PT平分PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点3、以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.4、以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切：P在右支；外

17、切：P在左支)2x5、若P0(x0,y0)在双曲线一2a2yb2,xxn0V,1(a0,b0)上，则过P0的双曲线的切线方程是一2-12-1.ab2x6、若P0(x0,y0)在双曲线一2ayy1(a0,b0)外，则过Po作双曲线的两条切线切点为bP1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是手a1.7、双曲线2y_b21(a0,bo)的左右焦点分别为F1,F2,点P为双曲线上任意一点F1PF2,则双曲线的焦点角形的面积为F1PF2b2cot.28、双曲线2y_b71(a0,bo)的焦半径公式：(F,(c,0),F2(c,0)当M(x0,y0)在右支上时,|MFi|ex0a,|MF2|ex0a；当M(

18、x0,y)在左支上时，|MF1|ex0a,|MF2|ex0a。9、设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点,贝UMFNF.10、过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q,A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M,A2P和AiQ交于点N,则MFXNF.11、AB2x是双曲线一2a2y1(a0,b0)的不平行于对称轴的弦,M(Xo,yo)为AB的中点，则KOMKABb2x0a2y0即KABb2x0a2y012、若F0(Xo,y0)在双曲线2x2a21-1(a0,b0)b2内，则被Po所平分的

19、中点弦的方程是驾aypyb22x0-2a2vb213、若P0(x0,y0)在双曲线2x2a2y，匕1(a0,b0)b2内，则过Po2x的弦中点的轨迹万程是a2y_b2xx-2a_y_yb22x1、双曲线a2匕1b2(a0,b0)的两个顶点为A(a,0),A2(a,0),与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是2x2ab21.2x2、过双曲线ab21(a0,b。)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且kBCb2%2aV。(常数).2x3、若p为双曲线ab21(a0,b0)右(或左)支上除顶点外的任一点，F1,F2

20、是焦点，PF1F2PF2F1ca-ca贝Utancot一(或tancot一)ca22ca2222xy4、设双曲线丁1(a0,b0)的两个焦点为Fi、F2,P(异于长轴端点)为双曲线上任意一点，在小闩尸2中，记F1PF2ab_sincPF1F2，F1F2P，则有-e.(sinsin)a225、若双曲线、1(a0,b0)的左、右焦点分别为Fi、F2,左准线为L,则当10,b0)上任一点，F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，则|AF2|2a|PA|PF1|,当ab且仅当A,F2,P三点共线且P和A,F2在y轴同侧时，等号成立22222. 220有公共点的充要条件是A2a2B2b2C2 .一xy7

21、、双曲线一2-2-1(a0,b0)与直线AxByCab22OQ.一，一xy8、已知双曲线今1(ba0),O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且OPab1(1) 2|OP|21|OQ|2112; (2) |OP|2+|OQ| 2 的取小值为ab当竺;SOPQ的最小值是 b a2, 2a b.22 .b a2 x 9、过双曲线2 a2 y b21 (a0,b 0)的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P,|PF|MN|22xy10、已知双曲线t1(a0,b0),A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(Xo,0),则ab2,2a b2,2ab

22、x0或x0a22xy11、设P点是双曲线一22ab1 (a0,b0)上异于实轴端点的任一点，Fi、F2为其焦点记F1PF22b2|PFi|PF2|.(2)SpFiF2bcot-.1 cos22 2xy12、设A、B是双曲线一2上21(a0,b0)的长轴两端点，P是双曲线上的一点，PAB,PBA,BPAabc、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)|PA|22ab |cos |-222a c cos(2)tan tan 12e .(3)2a2b2S PAB_22 COtb a2 X 13、已知双曲线一2 a2r 1 b2（aQ,b 0）的右准线l与x轴相交于点E,过双曲线右焦点F的直线与双曲线

23、相交于A、B两点，点C在右7i线l上,且BCX轴，则直线AC经过线段EF的中点.14、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直15、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直e（离心率）.16、双曲线焦三角形中，外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数（注:在双曲线焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点）.17、双曲线焦三角形中，其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.18双曲线焦三角形中，半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项八、抛物线的常用结论:2.2-4acbbaybycx顶点().4a2a2y 2px(p Q)则焦点半径PF2；x2 py（ p 0）则焦点半径为pf通径为2p,这是过焦点的所有弦中最短的y2 2 Px （或x2 2py）的参数方程为2 pt22 Pt（或x 2pt2 ) ( t为参数).y 2pt2-y2px