材料弯曲应力(new)

1、弯曲应力弯曲应力( (Bending Stresses) )廖东斌编制廖东斌编制一、弯曲概述一、弯曲概述二、梁横截面上的正应力计算二、梁横截面上的正应力计算三、梁横截面上的切应力计算三、梁横截面上的切应力计算四、梁的合理设计四、梁的合理设计弯曲应力弯曲应力五、课内练习五、课内练习1.1.工程实例工程实例 桥梁，屋梁，车轴都是桥梁，屋梁，车轴都是最常见梁的例子。最常见梁的例子。2.2.定义定义凡是以弯曲变形为主的杆件称为凡是以弯曲变形为主的杆件称为梁（梁（beam) )。一、弯曲一、弯曲( (bending) )概述概述 当纵向平面上承受垂直于杆件轴线的横向力或当纵向平面上承受垂直于杆件轴线的横

2、向力或外力偶当作用时，杆件的轴线由直线变成曲线，外力偶当作用时，杆件的轴线由直线变成曲线，此变形称为此变形称为弯曲变形弯曲变形。 平面弯曲：平面弯曲：当作用在梁上的所有外力（或合当作用在梁上的所有外力（或合力）位于纵向对称面内时，梁的轴线为一条位力）位于纵向对称面内时，梁的轴线为一条位于纵向对称面内的曲线的弯曲。（于纵向对称面内的曲线的弯曲。（对称弯曲对称弯曲） 纵向对称面：纵向对称面：梁的轴线与横截面纵向对称轴所梁的轴线与横截面纵向对称轴所构成的平面。构成的平面。支座的简化支座的简化固定铰支座固定铰支座可动铰支座可动铰支座固定端固定端杆件的简化杆件的简化用梁的轴线来代替实际的梁用梁的轴线来代

3、替实际的梁FRyFRxMRFRxFRyFRy外伸梁外伸梁悬臂梁悬臂梁静定梁的基本形式静定梁的基本形式超超静定梁静定梁三跨连续梁三跨连续梁主跨主跨边跨边跨跨径跨径PPSFMaal=0=constSFM，1.1.纯弯曲：纯弯曲：00SFM ，横力弯曲：横力弯曲：PPCDABPPPa二、梁横截面上的正应力计算二、梁横截面上的正应力计算aabbmnmnmmmm ；aabbmnmnmmmm中性层中性层中性轴中性轴中性层中性层z ()y dddyzdxydyyyEE ydAdNAFAMzAyAdMyAzAd 0 0 Md0NAFAEyAAd00dAAyE0zASydAMzAyAd00dAAzydAEAyE

4、z0yzAIzydAMyAMzAdy EyAMAd1zMEIAzdAyI21MEIzyEM yIzzWMmax大桥箱梁顶板（波纹管中穿钢绞线，预应力）大桥箱梁顶板（波纹管中穿钢绞线，预应力）大桥箱梁底板扎筋大桥箱梁底板扎筋p简单截面的简单截面的Iz和和WzIdZ464332ZdWIbhZ31226ZbhW 4444()(1)6464ZDdDI34(1)32ZDW max maxmaxzMWmax,tt max,cc 例例1.1.我国古代营造法中，对矩形截面梁给出的尺寸比我国古代营造法中，对矩形截面梁给出的尺寸比例是例是 h:b=3:2=3:2。试用弯曲正应力强度证明：从圆木锯。试用弯曲正应力强

5、度证明：从圆木锯出的矩形截面梁，上述尺寸比例接近最佳比值。出的矩形截面梁，上述尺寸比例接近最佳比值。（如何如何使使Wz最大最大? ?）hb解解:设圆木直径为设圆木直径为d222dhb62bhWzb db()22602622bdbWzbd3hd2lP1PP2hzbbzh(b)(a)例例2.两矩形截面梁，尺寸和材料的许用应力均相两矩形截面梁，尺寸和材料的许用应力均相等，但放置如图等，但放置如图(a)、(b)。按弯曲正应力强度条。按弯曲正应力强度条件确定两者许可载荷之比件确定两者许可载荷之比 P1P2？解：解：maxmax111126MWPlbhzmaxmax222226MWP lhbz由得maxm

6、ax :12PPhb12zbhzbh1lm20kN.m maxmaxzMW 333max620 10143140 10zMWmcm 140MPa26zbhW 2172Acm332zdW22100Acm3141zWcm2326.1Acm22822qlqlaqa0.207alqqMMql28002142.qlxl 0207.xxlla2a2l2l2PABCD例例5.5.两个尺寸完全相同的矩形截面梁叠在一起承受两个尺寸完全相同的矩形截面梁叠在一起承受荷载如图所示。梁长为荷载如图所示。梁长为l。若材料许用应力为若材料许用应力为 ，其许可载荷其许可载荷 P 为多少？如将两个梁用一根螺栓联成为多少？如将两

7、个梁用一根螺栓联成一体，则其许可荷载为多少？一体，则其许可荷载为多少？b2h2hPPb2h2hPl解：解：1、两梁叠放承载时，每梁将各自弯曲两梁都、两梁叠放承载时，每梁将各自弯曲两梁都有自己的中性层。有自己的中性层。每梁各承担一半弯矩。每梁各承担一半弯矩。12WMmaxmax2462221bhhbW 21122bhPlWMmaxmaxlbhP1222 2、当两梁用螺栓联为一体时，中性轴只有一个、当两梁用螺栓联为一体时，中性轴只有一个。 62bhPlWMmaxmaxlbhP62b2h2hPz9kN4kNCz52881m1m1mABCD2.5kN10.5kN解：解：2.5kN.m4kN.mMCz5

8、288BCMPaCt8 .2863. 7885 . 2max, MPaBt3 .2763. 7524max, MPaBt1 .4663. 7884max, max,Cc 2.5kN.m4kN.mM三、梁横截面上的切应力计算三、梁横截面上的切应力计算bISFZs1.1.矩形截面梁矩形截面梁zyb- -梁截面宽梁截面宽S- -静矩静矩)(2242yhbydASAbISFZs1.1.矩形截面梁矩形截面梁zy)(2242yhbSbhFs23max最大值发生在中性轴上的点最大值发生在中性轴上的点腹板腹板翼缘翼缘bISFZ*Zs8822h)bB(BHbIFZsmax8822hBBHbIFZsminmaxm

9、inssF).(F9709501bhFsbBhHyAFS34maxSFzymax例例7.圆形截面梁受力如图所示。已知材料的许圆形截面梁受力如图所示。已知材料的许用应力用应力=160MPa，=100MPa，试，试求最小直径求最小直径dminABm4mkN /20ABm4mkN /20解解: :作内力图作内力图SFMmkN.40kN40 kN40kN,40maxSFmaxmaxMWzmkN40maxM由正应力强度条件：由正应力强度条件：63310160321040d即即mm137d得得AFmaxsmax34623101004104034d即即mm126.d得得由剪应力强度条件：由剪应力强度条件：m

10、m137mind所所以以四、梁的合理设计四、梁的合理设计提高梁强度的主要措施提高梁强度的主要措施控制梁弯曲强度的主要因素是弯曲正应力控制梁弯曲强度的主要因素是弯曲正应力maxmax MWZ因此应使因此应使Mmax尽可能地小，使尽可能地小，使WZ尽可能地大。尽可能地大。1 1、梁的合理截面、梁的合理截面合理的截面形状应使截面积较小而抗弯截面模量较大。合理的截面形状应使截面积较小而抗弯截面模量较大。AW为指标。为指标。dAW1250.hAW1670.aAW1670.hAW310270.qqMMql28002142.qlxl 0207.xxll2 2、合理安排梁的受力情况、合理安排梁的受力情况PMP

11、l / 4al2l2PPl /8Ml2l2l2a2a221maxmaxctctyyy1Pzy2CPl2l2)()(maxxWxM3 3、采用变截面梁、等强度梁的概念、采用变截面梁、等强度梁的概念梁的各横截面上的最大正应力都等于材料的许用梁的各横截面上的最大正应力都等于材料的许用应力应力时，称为时，称为等强度梁等强度梁。课内练习课内练习1、下列说法错误的有下列说法错误的有( )。A、图形对其主惯性轴（即主轴）的惯性积为零、图形对其主惯性轴（即主轴）的惯性积为零。B、图形对其形心主轴的惯性积为零、图形对其形心主轴的惯性积为零。C、图形对其形心轴的静矩为零、图形对其形心轴的静矩为零。D、图形对其主轴

12、的静矩为零、图形对其主轴的静矩为零。D2、下列错误的有下列错误的有( )。A、C Cyz z1 b h y1 y2 hbIIyy321 B、3411bhIIzz C、3311bhIz D、21yyII DA、80802020CzB、C、-D、C422513005 .32* zS分析：分析：aaa2qaqqaB、A、C、D、B 分析：约束反力不变，剪力图不变。分析：约束反力不变，剪力图不变。5.5.静定梁上无力偶和集中荷载作用，梁的剪力图如图静定梁上无力偶和集中荷载作用，梁的剪力图如图示，则正确的为（示，则正确的为（ ）。）。ql / 2sF8/ l qA AB BC C A、B、A A端和端和

13、B B端为支座端为支座C、A A端和端和C C端为支座端为支座D、B B端和端和C C端为支座端为支座B ql / 2sFAFBFqll2ACB8/ l q外伸梁外伸梁分析：分析：6.6.梁上无力偶和集中荷载作用，梁的剪力图如图示，梁上无力偶和集中荷载作用，梁的剪力图如图示，则正确的为（则正确的为（ ）。）。ql / 2sF8/ l qA AB BC C A、B、C、ABBCD、C ql / 2QFM8/2qlAFBFqll2ACB8/ l q外伸梁外伸梁分析：分析：CABaqaaaDA、B、C、D、C MmkN.20ACDBm2m1m2mkN.20A、B、C、D、D 分析：分析：按按D,B处

14、剪力突变处剪力突变排除排除A， B B。再按。再按C C处弯矩，处弯矩，排除排除C 。qll22qlACBA、0,22 C右B左MqlMB、2,222qlMqlMC右B左 C、2,222qlMqlMC右B左 D、0,22 C右B左MqlMD 分析：分析：按按C处弯矩为零，处弯矩为零，排除排除B ，C 。再按简易法可。再按简易法可知知B B左截面弯矩为负，排除左截面弯矩为负，排除A 。qlll2qlACBA、qlFFSC右SC左 , 0B、C、D、qlFFSC右SC左 , 0qlFqlFSC右SC左 ,qlFqlFSC右SC左 ,D 分析：分析：按按C处突变值处突变值排除排除A， B B。再按简

15、易法可知右截。再按简易法可知右截面剪力为负，排除面剪力为负，排除C 。112233F2l2lFA、B、C、D、321321, 0, 0,MMMFFFFFSSS 321321, 0, 0,MMMFFFFFSSS 321321, 0, 0,MMMFFFFFSSS 321321, 0,MMMFFFFSSS B 分析：分析：按按1-1处剪力为负，排除处剪力为负，排除A，C，按中间处突变，按中间处突变排除排除D D。或简易法计算。或简易法计算。Czaa2m4m4m3ABCDFA、A点点B、B点点C、C点点D、D点点分析：分析：排除排除A，B。C 13、从正应力强度方面考虑，若截面积相同。最合从正应力强度

16、方面考虑，若截面积相同。最合理的截面形状为（理的截面形状为（ ）。）。A、B、C、D、D y1Pzy2CA、更安全更安全B、更危险更危险C、同样同样安全安全D、难于比较难于比较B B、弯矩图对称，剪力图反对称弯矩图对称，剪力图反对称A、弯矩图对称，剪力图对称弯矩图对称，剪力图对称C、弯矩图反对称，剪力图反对称弯矩图反对称，剪力图反对称D、弯矩图，剪力图不存在对称性弯矩图，剪力图不存在对称性B B、弯矩图对称，剪力图反对称弯矩图对称，剪力图反对称A、弯矩图反对称，剪力图对称弯矩图反对称，剪力图对称C、弯矩图反对称，剪力图反对称弯矩图反对称，剪力图反对称D、弯矩图，剪力图不存在对称性弯矩图，剪力图

17、不存在对称性A )( mmlqCAB82qlm A、B、42qlm C、22qlm D、2qlm 分析：分析：分段叠加法画出弯矩图最快。分段叠加法画出弯矩图最快。B A、C B、C、D、F FF FCyzA、B、C、D、C 分析：分析：非对称薄臂截面只受横向力时，只有通过弯非对称薄臂截面只受横向力时，只有通过弯曲中心（剪力中心）且平行于主惯性平面，才产生曲中心（剪力中心）且平行于主惯性平面，才产生平面弯曲而不扭转。平面弯曲而不扭转。F FB、A、C、D a、b、c、D、F FB、A、C、D a、b、c、D、mm用截面法求梁横截面用截面法求梁横截面m-m上的内力，正确的图上的内力，正确的图为为1、2、3、A、B、C、D、B 人有了知识，就会具备各种分析能力，人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。明辨是非的能力。所以我们要勤恳